Tải bản đầy đủ

kiến trúc máy tính vũ đức lung đại số boolean mach logic sinhvienzone com

Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

CHƯƠNG 2.
ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC CỔNG LOGIC
2.1.

KHÁI NIỆM VỀ LOGIC HAI TRẠNG THÁI
Phép toán cơ bản trong thiết kế logic các hệ thống số là đại số Boolean. Đại số
Boolean có nhiều ứng dụng khác nhau bao gồm lý thuyết tập hợp và logic toán,
vì tất cả các phần tử chuyển mạch về cơ bản đều là các phần tử hai trạng thái
(như diode, transistor), cho nên sẽ tập trung khảo sát trường hợp đại số Boolean
với sự thay đổi giả sử chỉ ở 1 trong 2 giá trò. Đại số Boolean sử dụng 2 giá trò
này xem như đại số về chuyển mạch.
Phần này sử dụng các biến Boolean như X hoặc Y… để biểu diễn ngõ vào hoặc
ngõ ra của mạch chuyển mạch, mỗi biến có thể lấy 1 trong hai giá trò. Ký hiệu
“0” và “1” được dùng để đại diện cho hai giá trò khác nhau này. Vì vậy, nếu X
là biến chuyển mạch hay biến Boolean thì hoặc X=0, hoặc X=1
Mặc dù ký hiệu “0” và “1” giống như số nhò phân, nhưng không phải như vậy.
Đây chỉ là 2 ký tự đại diện cho 2 giá trò của biến chuyển mạch và được xem là

mức logic, một số vò dụ về các hiện tượng mà mức logic đại diện như sau
LOGIC 0
Sai
Tắt
Mức điện áp thấp
Không
Mở mạch

LOGIC 1
Đúng
Mở
Mức điện áp cao

Đóng mạch

Vì chỉ có hai giá trò, nên đại số Boolean tương đối dễ dàng hơn so với đại số
thông thường. Ở đại số Boolean, không có phân số, thập phân, căn bậc hai, căn
bậc ba, logarit, số ảo, v.v. Đại số Boolean chỉ có 3 phép toán cơ bản: cộng (OR),
nhân (AND) và lấy bù (NOT).
2.2.

BẢNG SỰ THẬT
Bảng sự thật (Truth Table) mô tả các đáp ứng ngõ ra của mạch logic ứng với
các tổ hợp khác nhau tại ngõ vào.
Ví dụ

A
B

Mạng
chuyển
mạch

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

A
X


B
C

Mạng
chuyển
mạch

A
B
X

C
D

Trang 22

https://fb.com/tailieudientucntt

Mạng
chuyển
mạch

X


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Các bảng sự thật tiêu biểu ứng với các mạng chuyển mạch trên như sau:
Ngõ vào Ngõ ra
↓ ↓

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

X
?
?
?
?

A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

X
?
?
?
?
?
?
?
?

B
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Ở mỗi bảng sự thật, các tổ hợp mức logic 0 và 1 đối với ngõ vào (A, B, C, D)
được thể hiện bên trái, mức logic ở ngõ ra X được thể hiện bên phải
Lưu ý, nếu có 2 ngõ vào thì có 4 khả năng xảy ra, tương tự 8 khả năng cho 3 ngõ
vào và 16 khả năng cho 4 ngõ vào. Sẽ có 2N khả năng xảy ra đối với N ngõ vào.
Tất cả các tổ hợp ngõ vào được thể hiện theo chuỗi đếm nhò phân.
2.3.

CÁC PHÉP TỐN CƠ BẢN

2.3.1. Phép tốn OR và cổng OR
Gọi A và B là 2 biến logic độc lập. Khi A và B kết hợp qua phép toán OR, kết
quả x được mô tả như sau:
X=A+B
Trong biểu thức này, dấu “+” không có nghóa là phép cộng thuần túy. Nó là
phép toán OR, kết quả của phép toán OR được cho trong bảng sự thật sau:
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

X=A+B
0
1
1
1

A

Y=A+B

B
Cổng OR

Kết luận


Phép toán OR sẽ có kết quả bằng 1 nếu một hay nhiều biến ngõ vào
bằng 1



Cổng OR chỉ có một ngõ ra và có thể có nhiều hơn hai ngõ vào

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 23

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2
A
0
0
0
0
1
1
1
1

Ký hiệu và bảng sự thật cho cổng OR 3 ngõ vào
A
B
C

X=A+B+C

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

X=A+B+C
0
1
1
1
1
1
1
1

Ví dụ
Xác đònh dạng sóng ngõ ra cổng OR khi ngõ vào A, B thay đổi theo giản đồ sau:
1

