Tải bản đầy đủ

Đề thi thử THPT QG 2020 toán CCbook đề 18 có lời giải

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2020
ĐỀ SỐ 18

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Giá trị biểu thức ln
1
A. ln a  ln b.
2

1
B. ln a  ln b.
2

a2
bằng
b

C. 2ln a  ln b.


D. 2ln a  ln b.

Câu 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  3a , BC  a , cạnh bên SD  2a
và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S. ABCD bằng
A. 3a3 .

C. 2a3 .

B. a 3 .

D. 6a3 .

Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho a   3; 4;0  và b   5;0;12  . Côsin của góc giữa a và b bằng
A.

3
.
13

B.

5
.
6

5
C.  .
6

D. 

3
.
13

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  3;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
A. Đạt cực tiểu tại x  1.


B. Đạt cực đại tại x  1 .

C. Đạt cực đại tại x  2 .

D. Đạt cực tiểu tại x  0 .

Câu 5. Trong không gian Oxyz, Cho E  1;0; 2  và F  2;1; 5 . Phương trình đường thẳng EF là
A.

x 1 y z  2
 
.
3
1
7

B.

x 1 y z  2
 
.
3
1
7

C.

x 1 y z  2
 
.
1
1
3

D.

x 1 y z  2
 
.
1
1
3

Câu 6. Cho cấp số nhân  un  , với u1  9 , u4 
A.

1
.
3

B. 3.

1
. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
3

C. 3.

1
D.  .
3

Câu 7. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?
A. y   x3  3x  1.
C. y 

x 1
.
x 1

B. y 

x 1
.
x 1

D. y  x3  3x 2  1.

Trang 1


Câu 8. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 1; 4 đồng thời vuông
góc với giá của a  1; 1;2  có phương trình là
A. 3x  y  4z  12  0.

B. 3x  y  4z  12  0.

C. x  y  2z  12  0.

D. x  y  2z  12  0.

Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  a , AD  AA  2a . Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng
A. 9 a 2 .

B.

3 a 2
.
4

C.

9 a 2
.
4

D. 3 a 2 .

Câu 10. Giả sử y  f  x  là một hàm số bất kì liên tục trên  ;   và a, b, c, b  c   ;   . Mệnh đề nào
sau đây sai?
A.

C.

b

c

b

a

a

c

b

b c

b

a

a

bc

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.

B.

D.

b

bc

c

a

a

a

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.
b

c

c

a

a

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;0  .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;1 .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2  .
Câu 12. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   3 x là
A. 

3 x
 C.
ln 3

B. 3 x  C.

3 x
 C.
ln 3

C. 3 x ln 3  C.

D.

C. x  101.

D. x  99.

Câu 13. Phương trình log  x  1  2 có nghiệm là
A. x  11.

B. x  9.

Câu 14. Cho k , n  k  n  là các số nguyên dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Ank 

n!
.
k!

B. Ank  k !.Cnk .

C. Ank 

n!
.
k !.  n  k !

D. Ank  n !.Cnk .

Câu 15. Cho số phức z  1  2i , w  2  i . Điểm nào trong hình bên
biểu diễn số phức z  w ?
A. N .

B. P.

C. Q.

D. M .
Trang 2


Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  3 y  2z  1  0 ,  Q  : x  z  2  0 . Mặt
phẳng   vuông góc với cả  P  và  Q  đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương
trình của   là
B. x  y  z  3  0.

A. x  y  z  3  0.



Câu 17. Cho số z thoả mãn 1  3i
A.

5
.
4

B.



2

C. 2x  z  6  0.

D. 2x  z  6  0.

z  3  4i . Môđun của z bằng

5
.
2

C.

2
.
5

D.

4
.
5

Câu 18. Một hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng
16 (đvtt). Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng

A. 16 (đvdt).

B. 12 (đvdt).

D. 24 (đvdt).

C. 8 (đvdt).

Câu 19. Biết rằng phương trình log 22 x  7 log 2 x  9  0 có hai nghiệm x1 , x2 . Giá trị của x1 x2 bằng
A. 128.

B. 64.

C. 9.

D. 512.

3x  1
Câu 20. Đạo hàm của hàm số f  x   x

3 1
A. f   x   
C. f   x  

2

3

x

 1

2

3

x

 1

2

2

B. f   x  

.3x.

.3x ln 3.

2

3

D. f   x   

x

 1

2

.3x.

2

3

x

 1

2

.3x ln 3.

