Tải bản đầy đủ

Hà nam

STT 23. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM
NĂM HỌC 2017 – 2018

Câu 1: a) Giải phương trình: x2  4 x  3  0.
2 x  3 y  8
b) Giải hệ phương trình 
.
x  3y  1

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P  có phương trình y 

 d  : y  x  m.

 x2
và đường thẳng
2

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol  P  biết điểm M có tung độ bằng 8.
b) Tìm m để đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt A, B với

A  x1; y1  , B  x2 ; y2  sao cho  x1  y1  x2  y2  


33
.
4

Câu 3: 1. Rút gọn biểu thức A  12  75  3 7  4 3.

Câu 4:

1   x 1 
 1
2. Cho biểu thức B  

 với 0  x  1.

x  1  
x 
 x 1
1
Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để B  .
2
Cho đường tròn  O  , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn  O  kẻ hai tiếp tuyến MA và
MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn  O  . Gọi
F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn  O  . Đường thẳng AF cắt

Câu 5:

MO tại điểm N . Gọi H là giao điểm của MO và AB.
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh AE //MO.
3. Chứng minh MN 2  NF .NA.
4. Chứng minh MN  NH .
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  3 và c  a.
1
2
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 


.


2
2
2
 a  1  b  1  c  1


STT 23. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM
NĂM HỌC 2017 – 2018

Câu 1: a) Giải phương trình: x2  4 x  3  0.
2 x  3 y  8
b) Giải hệ phương trình 
.
x  3y  1
Lời giải
a) Ta có
x2  4 x  3  0
  x  1 x  3  0

x  1
 x 1  0
.


x  3
x  3  0
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1;3.
b)

Ta có

x  7
2 x  3 y  8

.


1 x 1 7
y

 2
x  3y  1

3
3


Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    7; 2  .

Câu 2:

 x2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P  có phương trình y 
và đường thẳng
2
 d  : y  x  m.
a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol  P  biết điểm M có tung độ bằng 8.
b) Tìm m để đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt A, B với

A  x1; y1  , B  x2 ; y2  sao cho  x1  y1  x2  y2  

33
.
4

Lời giải
a) Với y  8 

 x2
 8  x2  16  x  4.
2

Vậy tìm được hai điểm M  4; 8 .
b)

Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  là:

 x2
 x  m  x2  2 x  2m  0.
2
  1  2m .
Để đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt


1
   1  2m  0  m  .
2
 x1  x2  2
Theo định lý Viet ta có 
.
 x1.x2  2m

 y1  x1  m
Lại có 
.
 y2  x2  m
Từ  x1  y1  x2  y2  

33
4

  x1  x1  m  x2  x2  m  
  2 x1  m  2 x2  m  

33
4

 4 x1 x2  2m  x1  x2   m2 

 8m  4m  m2 
 m 2  4m 

33
4

33
4

33
4

33
0
4


m 

m 


3
 L
2
.
11
TM 
2
11
Vậy m 
.
2

Câu 3: 1. Rút gọn biểu thức A  12  75  3 7  4 3.
1   x 1 
 1
2. Cho biểu thức B  

 với 0  x  1.

x  1  
x 
 x 1
1
Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để B  .
2
Lời giải

1. Ta có A  12  75  3 7  4 3  2 3  5 3  3
Vậy A  6.
2. Ta có
1   x 1 
 1
B



x  1  
x 
 x 1



2 3



2





 3 3  3 2  3  6.


B
B






x 1



x 1
x



.

x 1
x

x 1

2 x
x 1



.

x 1

2
.
x 1

B
B

x 1  x  1

2
1
  x  1  4  x  3  x  9.
x 1 2
, x  1  x 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

1

2

Vì x

Câu 4: Cho đường tròn  O  , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn  O  kẻ hai tiếp tuyến MA và
MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn  O  . Gọi
F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn  O  . Đường thẳng AF cắt

MO tại điểm N . Gọi H là giao điểm của MO và AB.
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh AE //MO.
3. Chứng minh MN 2  NF .NA.
4. Chứng minh MN  NH .
Lời giải
A
1
1 2

E
2

F
M

1

1

1

H

N

O

B

1. Ta có MAO  MBO  90  MAO  MBO  180. Mà hai góc đối nhau nên tứ giác
MAOB nội tiếp.
2. Ta có tam giác AOE cân tại O nên AEO  OAE .