A 0

A

Out

B
B
2.3.2. Phép tốn AND và cổng AND

Nếu hai biến logic A và B được kết hợp qua phép AND, kết quả là:
X= A.B
Bảng sự thật của phép nhân 2 biến A và B như sau:
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

X=A.B
0
0
0
1

A
B

X = AB

Cổng AND

Kết luận


Phép toán AND sẽ có kết quả bằng 0 nếu một hay nhiều biến ngõ vào
bằng 0



Cổng AND chỉ có một ngõ ra và có thể có nhiều hơn hai ngõ vào

Ví dụ AND 3 ngõ vào có bảng sự thật như sau

A
B
C

X = ABC

Cổng AND

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

Trang 24

https://fb.com/tailieudientucntt

C
0
1
0
1
0
1
0
1

X = ABC
0
0
0
0
0
0
0
1


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ
Xác đònh dạng sóng ngõ ra của cổng AND ứng với các ngõ vào như sau
`

A

A

B

B

X = AB

Trong ví dụ này thấy rằng, ngõ ra x sẽ bằng với ngõ vào A khi B ở mức logic 1.
Vì vậy ta có thể xem ngõ vào B như ngõ vào điều khiển, nó cho phép dạng
sóng ở ngõ vào A xuất hiện ở ngõ ra hay không. Trong trường hợp này cổng
AND được dùng như một mạch cho phép, và đây là ứng dụng rất quan trọng của
cổng AND và sẽ được khảo sát sau.
2.3.3. Phép tốn NOT và cổng NOT
Nếu biến A được đưa qua phép toán NOT, kết quả x sẽ là:
X= A
Ta có 1 = 0 và 0 = 1 , bảng sự thật cho phép toán NOT như sau:
A
0
1

A

X= A
1
0

X=A
Cổng NOT

Cổng NOT chỉ có một ngõ vào và một ngõ ra
2.4.

MƠ TẢ CÁC MẠCH LOGIC THEO PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
Bất cứ một mạch logic nào cũng có thể được mô tả bằng cách sử dụng các phép
toán Boolean đã đề cập ở trên (cổng OR, AND và NOT là những khối cơ bản
trong một hệ thống số).
Ví dụ, xét mạch sau
A
B

A.B
C

X = A.B + C

Mạch có 3 ngõ vào A, B và C và một ngõ ra x. Sử dụng các biểu thức Boolean
cho mỗi cổng ta xác đònh được biểu thức ngõ ra x = AB + C.
Ví dụ
A
B

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

A+B
C

X = (A+B).C

Trang 25

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ xác đònh hàm ngõ ra của mạch sau

A
B
(a)
A
B
C
D
(b)
2.5.

THỰC HIỆN CÁC MẠCH LOGIC TỪ BIỂU THỨC BOOLEAN
Ví dụ thực hiện biểu thức sau: y = AC+BC+ABC
AC

A
C
B

B

BC

y=AC+BC+ABC

C
A

ABC

B
C

Ví dụ vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức sau: x= AB+BC

(

)

Ví dụ vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức x = ABC A+D sử dụng các cổng có số
ngõ vào nhỏ hơn 3
2.6.

CỔNG NOR VÀ CỔNG NAND
Cổng NAND và cổng NOR được dùng rất rộng rãi trong các mạch số. Thực sự
các cổng này đều được kết hợp từ các phép tóan cơ bản AND, OR và NOT.

2.6.1. Cổng NOR
Cổng NOR họat động giống như hai cổng OR và NOT mắc nối tiếp như hình vẽ
và biểu thức ngõ ra là x= A+B , bảng sự thật như sau:
OR
NOR
X= A+B
A
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A+B
0
1
1
1

A+B

1
0
0
0

B

Ký hiệu đảo

X= A+B

A
B

Ngõ ra cổng NOR là đảo với ngõ ra cổng OR

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 26

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ, xác đònh dạng sóng ngõ ra của cổng NOR ứng với ngõ vào như sau
1

A 0

A
B

B

2.6.2. Cổng NAND
Cổng NAND tương đương với AND cộng với NOT, ngõ ra của NAND sẽ là
x= AB , bảng sự thật cho như sau:
A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

AND

NAND

AB
0
0
0
1

AB

X= A+B

A
B

1
1
1
0

Ký hiệu đảo
X= A+B

A
B

Ngõ ra cổng NAND là đảo với ngõ ra cổng AND
Ví dụ, xác đònh dạng sóng ngõ ra của cổng NAND ứng với ngõ vào như sau

A

A

X

B
B

Ví dụ, thực hiện mạch logic có biểu thức như sau: x = AB(C + D) chỉ dùng
cổng NOR và NAND
Ví dụ xác đònh mức logic ngõ ra của ví dụ trên với A=B=C=1 và D=0
2.7.