Câu 21. Cho f  x   x 4  5x 2  4 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  và
trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
2

A. S 



1

2

0

1

B. S  2  f  x  dx  2  f  x  dx .

f  x  dx.

2

2

2

D. S  2  f  x  dx .

C. S  2 f  x  dx.

0

0

Câu 22. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x 2  x 2  1 , x 

. Hàm số y  2 f   x  đồng biến

trên khoảng
A.  2;   .

B.  ; 1 .

C.  1;1 .

D.  0; 2  .

x3  4x
Câu 23. Đồ thị hàm số y  3
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x  3x  2
A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 24. Biết rằng  ,  là các số thực thoả mãn 2  2  2   8  2  2   . Giá trị của   2 bằng
A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.
Trang 3


Câu 25. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có AB  a , góc giữa đường thẳng AC và mặt
phẳng  ABC  bằng 45 . Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng

a3 3
A.
.
4

a3 3
B.
.
2

a3 3
C.
.
12

a3 3
D.
.
6

Câu 26. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hàm số y  f  2x  đạt cực đại
tại

1
A. x  .
2

B. x  1.

C. x  1.

D. x  2.

Câu 27. Cho hình nón tròn xoay có bán kính bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 6 3 . Góc ở đỉnh của
hình nón đã cho bằng
A. 60.

B. 150.

C. 90.

D. 120.

Câu 28. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  4z  7  0 . Số phức z1 z2  z1 z2 bằng
A. 2.

B. 10.

C. 2i.

D. 10i.

Câu 29. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  x 

9
trên đoạn 1; 4 . Giá
x

trị của m  M bằng
A.

65
.
4

B. 16.

C.

49
.
4

D. 10.

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có I , J lần lượt là trung điểm của BC và BB . Góc giữa
hai đường thẳng AC và IJ bằng
A. 45.

B. 60.

C. 30.

D. 120.

Câu 31. Giải bóng chuyền quốc tế VTV Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ
chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt
Nam nằm ở hai bảng khác nhau bằng
A.

2
.
7

B.

5
.
7

Câu 32. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  

C.

3
.
7

D.

4
.
7

x
trên khoảng  0;   là
sin 2 x

A.  x cot x+ln  sin x   C.

B. x cot x  ln sin x  C.

C. x cot x  ln sin x  C.

D.  x cot x  ln  sin x   C.
Trang 4


Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , Gọi E là trung điểm
của AB . Cho biết AB  2a , BC  13a , CC   4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CE
bằng
A.

4a
.
7

B.

12a
.
7

C.

6a
.
7

D.

3a
.
7

Câu 34. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu
số nguyên m để phương trình f  x3  3x   m có 6 nghiệm phân biệt
thuộc đoạn  1; 2 ?

A. 3.

B. 2.

C. 6.

D. 7.





Câu 35. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  1  z  z i  z  z i 2019  1 ?
2

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 36. Cho f  x  và hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như hình bên dưới. Tất cả các giá trị của
1
tham số m để bất phương trình m  x 2  f  x   x3 nghiệm đúng với mọi x   0;3 là
3

A. m  f  0  .

B. m  f  0  .

C. m  f  3 .

2
D. m  f 1  .
3

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho các điểm M  2;1; 4  , N  5;0;0  , P 1; 3;1 . Gọi I  a; b; c  là tâm
của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M, N, P. Biết rằng a  b  c  5 , giá
trị của c là
A. c  3.

B. c  2.
3

Câu 38. Biết rằng tích phân

 3x  5
0

C. c  4.
dx
3x  1  7

D. c  1.

 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị

của a  b  c bằng
A. 

10
.
3

5
B.  .
3

C.

10
.
3

D.

5
.
3

Trang 5


Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x 1 y z  2
và hai điểm A  1;3;1 ,
 
2
1
1

B  0; 2; 1 . Gọi C  m; n; p  là điểm thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng
m  n  p bằng

A. -1.

B. 2.

C. 3.

D. -5.

Câu 40. Bất phương trình  x3  9 x  ln  x  5  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 4.

B. 7.

D. Vô số.

C. 6.

Câu 41. Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f   x  như hình vẽ. Hàm số y  f  cos x   x 2  x đồng
biến trên khoảng

A. 1; 2  .

B.  1;0  .

C.  0;1 .

D.  2; 1 .

Câu 42. Cho hàm số f  x   2x  2 x . Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên thoả mãn

f  m   f  2m  212   0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. m0  1513; 2019  .