1


Ta lại có AEO  MAB 

1
sd AB  AOM .
2

 2

Từ 1 và  2  suy ra AEO  AOM  AE //OM .
3. Xét hao tam giác MNF và ANM có:

MNF  ANM
và FMN  AEF  MAN (góc so le trong, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây dung)

 MNF ∽ ANM (g.g) 

NA MN
 NM 2  NF .NA.

MN NF

4. Ta có MA  MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA  OB  R

 MO là đường trung trực của AB
 AH  MO và HA  HB.
MAF và MEA có:

AME chung
A1  E1

 MAF ∽ MEA (g.g)


MA MF
 MA2  MF.ME .

ME MA

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO , ta có MA2  HO.MH .
Do đó ME.MF  MH .MO 

ME MO

MH MF

 MFH ∽ MOE (c.g.c)
 H1  E2 .
Vì BAE là góc vuông nội tiếp  O  nên E , O, B thẳng hàng
 1

 E2  A2   sd EB 
 2


 H1  A2
 N1  H1  N1  A2  90  HF  NA.


Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA ta có NH 2  NF .NA
 NM 2  NH 2  MN  NH .

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  3 và c  a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1

 a  1

2



2

 b  1

2



3

 c  1

2

.

Lời giải
Cách 1: Theo đề bài ab  bc  ca  3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3  ab  bc  ac  3 3 a 2b2c 2  abc  1,

1

a  b  c

 2

2

 3  ab  bc  ac   9  a  b  c  3,

Từ 1 và  2   a  b  c  3abc.
Đặt x 

1
1
1
; y
; z
  x, y, z  0; z  x 
a 1
b 1
c 1

 P  x 2  2 y 2  3z 2  x 2  z 2  2 y 2  2 z 2  2  x 2  y 2  z 2 
 P  2  x 2  y 2  z 2   2  xy  yz  xz  .

 *

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy  yz  xz .

xy  yz  xz 

1



1



1

 a  1 b  1  c  1 b  1  a  1 c  1

 xy  yz  xz 

abc3
abc3

 a  1 b  1 c  1 abc  a  b  c  4

 xy  yz  xz 

3  a  b  c  3
abc3

abc  a  b  c  4 3abc  3  a  b  c   12

 xy  yz  xz 

3  a  b  c  3
3  a  b  c  3
3


3abc  3  a  b  c   12  a  b  c   3  a  b  c   12 4

3 3
 P  2.  .
4 2

Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  a  b  c  1.


3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P  .
2

Cách 2: Vì a  c  P 
2

P

 a  1

2



2

 b  1

2

1

 a  1


2



2

 c  1

2

2

 b  1

2



3

 c  1

2

1



 a  1

2



2

 b  1

2



2

 c  1

.

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.
1

 x  1

2



1

 y  1

2



1
1  xy

 1  xy   x 2  y 2  2 x  2 y  2    xy  x  y  1  0
2

 1  xy   x2  y 2  2 xy  2 xy  2 x  2 y  2    xy  x  y  1  0
2

 1  xy  x  y   2 1  xy  xy  x  y  1   xy  x  y  1  0
2

2

 1  xy  x  y    xy  x  y  1 xy  x  y  1  0
2

 xy  x  y    x  y    xy  1   x  y   0
2

2

2

2

 xy  x  y    xy  1  0.
2

2

Luôn đúng, dấu "  " xảy ra khi x  y  1.
P

P

1
2



2



 a  1
1

 a  1

2
2



2



 b  1
1

 b  1

3

 c  1

2



2



1

 b  1

1

 a  1

2

1

 c  1

2





2
2



2



 b  1
1

 a  1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có

1 1 1
1 1 1
9
  9    
x y z x yz
x y z

 x  y  z
P

1
1
1
9
9 3



  .
1  ab 1  bc 1  ac 3  ab  bc  ac 6 2

2

 c  1

2



1

 a  1

2

1
1
1


.
1  ab 1  bc 1  ac

2



1

 a  1

2


Vậy GTNN của P 

3
khi a  b  c  1.
2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×