PHÉP TỐN XOR (Exclusive-OR) và phép tốn tương đương

2.7.1. Phép tốn XOR và cổng XOR
Phép toán XOR (ký hiệu ⊕) có bảng sự thật như sau:
X
0
0
1
1

Y
0
1
0
1

X⊕Y
0
1
1
0

X

X⊕Y

Y
Cổng XOR

Từ bảng sự thật thấy rằng X ⊕ Y =1 khi X≠ Y và X ⊕ Y =0 khi X= Y
Biểu thức toán của phép toán XOR: X ⊕ Y = XY+YX

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 27

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

2.7.2. Phép tốn tương đương và cổng XNOR
Phép tóan tương đương (ký hiệu ≡) có bảng sự thật như sau:
X
0
0
1
1

Y
0
1
0
1

X≡Y
1
0
0
1

X

X⊕Y

Y
Cổng XNOR

Từ bảng sự thật thấy rằng X ≡ Y = 0 khi X≠ Y và X ≡ Y = 1 khi X= Y
Biểu thức toán: X ≡ Y = X ⊕ Y = XY + X.Y
2.8.

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN
(1) X . 0 = 0

(5) X + 0 = X

(2) X . 1 = X

(6) X + 1 =1

(3) X . X = X

(7) X + X = X
(8) X + X = 1

(4) X . X = 0
2.8.1. Phép giao hốn, kết hợp và phân phối
(9)

X+Y=Y+X

(10)

X.Y=Y.X

(11)

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z

(12)

X(YZ) = (XY)Z = XYZ

(13)

X(Y + Z) = XY + XZ

(14)

(W + X)(Y + Z) = WY + XY + WZ + XZ

(15)

X + XY = X

(vì X(1+Y) = X)

(16)

X + XY = X + Y

(vì X + X Y = (X + Y)(X + X ))

(17)

(X + Y)(X + Y ) = X

2.8.2. Định lý DeMorgan
(18)

X + Y = X.Y

(19)

( X.Y) = X + Y

2.8.3. Định lý Consensus
(20)

XY + XZ + YZ = XY + XZ

(21)

( X + Y)( X + Z)(Y + Z) = ( X + Y)( X + Z)

2.8.4. Các định lý cho phép tóan XOR
(22)

X⊕0=X

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 28

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

(23)

X⊕1= X

(24)

X⊕X=0

(25)

X⊕ X =1

(26)

X ⊕ Y = Y ⊕ X (Giao hoán)

(27)

(X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) = X ⊕ Y ⊕ Z (Kết hợp)

(28)

X(Y ⊕ Z) = XY ⊕ XZ (Phân phối)

(29)

( X ⊕ Y) = X ⊕ Y = X ⊕ Y = XY + X.Y

Ví dụ, rút gọn biểu thức y = A BD + A B.D
Giải. y = A B(D + D) , sử dụng đònh lý (8): D + D = 1

y = A B.1 = A B
Ví dụ, Rút gọn biểu thức x = ACD + ABCD
Ví dụ Rút gọn biểu thức z = (A + C).(B + D)
Ví dụ Thực hiện mạch logic với biểu thức ngõ ra z = A + B + C chỉ dùng cổng
NAND và cổng đảo
Ví dụ Rút gọn biểu thức a.b+ac+bc+bc+ab
Ví dụ Rút gọn biểu thức (a+b+c)(a+b+d)(b+c+d)
2.8.5. Các phép biến đổi trên cổng NAND và NOR
Tất cả các biểu thức Boolean đều có thể được thực hiện thông qua các cổng OR,
AND và NOT. Tuy nhiên, để thực hiện các biểu thức logic mà chỉ dùng 1 loại
cổng NAND (hay cổng NOR), ta sẽ biến đổi cổng NAND (hay cổng NOR) để
thực hiện các phép toán AND, OR, NOT như sau
Thực hiện các phép tốn bằng cổng NAND
A

x = A.A = A

A

x=AB

B
A

x = A.B = A + B

B

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 29

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Thực hiện các phép tốn bằng cổng NOR
A

x =A+A=A

A

x=A+B

B
A

x = A + B = A.B

B

Ví dụ. Thiết kế mạch thực hiện biểu thức x=AB+CD, sao cho dùng ít IC nhất.
Giả sử có các IC sau
14

13

12

11

10

9

8

Vcc 14

13

12

11

10

9

8

7408

7400

1

2

3

4

5

6

1

7

Vcc 14

2

3

4

5

6

7

GND

13

12

11

10

9

8

7432

1

2

3

4

5

6

7

GND

2.8.6. Biểu diễn qua lại giữa các cổng
Ở trên đã khảo sát 5 loại cổng logic (AND, OR, NOT, NAND, NOR) và các ký
hiệu chuẩn để biểu diễn chúng trên một mạch logic. Mặc dù vậy một số mạch
cũng sử dụng thêm một số cách biểu diễn khác như sau:

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 30

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

A

AB

AND

B
A
B

A+B

A
B

AB

A
B

A+B

A

A

OR

NAND

A
B

A + B = AB

A
B

A.B = A + B

A + B = AB

A
B

NOR A

A.B = A + B

B

NOT

A

A

Khái nhiệm về mức logic tích cực.