B. m0  1009;1513 .

C. m0  505;1009  .

Câu 43. Cho hàm số f  x  thoả mãn f  x   f   x   e x , x 

D. m0  1;505 .

và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm

của f  x  e2x là
A.  x  2  e x  e x  C.
Câu 44. Cho hàm số
y  f  x 

B.  x  2  e2x  e x  C.

C.  x  1 e x  C.

D.  x  1 e x  C.

f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  được cho như hình vẽ. Hàm số

1 2
x  f  0  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng  2;3 ?
2

Trang 6


A. 6.

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng  SBC  và

 SCD  bằng

1
. Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng
10

A. 3a3 .

B. 9a3 .

C. 4a3 .

D. 12a3 .

Câu 46. Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An
đã làm một cái mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng là một khối
tròn xoay. Mặt cắt qua trục của cái mũ có hình vẽ như bên dưới. Biết rằng
OO  5cm , OA  10cm , OC  20cm đường cong AB là một phần của parabol

có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng
A.

2750
cm3 .
3

B.

2500
cm3 .
3

C.

2050
cm3 .
3

D.

2250
cm3 .
3





Câu 47. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thoả mãn  z  6  8  zi là số thực. Biết rằng z1  z2  4 .
Giá trị nhỏ nhất của z1  3z 2 bằng
A. 5  21.

B. 20  4 21.

C. 20  4 22.

D. 5  22.

Câu 48. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

1
3

x 
f   1  x  m có nghiệm thuộc đoạn  2; 2 ?
2 

Trang 7


A. 11.

B. 9.

C. 8.

D. 10.

Câu 49. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A . SA vuông góc với mặt đáy và
SA  2a . Biết BC  a 3 và ABC  30 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC bằng

A.

8 a 2
.
3

C. 8 a 2 .

B. 4 a 2 .

D.

5 a 2
.
3

Câu 50. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình log 2  x2  3  log 2 x  x 2  4x  1  0 là
A. 4.

B. 6.

C. 5.

D. 3.

----------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN
1-D

2-C

3-D

4-D

5-B

6-D

7-B

8-C

9-A

10-B

11-C

12-A

13-D

14-B

15-B

16-A

17-A

18-D

19-A

20-C

21-D

22-C

23-D

24-D

25-A

26-C

27-D

28-A

29-B

30-B

31-D

32-A

33-C

34-B

35-D

36-B

37-B

38-A

39-C

40-C

41-A

42-B

43-D

44-D

45-C

46-B

47-C

48-C

49-C

50-B

(http://tailieugiangday.com – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)

Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55
Trang 8


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: D
Ta có ln

a2
 ln a 2  ln b  2ln a  ln b.
b

Câu 2: C
1
1
1
VS . ABCD  SD.S ABCD  SD. AB.BC  .2a.3a.a  2a3
3
3
3

Câu 3: D

 

Ta có cos a; b 

a.b
a .b



15

 3

2

 42 . 52  122



3
.
13

Câu 4: D
Có f   x  không đổi dấu khi qua x  0  hàm số không đạt cực tiểu tại x  0 .
Câu 5: B
Đường thẳng EF có vectơ chỉ phương là EF   3;1; 7  và đi qua E  1;0; 2  nên có phương trình
x 1 y z  2
 
.
3
1
7

Câu 6: D
Gọi q là công bội. Ta có u4  u1 .q3 , suy ra

1
1
1
1
 9.q3  q3  
q3
q .
3
27
27
3

Câu 7: B
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 . Ta loại được các
đáp án A, C và D.
Xét chiều biến thiên và tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y

x 1
ta thấy khớp với đồ thị đã cho.
x 1

Vậy đáp án đúng là B.
Câu 8: C
Mặt phẳng  P  đi qua điểm M  3; 1; 4 đồng thời vuông góc
với giá của a  1; 1;2  nên nhận a  1; 1; 2  làm vectơ pháp tuyến.
Do đó  P  có phương trình là

1 x  3  1 y  1  2  z  4   0  x  y  2z  12  0.
Vậy ta chọn C.
Câu 9: A
Trang 9


Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD. ABC D cũng
là trung điểm của một đường chéo AC (giao các đường chéo) của
hình hộp.
Hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh dài, rộng, cao là
AD  2a , AB  a , AA  2a



R

Bán

AC

2

kính

mặt

cầu

ngoại

tiếp

hình

hộp



AD 2  AB 2  AA2 3a

2
2
2

 Smc

 3a 
 4 R  4 .    9 a 2 .
 2 
2

Câu 10: B
Xét đáp án A đúng do tính chất của tích phân nên loại.
Xét đáp án B sai do có

b

bc

c

b

a

a

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

b

bc

c

bc

a

a

a

a

a

c

  f  x  dx 

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.

Chỉ đúng khi b  c  c  b  0 nên nhận.
Xét đáp án C đúng do tính chất của tích phân nên loại.
b

Xét đáp án D đúng do



c

c

c

b

a

b

a

c

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx (tính chất của

a

tích phân) nên loại.
Câu 11: C
Nhận thấy trên khoảng  0;1 đồ thị hàm số là đường có hướng đi lên tính từ trái qua phải nên hàm
số trên đồng biến trên khoảng  0;1 .
Câu 12: A
Ta có  3 x dx  

3 x
 C . Nên phương án chọn là A.
ln 3

Câu 13: D
Ta có log  x  1  2  x  1  100  x  99.
Vậy phương trình có 1 nghiệm x  99.
Câu 14: B
Ta có Ank 

n!
n!
 k !.
 k !.Cnk .
k !.  n  k !
 n  k !

Câu 15: B
z  w  1 i .

Trang 10


Do đó điểm biểu diễn của số phức z  w là P 1;1 .
Câu 16: A
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  .
Vectơ pháp tuyến của  P  là n P   1; 3; 2  .
Vectơ pháp tuyến của  Q  là nQ  1;0; 1 .

    P   n   n P .
    Q   n   nQ .
1
Do đó ta chọn n    n P  ; nQ    1;1;1 .

3

Phương trình mặt phẳng   có dạng x  y  z  d  0 .
Vì   cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 3 nên ta có

A  3;0;0      3  d  0  d  3.
Do vậy phương trình   : x  y  z  3  0.
Câu 17: A
Ta có z 

3  4i

1  3i 

2



3  4 3 4  3 3

i.
8
8
2

2

 3  4 3   4  3 3 
3  4 3 4  3 3
5
Suy ra z 

i  
  
  .
8
8
8
4

  8 
Câu 18: D
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R suy ra h  l  2R .
Theo đề bài ta có thể tích khối trụ là V   R2 .h   R2 .2R  2 R3  16  R  2.
Do đó h  l  4.
Diện tích toàn phần của khối trụ là S  2 Rl  2 R2  2 .2.4  2 .22  24 .
Câu 19: A
Điều kiện x  0 .


7  13
7  13

log 2 x 
x  2 2
2
(thoả mãn điều kiện x  0 ).
log 22 x  7 log 2 x  9  0  

7  13

7  13
x  2 2
log 2 x 


2
Vậy x1 x2  2

7  13
2

7  13
2

.2

 128

Câu 20: C
Trang 11


f  x 

3x  1
2
.
 1 x
x
3 1
3 1

  3x  1
2 
3x ln 3


.
f  x   1  x
 2.
  2. x
2
2
 3 1
 3  1
3x  1

Câu 21: D
Cách 1:
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình:
 x2  1
 x  1
.
x  5x  4  0   2

 x  2
x  4
4

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành là S 

2

 f  x  dx

2

Suy ra đáp án A đúng.
0

Do hàm số chẵn trên

nên S 



2

2

2

0

0

f  x  dx   f  x  dx  2 f  x  dx , suy ra C đúng.

2

1

2

0

0

1

Ta có S  2 f  x  dx  2 f  x  dx  2 f  x  dx .
1

2

0

1

Do hàm số không đổi dấu trên  0;1 và 1; 2  nên S  2  f  x  dx  2  f  x  dx .
Suy ra đáp án B đúng.
Vậy D là đáp án sai.
Cách 2:
Sử dụng máy tính Casio ta được:
2

S



2

1

2

2

0

1

0

f  x  dx  2  f  x  dx  2  f  x  dx  2 f  x  dx  8 .
2

S  2  f  x  dx 
0

32
.
15

Do đó đáp án D sai.
Câu 22: C
2
2
Ta có y   2 f    x   2   x    x   1  2x 2  x 2  1 .



x  0
y  0  
 x  1

Lập bảng xét dấu của y  ta được:

Trang 12


Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 .
Câu 23: D
Tập xác định D 

Ta có lim y  lim
x 

x 

\ 1; 2 .
1

4
x2

3
2
1 2  2
x
x

 1.