A
A tích cực
mức 1
Ví dụ,

A
B

A

A

A tích cực
mức 0

A tích cực
cạnh lên

AB

A
A tích cực
cạnh xuống
A + B = AB

A
B

(b)

(a)

Ở cổng NAND (a) có thể diễn giải: Ngõ ra tích cực ở mức thấp chỉ khi A và B ở
mức cao
Ở cổng NAND (b): Ngõ ra tích cực ở mức cao khi A hoặc B ở mức thấp
Ví dụ, diễn giải ý nghóa ngõ ra Z theo các ngõ vào ABCD sau
`

A
B
Z
C
D

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

(a)

Trang 31

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

A
B
Z

C
D

(b)
A
B
Z

C
D

(c)

¾ Lưu ý: khi hoán chuyển các cổng, một nguyên lý chung là: Kết nối ngõ ra
đảo của cổng này vào ngõ vào đảo của cổng kia (hình b), và ngỏ ra không
đảo của cổng này nào ngõ ra không đảo của cổng kia (hình c)
2.9.

LOGIC DƯƠNG VÀ LOGIC ÂM
Ứng với điều kiện họat động bình thường, điện áp cung cấp cho các ngõ vào của
cổng logic được hạn chế để có được một trong hai giá trò 0 và 1. Khi mức điện
áp ngõ vào đúng cung cấp cho một cổng logic thì điện áp ngỏ ra sẽ nhận một
trong hai giá trò.
Logic dương: Mức điện áp cao trong hai mức điện áp biểu thò mức logic 1 và
mức điện áp thấp trong hai mức điện áp biểu thò mức logic 0
Logic âm: Mức điện áp thấp trong hai mức điện áp biểu thò mức logic 1 và mức
điện áp cao trong hai mức điện áp biểu thò mức logic 0
Ví dụ cho cổng logic và quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra như sau:
E1

Cổng
Logic

E2
E3
E1
0
0
0
0
+V
+V
+V
+V

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

E2
0
0
+V
+V
0
0
+V
+V

E3
0
+V
0
+V
0
+V
0
+V

E0

E0
0
0
0
0
0
0
0
+V

Trang 32

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Bảng trạng thái logic dương được mô tả như sau
E1
0
0
0
0
1
1
1
1

E2
0
0
1
1
0
0
1
1

E3
0
1
0
1
0
1
0
1

E0
0
0
0
0
0
0
0
1

Thấy rằng E0 = 1 nếu E1, E2 và E3 = 1, nghóa là: E0 = E1E2E3
Từ đó thấy rằng, cổng trên tương đương với cổng AND cho mạch logic dương
Nếu chuyển bảng trạng thái sang logic âm, được như sau
E1
1
1
1
1
0
0
0
0

E2
1
1
0
0
1
1
0
0

E3
1
0
1
0
1
0
1
0

E0
1
1
1
1
1
1
1
0

E0 = 1 nếu E1 hoặc E2 hoặc E3 = 1, nghóa là: E0 = E1+E2+E3
Từ đó thấy rằng, cổng trên tương đương với cổng OR cho mạch logic âm
Nếu có một hàm đối với mạch logic dương, dễ dàng xác đònh hàm cho mạch đó
nhưng ứng với logic âm bằng cách áp dụng đònh lý logic âm
Định lý logic âm
Nếu một mạch tổ hợp có hàm F quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào theo logic
dương, thì mạch tổ hợp đó sẽ có hàm đối ngẫu với hàm F khi ngõ vào và ngõ ra
được đònh nghóa theo logic âm bằng cách biến đổi AND thành OR và ngược lại
Ví dụ. Xét mạch tổ hợp sau:
A
G

B
C

Giả sử hàm G được đònh nghóa theo logic dương là
G= ABC + A.BC

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 33

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

thì hàm G đònh nghóa theo logic âm sẽ là
G = ( ABC + A.BC )D = ( A + B + C)(A + B + C)
Ví dụ. Ứng dụng đònh lý logic âm, tìm đối ngẫu của hàm XOR
2.10. CÁC HÀM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
BIỂU DIỄN
2.10.1.