Do đó đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là y  1 .
Ta có
lim y  lim

x 2

x 2

x  x  2  x  2 
x  x  2 8
x3  4x
 lim
 lim
 .
3
2
9
x  3x  2 x2  x  1  x  2  x2  x  12

x  x  2  x  2 
x  x  2 8
x3  4x
lim y  lim 3
 lim

lim
 .
2
2
x 2
x 2 x  3x  2
x 2
 x  1  x  2  x2  x  1 9
lim  y  lim 

x  1

x  1

x  x  2  x  2 
x  x  2
x3  4x
 lim 
 lim 
  .
3
2
x  3x  2 x 1  x  1  x  2  x 1  x  12

Do đó đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là x  1 .
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Câu 24: D
Ta có 2  2  2   8  2  2  

2  2
 2  2  2   8  
2






8 

  2  2   2       0
2



 2 

8
 

2

0

 2 2   8
   2  3.

Vậy   2  3.
Câu 25: A
Có  AC,  ABC    ACA  45 .

Trang 13


Xét tam giác AAC vuông tại A, ta có tan ACA 

AA
 AA  a .
AC

Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  là V  AA.SABC  a.

a 2 3 a3 3
.

4
4

Câu 26: C
Đặt g  x   f  2 x   g   x   2 f   2 x 

1

 2 x  1  x   2

.
g   x   0  2 f   2 x   0  2 x  0  x  0
2 x  2  x  1


Với x  1  g   1  2 f   2  0 .
1
 1
 1
Với x    g      2 f      0 .
4
 4
 2

Với x 

1
1
 g     2 f  1  0 .
2
2

Với x  2  g   2   2 f   4  0 .
Ta có bảng biến thiên sau

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  

1
và x  1 .
2

Câu 27: D
Gọi S, O lần lượt là đỉnh và tâm của đáy của hình nón. Lấy A là một
điểm nằm trên đường tròn đáy. Gọi góc ở đỉnh của hình nón là 2 suy ra

  OSA .
Mặt khác S xq   rl  l 

S xq

r



6 3
 2 3.
3

Xét SOA vuông tại O, ta có
sin OSA 

OA
3
3


 OSA  60 .
SA 2 3
2

Vậy 2  2OSA  120 .
Trang 14


Câu 28: A
Cách 1:

 z  2  3i
z2  4z  7  0  
 z  2  3i
Không mất tính tổng quát giả sử z1  2  3i , z2  2  3i





 





 z1 z2  z1 z2  2  3i 2  3i  2  3i 2  3i  2

Vậy z1 z2  z1 z2  2
Cách 2:
Phương trình bậc hai z 2  4 z  7  0 có   3 là số nguyên âm nên phương trình có hai nghiệm
phức z1 , z2 và z1  z2 , z2  z1 .

 z1  z2  4
Áp dụng định lý Vi – ét, ta có 
 z1 .z2  7
Ta có z1 z2  z1 z2  z12  z22   z1  z2   2 z1 .z2  16  14  2 .
2

Câu 29: B
Ta có y   1 

 x  3  1; 4
9
x2  9
.

; y  0  x2  9  0  
2
2
x
x
 x  3  1; 4

Ta có f 1  10, f  4  

25
, f  3  6 suy ra m  6, M  10  m  M  16 .
4

Câu 30: B
Vì IJ // B C nên  IJ , AC    BC, AC  .
Mà AC, AB, CB là đường chéo của các hình vuông bằng
nhau nên AC  AB  CB  ACB  ACB đều. Vậy

 IJ , AC   B C , AC   ACB   60
Câu 31: D
Chia ngẫu nhiên 8 đội bóng thành hai bảng đấu nên số phần tử của không gian mẫu là

n     C84 .C44  70 .
Gọi A là biến cố: “hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác nhau”.
Bảng 1: Chọn một trong hai đội Việt Nam và ba trong số sáu đội nước ngoài vào bảng 1 có số
cách chọn là C63 .C21 .
Bảng 2: Sau khi chọn các đội vào bảng 1 còn một đội Việt Nam và ba đội nước ngoài xếp vào
bảng hai có 1 cách xếp.

Trang 15


Suy ra số cách chia 8 đội thành hai bảng đấu sao cho hai đội của Việt Nam nằm ở hai bảng khác
nhau là n  A  C63 .C21 .1  40 .
Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A

n 



40 4
 .
70 7

Câu 32: A
u  x
du  dx

Đặt 
.

1
dv 
dx v   cot x

2
sin x


Khi đó

d  sin x 
x
cos x
dx


x
.cot
x

cot
xdx


x
.cot
x

dx


x
.cot
x

 sin 2 x

 sin x
 sin x

  x.cot x  ln sin x  C .

Với x   0;    sin x  0  ln sin x  ln  sin x  .
Vậy

x

 sin

2

x

dx   x cot x  ln sin x   C .

Câu 33: C
Gọi F là trung điểm AA .
Ta có  CEF  // AB nên

d  CE, AB   d  AB,  CEF    d  A, CEF    d  A, CEF   .
Kẻ AI  CE; AH  FI thì AH   CEF  hay d  A,  CEF    AH

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
49

 2 



 2 2 2 
2
2
2
2
2
2
AH
AF
AI
AF
AE
AF
AC
a
9a
4a
36a 2
Suy ra d (CE, AB)  d  A,  CEF    AH 
Vậy khoảng cách giữa AB và CE là

6a
.
7

6a
.
7

Câu 34: B
Đặt t  g  x   x3  3x, x   1; 2.
x  1
g   x   3x 2  3  0  
.
 x  1

Bảng biến thiên của hàm số g  x  trên  1; 2

Trang 16


Suy ra với t  2 , có một giá trị của x thuộc đoạn  1; 2 .

t   2; 2 , có 2 giá trị của x thuộc đoạn  1; 2 .
Phương trình f  x3  3x   m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2 khi và chỉ khi phương
trình f  t   m có 3 nghiệm phân biệt thuộc  2; 2 . (1)
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  và m nguyên ta có hai giá trị của m thoả mãn điều kiện (1) là
m  0, m  1.

Câu 35: D
Đặt z  a  bi ta được





z  1  z  z i  z  z i 2019  1
2

 a  bi  1  a  bi  a  bi i   a  bi  a  bi  i 2019  1 (ta có i 2019  i 20163   i 4 
2

504

.i3  i ).

  a  1  b2  2 b i  2ai  1
2

 a 2  2a+b2  2 b i  2ai  0
2
2

a  2a  b  0


2 b  2a=0

a 2  2a  b 2  0

 a  0
b 2  a 2


 a  0; b  0

a 2  2a  a 2  0
  a  1


 a  0
   b  1

b 2  a 2
  a  1

  b  1
  

Suy ra có ba số phức thoả mãn phương trình z1  0, z2  1  i, z3  1  i.
Câu 36: B
1
1
Xét bất phương trình m  x 2  f  x   x3  f  x   x3  x 2  m  0.
3
3

Trang 17


1
Đặt g  x   f  x   x3  x 2  m . Suy ra g   x   f   x   x 2  2x.
3

Ta xét hàm h  x   x 2  2x có bảng biến thiên dưới đây

Từ bảng biến thiên của f   x  và h  x  ta suy ra

g   x   f   x   h  x   f   x   x 2  2x  0, x   1;3 .
Suy ra g   x   f   x   h  x   f   x   x 2  2x  0, x   0;3 .
1
Suy ra hàm số y  f  x   x3  x 2  m đồng biến trên khoảng  0;3 .
3

1
1
Suy ra để f  x   x3  x 2  m  0, x   0;3 thì f  0   .03  02  m  0  m  f  0  .
3
3

Câu 37: B
Giả sử mặt cầu  S  đã cho có phương trình dạng x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 .
Từ đề bài ta có
M  2;1;4    S   4a  2b  8c  d  21.

(1)

N  5;0;0    S   10a  d  25.

(2)

P 1; 3;1   S   2a  6b  2c  d  11.

(3)

Hình chiếu của điểm I  a; b; c  lên mặt phẳng  Oyz  là H  0; b; c   HI   a;0;0   HI  a .
Mặt cầu  S  tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz   IH  a  a 2  b2  c 2  d  b2  c 2  d  0  4  .

b  2  a

Từ 1 ;  2  ;  3 ta có c  a  1
.
d  10a  25

a  5
Thế vào phương trình  4  a 2  8a  15  0  
.
a  3

Trường hợp 1: a  5  b  3, c  4  a  b  c  6  5 (loại).
Trường hợp 2: a  3  b  1, c  2  a  b  c  4  5 (nhận).
Vậy c  2 thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 38: A

Trang 18


Đặt t  3x  1  t 2  3x  1  x 

t2 1
2
 tdt  dx.
3
3

Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2.
1

 3x  5
0

2
t
2  2
3 
2
dt   

 dt   2ln t  2  3ln t  3 
2

3 1 t  5t  6
3 1 t  2 t 3
3
2

dx
3x  1  7





Suy ra a  

2

2

1

20
4
ln 2  ln 3  2ln 5  a ln 2  b ln 3  c ln 5.
3
3

20
4
10
;b  ;c  2  a  b  c   .
3
3
3

Câu 39: C
Ta có C  m; n; p   d  C  1  2t; t; 2  t  .