Hàm logic cơ bản

Một hàm y=f(x1, x2, …, xn) với các biến x1, x2, …, xn chỉ nhận hai giá trò 0 hoặc 1
và hàm y cũng chỉ nhận hai giá trò 0 hoặc 1 được gọi là hàm logic
(1) Hàm logic một biến: y=f(x)
Vì biến x sẽ nhận một trong hai giá trò: 0 hoặc 1, nên hàm y có 4 khả năng hay
thường gọi là 4 hàm y0, y1, y2, y3, và bảng chân lý như sau:

Hàm không
Hàm đảo

Bảng chân lý
x
0
1
y0 0
0
y1 1
0

Hàm lặp
Hàm đơn vò

y2
y3

Tên hàm

0
1

Thuật tóan logic
y0 = 0

Hàm luôn bằng 0

y1 = x
y2 = x
y3 = 1
y3= x + x

1
1

Ghi chú

Hàm luôn bằng 1

(2) Hàm logic hai biến y=f(x1, x2)
Với hai biến logic x1, x2, mỗi biến nhận hai giá trò là 0, 1, như vậy có 16 tổ hợp
logic tạo thành 16 hàm. Bảng tóm tắt 16 hàm từ y0 – y15
Tên hàm

Bảng chân trò
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 1

Thuật toán logic

Hàm không
Hàm Piec

x1
x2
y0
y1

Hàm cấm x1

y2

0 0

1

0

Y 2= x 1 x 2

Hàm đảo x1

y3

0 0

1

1

Y3 = x 1

Hàm cấm x2

y4

0 1

0

0

Y 4= x 2 x 1

Hàm đảo x2

y5

0 1

0

1

Y5 = x 2

Hàm XOR

y6

0 1

1

0

Y6= x 1 x 2 + x 1 .x 2

Hàm Cheffer

y7

0 1

1

1

Y 7= x 1 + x 2 = x 1 x 2

Hàm AND
Hàm XNOR

y8
y9

1 0
1 0

0
0

0
1

Y8 = x1x2
Y9 = x1x2 + x 1 .x 2

Hàm lặp theo x2
Hàm kéo theo x2

y10 1 0
y11 1 0

1
1

0
1

y10 = x2
Y11= x 1 +x2

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Y0 = 0
Y1= x 1 .x 2 = x 1 + x 2

Trang 34

https://fb.com/tailieudientucntt

Ghi
Chú


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Hàm lặp theo x1
Hàm kéo theo x1

y12 1 1
y13 1 1

0
0

0
1

y12= x1
y13= x1+ x 2

Hàm OR
Hàm đơn vò

y14 1 1
y15 1 1

1
1

0
1

y14 = x1 + x2
y15=1

(3) Hàm logic n biến y=f(x1, x2,…, xn)
Với hàm logic n biến, mỗi biến nhận một trong hai giá trò 0 hoặc 1 nên ta có 2n
tổ hợp biến, mỗi tổ hợp biến lại nhận hai giá trò 0 hoặc 1, do vậy số hàm logic
n
tất cả là 2 2 . Với 1 biến có 4 khả năng tạo hàm, với 2 biến có 16 khả năng tạo
hàm, với 3 biến có 256 khả năng tạo hàm, như vậy khi số biến tăng thì số hàm
có khả năng tạo thành rất lớn. Tuy nhiên tất cả khả năng này đều được biểu
hiện qua các khả năng tổng logic, tích logic và nghòch đảo logic của các biến.
Trong tất cả các hàm được tạo thành, đặc biệt chú ý đến hàm tổng chuẩn và
hàm tích chuẩn.
Hàm tổng chuẩn là hàm chứa tổng các tích mà mỗi tích có đủ tất cả các biến
của hàm.
Hàm tích chuẩn là hàm chứa tích các tổng mà mổi tổng đều có đủ tất cả các
biến của hàm
2.10.2.

Các phương pháp biểu diễn hàm logic

(1) Phương pháp biểu diễn thành bảng
Ở đây các giá trò của hàm phụ thuộc vào các biến được trình bày trong một bảng
gọi là bảng sự thật.
Ví dụ. một hàm 2 biến với giá trò hàm đã cho được biểu diễn thành bảng như
sau:
Giá trị thập phân
X1
của tổ hợp biến
X2
Y
0
0
0
1
1
0
1
X
2
1
0
0
3
1
1
1
Ghi chú: dấu X là giá trò hàm không xác đònh (có thể 0 hay 1)
Ưu điểm của cách biểu diễn hàm bằng bảng là dễ nhìn, ít nhầm lẫn.
Nhược điểm của phương pháp này là cồng kềnh, đặc biệt khi số biến lớn
(2) Phương pháp hình học
Ở đây miền xác đònh của hàm được biểu diễn trong không gian n chiều. Mỗi tổ
hợp biến được biểu diễn thành 1 điểm ở trong không gian đó, ứng với mỗi điểm
sẽ ghi 1 giá trò của hàm. Hai điểm nằm trên cùng một trục chỉ khác nhau bởi sự
thay đổi giá trò của một biến.