 AB  1; 1; 2 
  AB, AC    3t  7; 3t  1;3t  3 .
Suy ra 
AC

2
t
;
t

3;1

t




Diện tích tam giác ABC là SABC 
Theo đề ta có

1
1
 AB, AC  
27t 2  54t  59.


2
2

1
27t 2  54t  59  2 2  27t 2  54t  27  0  t  1.
2

Suy ra C 1;1;1 .
Vậy m  n  p  3.
Câu 40: C
Điều kiện x  5.

 x  3
x  0
 x  9x  0
Cho  x3  9x  ln  x  5   0  
.

x  3
ln  x  5   0

 x  4
3

Bảng xét dấu

 4  x  3
.
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f  x   0  
0  x  3

Vì x 

 x  4; 3;0;1;2;3.

Vậy có 6 giá trị nguyên của x thoả mãn bài toán.
Câu 41: A

Trang 19


Đặt g  x   f  cos x   x2  x .
Ta có g   x    sin x. f   cos x   2 x  1.
Do cos x   1;1 và từ đồ thị hàm số f   x  suy ra f   cos x    1;1.
Từ đó suy ra  sin x. f   cos x   1 với x  .

 sin x. f   cos x   1, x 

 g   x    sin x. f   cos x   2x  1  1  2x  1  2x  2

 g   x   0, x  1.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  .
Câu 42: B
Hàm số f  x   2x  2 x xác định x  .
Khi đó  x  R , ta có f   x   2 x  2x    2x  2 x    f  x  .
Suy ra f  x  là hàm số lẻ.

(1)

Mặt khác f   x    2x  2 x  ln 2  0, x  .
Do đó hàm số f  x  đồng biến trên

.

(2)

Ta có f  m   f  2m  212   0  f  2m  212    f  m  .
Theo (1) suy ra f  2m  212   f  m  .
Theo (2) ta được 2m  212  m  3m  212  m 

212
.
3

Vì m  Z nên m  1365  m0  1365.
Vậy m0  1009;1513 .
Câu 43: D

f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1   f  x  e x   1  f  x  e x  x  C .
Vì f  0   2 nên C   2 . Do đó f  x  e2 x   x  2  e x .
Vậy

 f  x e

2x

dx   x  2 e xdx   x  2 d e x   x  2 e x  e xd x  2   x  2 e x  e xdx

  x  2 e x  e x  C   x  1 e x  C.
Câu 44: D
Xét hàm số

g  x  f  x 

1 2
x  f  0
2

trên khoảng

 2;3 .

Trang 20


 x  2
g   x   f   x   x; g   x   0  f   x    x  x  0 .
 x  2
1
g  0   f  0   .0  f  0   0.
2

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng  2;3 thì g  x  có duy nhất một điểm cực trị x  2.
Do đó phương trình g  x   0 có tối đa hai nghiệm trên khoảng  2;3 .
Vậy hàm số y  g  x  có nhiều nhất 1  2  3 điểm cực trị trong khoảng  2;3 .
Câu 45: C
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH   ABCD  .
Đặt m  HB, n  SH . Do tam giác SAH vuông tại H nên
m2  n2  11a 2 .

Xây dựng hệ trục toạ độ như sau H  0;0;0  , B  m;0;0  ,
D  m;0;0  , C  0; m;0  , S  0;0; n  .

Khi đó phương trình mặt phẳng  SBC  là

 SBC  là

x y z
   1 hay vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
m m n

n1   n; n; m 

Khi đó phương trình mặt phẳng

 SCD 



x
y z
   1 hay vectơ pháp tuyến của mặt
m m n

phẳng  SBC  là n2   n; n; m 
Do cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng

 SBC 



 SCD 

bằng

n1 .n2
1
1
nên

10
10 n1 . n2

hay

m2
1

mà n2  11a 2  m2 .
2
2
10
2n  m
m2
1
m2
1



 m 2  2a 2  m  a 2
Vậy
2
2
2
2
10
10
2n  m
22a  m
Trang 21


 n  3a  SH  3a

m  HA  a 2 nên AB  2a.
Chiều cao của hình chóp là SH  3a.
Diện tích của hình vuông là S ABCD  4a 2 .
Thể tích của khối chóp S. ABCD là
1
1
V  S ABCD .SH  .4a 2 .3a  4a 3
3
3