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 35

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Sau đây minh họa cách biểu diễn hàm logic 1 biến, 2, 3 biến dưới dạng hình học
1

0

x1

x

(a)

001
x2

x2
100

000

11

00

111

011

x1
10

110

010

101

x3

(c)

01
(b)

(3) Phương pháp biểu thức đại số
Một hàm logic n biến bất kỳ bao giờ cũng có thể biểu diễn thành hàm tổng
chuẩn đầy đủ và tích chuẩn đầy đủ
Cách viết hàm dưới dạng tổng chuẩn đầy đủ



Chỉ quan tâm đến tổ hợp biến mà hàm có giá trò bằng 1. Số lần hàm
bằng 1 sẽ chính là số tích (minterm) của các tổ hợp biến



Trong mỗi tích, các biến có giá trò bằng 1 được giữ nguyên, còn các biến
có giá trò bằng 0 thì được lấy giá trò đảo



Hàm tổng chuẩn đầy đủ sẽ là tổng các tích đó

Ví dụ,
Thứ tự tổ hợp biến
0
1
2
3
4
5
6
7

A

B

C

F

0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1

0
0
1
1
0
0
0
1

Minterm




ABC
ABC



ABC

Vậy F =ΣABC (2,3,7) = ABC + ABC + ABC
Cách viết hàm dưới dạng tích chuẩn đầy đủ



Chỉ quan tâm đến tổ hợp biến mà hàm có giá trò bằng 0. Số lần hàm
bằng 0 sẽ chính là số tổng (maxterm) của các tổ hợp biến



Trong mỗi tổng các biến có giá trò 0 được giữ nguyên, còn các biến có
giá trò 1 được lấy đảo.



Hàm tích chuẩn đầy đủ sẽ là tích các tổng đó

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 36

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ,
Thứ tự tổ hợp biến
0
1
2
3
Vậy

A

B

f

0
0
1
1

0
1
0
1

0
1
0
0

Maxterm
A+B
A+B
A+B

f= ΠAB(0,2,3) = (A+B) ( A+B )( A+B )

(4) Phương pháp biểu diễn bằng bìa Karnaugh



Để biểu diễn hàm logic n biến, cần thành lập một bảng có 2n ô, mỗi ô
tương ứng với một tổ hợp biến. Đánh số thứ tự của các ô trong bảng
tương ứng với giá trò của tổ hợp biến



Các ô cạnh nhau hoặc đối xứng nhau chỉ cho phép khác nhau về giá trò
của một biến



Trong các ô ghi giá trò của hàm tương ứng với giá trò của tổ hợp biến đó

Mơ tả hàm f hai biến bằng bìa Karnaugh

f
B
A=0, B=0
A=0, B=1

A

0

1

0

A=1, B=0

1

A=1, B=1

Mỗi một ô vuông biểu diễn một minterm của hàm f nếu nó có giá trò 1, và biểu
diễn một maxterm nếu có giá trò 0. Đọc giá trò minterm, maxterm này giống như
đối với bảng sự thật
Ví dụ, Hàm f được biểu diễn bằng bảng sự thật và bằng bìa Karnaugh như sau

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

f
1
1
0
0

f
B

A

f
0

1

0

1

0

1

1

0

B
A.B
AB

Từ bìa Karnaugh ta cũng có thể viết lại hàm f = A.B + AB

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 37

https://fb.com/tailieudientucntt

A

0

1

0

1

0

1

1

0


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Mơ tả hàm f ba biến bằng bìa Karnaugh
A
0
0
0
0
1
1
1
1

B
0
0
1
1
0
0
1
1

C
0
1
0
1
0
1
0
1

f
0
0
1
1
1
0
1
0

f

A

0

1

00

0

1

01

0

0

11

1

0

10

1

1

BC

ABC=110
thì f=1

Lưu ý: các ô cạnh nhau hoặc đối xứng nhau chỉ cho phép khác nhau về giá trò
của một biến
Mơ tả hàm f 4 biến bằng bìa Karnaugh
Ví dụ, Mô tả hàm f(a,b,c,d) = acd + ab + d

f

ab
00

01

11

10

00

1

1

1

1

01

1

1

1

1

11

0

1

1

1

10

0

1

0

0

cd

Mơ tả hàm f 5 biến bằng bìa Karnaugh
Một bìa 5 biến có thể được xây dựng trên không gian 3 chiều bằng cách đặt một
bìa 4 biến trên một bìa thứ hai. Số hạng lớp dưới được đánh số từ 0 đến 15, số
hạng ở lớp trên được đánh số từ 16 đến 31. Vì vậy số hạng nhóm dưới chứa A
và số hạng nhóm trên chứa A

f

A
1/0

BC
00
DE
00
01
11

A.B.CDE

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

10

01

16

1

28

1

1

0

17

4
21

19

23

1

3
22

1
2

1 12

1

5

1

113

18
19

27

1

11
26

30
6

1

15

7

1

1

25

31

1

10
24

29

1

18

11

20

14

10

Trang 38

https://fb.com/tailieudientucntt

A.BCDE


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ngoài ra ta có thể mô tả hàm 5 biến như sau:

A=0

f

BC
00
DE

A=1

01

11

11

10

11

01

00

00

0

2

6

4

5

7

3

1

01

8

10

14

12

13

15

11

9

11

24

26

30

28

29

21

27

25

10

16

18

22

20

21

23

19

17

Mơ tả hàm f 6 biến bằng bìa Karnaugh

f

ABC
000

001

011

010

110

111

101

100

000

0

1

3

2

6

7

5

4

001

8

9

11

10

14

15

13

12

011

24

25

27

26

30

21

29

28

010

16

17

19

18

22

33

21

20

110

48

49

51

50

54

55

53

52

111

56

57

59

58

62

63

61

60

101

40

41

43

42

46

47

45

44

100

32

33

35

34

38

39

37

36

DEF

2.11. TỐI THIỂU HĨA HÀM LOGIC BẰNG BÌA KARNAUGH
Các bước thực hiện
Bước 1. Biểu diễn hàm đã cho thành bảng Karnaugh
Bước 2. Xác đònh nhóm các tích cực tiểu hoặc các tổng cực tiểu (nhóm 2k ô kế cận
hoặc đối xứng với điều kiện trong mỗi nhóm phải có ít nhất 1 ô chưa được nhóm bởi
các nhóm khác)
Bước 3. Trong mỗi nhóm, các biến có giá trò giống nhau thì giữ lại, các biến có giá
trò khác nhau thì đơn giản, sau đó viết hàm kết quả theo tổng hoặc theo tích

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 39

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ, tích cực tiểu 2 ô kế cận

x

C

C

0
1
AB
1
0
AB
(a)

0
0
0
0

A.B
A.B

x
A.B
A.B

x=ABC+ABC = BC

AB
AB

C

C
0
1
0
0
(b)

0
X
0
0

C.D

CD

0
0
0
1

0
0
X
0
(d)

x=ABC+ABC = AB

Ví dụ, ruùt goïn bìa K sau

x

C

C

1
0
AB
0
1
AB
(c)

X
X
0
0

A.B
A.B

x
A.B
A.B

AB
AB

CD CD
1
1
0
0
0
0
0
X

Ví dụ, tích cực tiểu 4 ô kế cận

x

C

C

0
0
AB
X
0
AB
(a)

1
X
1
1

A.B
A.B

x

C.D

CD

0
0
1
0

0
0
1
0
(b)

A.B
A.B

x=C

AB
AB

CD CD
X
0
0
0
x=AB
X
1
0
0

Ví dụ, ruùt goïn bìa K sau

x
A.B
A.B

AB
AB

C.D

1
0
0
X

A.B
A.B

AB
AB

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

x

CD CD
0
0
0
1
1
0
X
1
0
0
0
0
(c)
x

CD

A.B
A.B

AB
AB

C.D

CD

1
0
0
1

0
1
0
X
(e)

C.D

CD

0
0
X
1

0
0
0
0
(d)

CD CD
X
1
0
0
0
1
X
1

CD CD
0
1
0
0
0
0
X X

Trang 40

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Ví dụ, tích cực tiểu 8 ô kế cận

x

x
C.D

CD

0
1
1
0

0
1
1
0
(a)

A.B
A.B

AB
AB

CD CD
X
0
1
1 x=B
X
1
X
0

Ví dụ, ruùt goïn bìa K sau

x

C.D

CD

1
X
0
1

1
0
0
1
(c)

A.B
A.B

AB
AB

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

A.B
A.B
AB
AB

C.D

CD

1
X
1
1

1
X
1
1
(b)

C.D

CD

1
1
1
1

0
0
0
0
(d)

CD CD
0
0 x= C
0
X
0
0
0
0

x

CD CD
1
0
0
1

A.B
A.B

1
X
0
1

AB
AB

CD CD
0
1
0
1
0
1
0
1

Trang 41

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

Bài tập chương 2

2.1. Vẽ dạng sóng ngõ ra cho mạch hình sau
(A)

(A)
(B)
(C)