Câu 46: B
Xây dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ
Chia khối tròn xoay trên thành 2 phần.
Phần 1 là thể tích của khối trụ có thể tích là V1 .
Phần 2 là thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn
bởi x  10  5 y ; x  0; y  0; y  20 quanh trục Oy và có thể tích là V2 .
Tính thể tích V1   r 2 h  500  cm3  .
Thể tích V2 là
20



V2    10  5 y



2

0

20


0

3

2
2
40
5
y


5
y
100  5 y  20 5 y dy   100 y 


2
15






Thể tích của khối tròn xoay bằng V  V1  V2 






20



1000
.
3

0

2500
.
3

Câu 47: C





Giả sử số phức z  x  yi thoả mãn  z  6  8  zi là số thực.
Ta có

 z  6 8  zi    x  yi  6 8   x  yi  i    x  6 8  y   8xy  8x  x  6   y 8  y  i





Để là  z  6  8  zi số thực thi

8x  x  6   y 8  y   0   x  3   y  4   52.
2

2

Vậy điểm biểu diễn số phức z1 , z2 thuộc đường tròn tâm
I  3; 4  , bán kính R  5

Giả sử z1  x1  y1i có điểm biểu diễn

A  x1 , y1  ;

z2  x2  y2 i có điểm biểu diễn B  x2 , y2  .


Trang 22


z1  z2  4 

 x1  x2 

2

  y1  y2   4  AB  4.
2

Ta xét z1  3z2  OA  3OB .
Gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm HB, khi đó ta có





z1  3z2  OA  3OB  2 OH  OB  4OK  4OK .
Ta có OI  IB  IA  5; AB  4; AH  HB  2; HK  1 . Suy ra IH  21  IK  22.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có

OK  KI  OI  OK  OI  KI  OK  5  22.
Suy ra z1  3z 2  4OK  20  4 22.
Câu 48: C
Ta có
Đặt

1
3

1
x 
f   1  x  m 
3
2 

x 
x 
f   1  2   1  2  m.
2 
2 

x
 1  t , với x   2; 2 thì t  0; 2
2

Bài toán tương đương hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

1
f  t   2t  2  m có
3

nghiệm thuộc đoạn  0; 2 .
Xét hàm số h  t  

1
1
f  t   2t  2 có h  t   f   t   2 .
3
3

Vì hàm số y  f  x  đồng biến trên  0, 2  nên f   x   0, x   0, 2  .
Do đó h 

1
1
f   t   2  0 với t   0, 2  hay hàm số h  t   f  t   2t  2 đồng biến trên
3
3

 0, 2  .
Suy ra max h  t   h  2  
0,2

Để phương trình

1
1
10
f  2   2.2  2  4; min h  t   h  0   f  0   2.0  2 
.
0,2
3
3
3

1
10
f  t   2t  2  m có nghiệm thuộc đoạn  0, 2 thì
 m  4.
3
3

Hay m  3; 2; 1;0;1;2;3;4.
Vậy có 8 giá trị nguyên của m.
Câu 49: C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và K là
trung điểm của đoạn SA. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

 ABC 

tại H và đường thẳng trung trực d  của đoạn SA nằm trong mặt

Trang 23


phẳng  d ; d   . Giao điểm I của d và d  là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S. ABC và R  AI là
bán kính của mặt cầu này.
Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC ta có

BC

 2AH  AH  a (do BAC  180  2. ABC  120 ).

sin BAC
Xét hình chữ nhật AKIH ta có
R  Ai  AK 2  AH 2  a 2.

Vậy diện tích mặt cầu bằng S  4 R2  8 a 2 .
Câu 50: B
Điều kiện: x  0.
Ta có log 2  x2  3  log 2 x  x 2  4x  1  0  log 2  x 2  3  x 2  3  log 2 4x+4x. (*)
Xét hàm số f  t   log 2 t  t trên D   0;   .
Ta có f   t  

1
 1  0, t  D  hàm số f đồng biến trên D .
t ln 2

Suy ra
(*)  f  x 2  3  f  4x   x 2  3  4x  1  x  3.
Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là 1; 2;3 .
Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án của câu này ta chỉ cần mở MODE 7 của máy tính cầm tay, nhập
vế trái của bất phương trình và cho biến chạy từ 1 đến 6 là tìm được đáp án ngay.

Trang 24



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×