(B)

X

(C)

2.2. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 0, vẽ dạng sóng ngõ ra.
2.3. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 1, vẽ dạng sóng ngõ ra.
2.4. Có bao nhiêu tổ hợp ngõ vào của cổng OR 5 ngõ vào làm cho ngõ ra ở
mức cao?
2.5. Thay đổi cổng OR ở bài 2.1 thành cổng AND
a. Vẽ sóng ngõ ra
b. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối mass
c. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối +5V
2.6. Thêm cổng đảo ở ngõ ra của cổng OR (bài 2.1). Vẽ dạng sóng tại ngõ ra
của cổng đảo.
2.7. Viết biểu thức Boolean cho ngõ ra X. Xác định gia trị của X ứng với các
điều kiện ngõ vào có thể và liệt kê các giá trị vào bảng sự thật.
A
B
X

C
2.8. Làm lại với các yêu cầu tương tự bài 2.7
A
B
C

X

D

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 42

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

2.9. Xác định bảng sự thật đầy đủ cho mạch ở bài 2.8 bằng cách tìm mức
logic hiện điện tại ngõ ra ứng với mỗi sự kết hợp của ngõ vào.
2.10. Thay cổng OR thành cổng AND, cổng AND thành cổng OR ở bài 2.8,
viết biểu thức ngõ ra.
2.11. Ứng với mỗi biểu thức bên dưới, xây dựng mạch logic tương ứng,
dùng cổng AND, OR, cổng đảo
a. x = AB(C + D )
b. z = ( A + B + CD E ) + BC D
c. y = ( M + N ) + PQ
d. x = W + PQ
e. z = MN ( P + N )
2.12. Vẽ dạng sóng ngõ ra
(A)

(A)
(B)
(C)

(B)

X

(C)
2.13. Làm lại bài 2.12 với cổng NAND
2.14. Viết biểu thức ngõ ra cho mạch sau và xác định bảng sự thật
A
B

X

C
2.15. Thay đổi mạch điện được xây dựng trong bài 2.15 chỉ dùng cổng NAND
2.16. Hoàn tất các biểu thức sau
a. A + 1 =
b. A . A =
c. B . B =
d. C + C =
e. X . 0 =
f. D . 1 =
g. D + 0 =
h. C + C =
i. G + GF =
j. y + wy =
GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 43

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

2.17. Đơn giản biểu thức sau
a. x = ABC + AC
b. y = (Q + R ) Q + R

(

)

c. w = ABC + ABC + A
d. q = RST R + S + T

(

)

e. x = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
f.

(

)(

)

z = B +C B +C A+ B +C

g. x=(M+N)(M+P)(N+P)
h. z=ABC+ABC+BCD
i. y = C + D + AC D + ABC + ABCD + AC D

(

)

2.18. Hãy chứng minh định lý DeMorgan bằng tất cả các cách có thể.
2.19. Đơn giản biểu thức bên dưới dùng định lý DeMorgan:
a. ABC
b. A+BC
c. ABCD
d. A(B+C)D
e. (M+N)(M+N)
f.

ABCD

2.20. Trình bày cách tạo cổng NAND 2 ngõ vào từ cổng NOT 2 ngõ vào.
2.21. Trình bày cách tạo cổng NOR 2 ngõ vào từ cổng NAND 2 ngõ vào.
2.22. Hoàn tất bảng sự thật cho mạch sau
A
B

X

C
D
E

2.23. Chỉ ra cách thực hiện x = A BC bằng 1 cổng NOR 2 ngõ vào và 1 cổng
NAND 2 ngõ vào.
2.24. Thực hiện biểu thức Y = ABCD sử dụng các cổng NAND 2 ngõ vào.

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 44

https://fb.com/tailieudientucntt


Bài Giảng Kỹ Thuật Số

Chương 2

2.25 Rút gọn bìa Karnaugh sau

A.B
A.B
AB
AB

A.B
A.B
AB
AB

C.D

CD

0
X
0
0

0
1
1
0
(a)

C.D

CD

X
0
1
0

1
1
X
0
(c)

CD CD
0
1
X
1

1
0
0
0

A.B
A.B
AB
AB

C.D

CD

0
1
1
0

0
1
1
0
(b)

CD CD

CD CD
0
X
1
1

0
1
0
0

2.26 Rút gọn hàm bài 2.17 dùng bìa Karnaugh

GV: Nguyễn Trọng Hải

CuuDuongThanCong.com

Trang 45

https://fb.com/tailieudientucntt

1
1
0
0

0
1
0
0



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×