Tải bản đầy đủ

Bài tập Mô phỏng lần 4 (Phương trình vi phân thường ODE)

[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159]

June 20, 2015

BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 (PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ODE)
BÀI 1 (Slide 28 – 93280873-ODE)
Đề bài: Dòng nhập liệu vào bình phản ứng
với tốc độ F = 1 L/s bằng với tốc độ dòng
ra. Khối lượng riêng của chất lỏng là hằng
số. Nồng độ của dòng nhập liệu là CAi = 10
mol/L. Thể tích của bình là V = 10 L và
nồng độ ban đầu của A là 10 mol/L. Hãy
biểu diễn nồng độ của A theo thời gian biết
rằng nồng độ mol của A ở thời điểm ban đầu
(t = 0) là CA,t = 0 = 1 mol/L.
Giải
Cân bằng khối lượng cho cấu tử A như sau: V

dC A
 FC
i Ai  FoC A

dt

Trong đó: CA là nồng độ mol (mol/L) của A trong bình ở thời điểm t (s)
Fi, Fo lần lượt là tốc độ dòng nhập liệu đi vào bình phản ứng và tốc độ dòng ra khỏi
bình phản ứng.
Với V = 10 L, Fo = Fi = 1 L/s, CAi = 10 ta được phương trình vi phân:

dC A
C
 1 A
dt
10

Giải phương trình vi phân này bằng giải tích:

dC A
C
10  C A
 1 A 
dt
10
10




10dC A
d (10  C A )
1
 dt 
  dt
10  C A
10  C A
10

d (10  C A ) t  1 
10  C A t
      ln

 C A  10  9e t /10



10

C
10
9
10

A
C A (0) 1
0
CA (t )

Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số (Runge Kutta Bậc 4)

dCA
C
 1  A  1  0,1CA  CA'  f (t , C A )  1  0.1CA
dt
10
1
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159]

June 20, 2015

Quy trình thực hiện như sau:
ti+1 = ti + h
CA,i+1 =CA,i + hΦ(ti, CA,i)

  ti , CA,i  

K1  2 K 2  2 K3  K 4
6

h
h

K1  f (ti , C Ai ), K 2  f  ti  , C Ai  K1 
2
2

h
h

K3  f  ti  , C Ai  K 2  , K 4  f  ti  h, C Ai  K 3 h 
2
2


Từ đó ta lập và tính toán được kết quả như sau:
h

t

CA,i

CA,i+1

Φ(ti, CA,i)

K1

K2

K3

K4

1
1
1

1
1
1

0
1
2

120
121
122

1.0000
1.8565
2.6314

9.9999
9.9999
10.0000

1.85646
2.63142
3.33263

9.99995
9.99995
9.99996

0.856463
0.774959
0.701212

5.26E-06
4.76E-06
4.31E-06

0.9
0.81435
0.73686

5.5E-06
5E-06
4.5E-06

0.855
0.77364
0.70001

5.3E-06
4.8E-06
4.3E-06

0.85725
0.77567
0.70186

5.3E-06
4.8E-06
4.3E-06

0.81428
0.73679
0.66667

5E-06
4.5E-06
4.1E-06

Nồng độ mol của A biểu diễn theo thời gian như sau:

Nồng độ mol của A, mol/L

12
10
8

6
4
2
0
0

20

40

60

80

t, giây
"Nghiệm phương pháp số"

100

120

140

"Nghiệm giải tích"

Nghiệm giải tích và phương pháp số (lấy bước nhảy 1 giây) là rất khớp với nhau.
2
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

CA,i
(giải tích)
1.0000
1.8565
2.6314

9.9999
9.9999
10.0000


[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159]

June 20, 2015

BÀI 2 (Slide 34-93280873-ODE)
Đề bài: Trong bình khuấy trộn có phản ứng
A → B → C. Phản ứng A → B có hằng số
tốc độ phản ứng k1 = 0,2 hr-1 và phản ứng B
→ C có hằng số tốc độ phản ứng k2 = 0,1
hr-1. Ở thời điểm ban đầu (t = 0) CA0 = 1
mol/L và CB = CC = 0 mol/L. Hãy biểu diễn
A→B→C

nồng độ của A, B, C theo thời gian.
Giải:

k1
k2
A 
 B 
C

Nồng độ của cấu tử A, B, C biến đổi theo thời gian được biểu diễn qua hệ phương trình vi phân
sau:
 dC A
 dt  k1C A  f1 (t , C A , CB )

 dCB
 k1C A  k2 CB  f 2 (t , C A , CB )

dt

CC  C A0  CB 0  CC 0  C A  CB



Quy trình giải hệ phương trình vi phân này theo phương pháp số:
ti+1 = ti + h
CA,i+1 =CA,i + hΦA
A 

CA,i+1 =CA,i + hΦA

K1  2 K 2  2 K3  K 4
6

B 

L1  2 L2  2 L3  L4
6

K1  f1 (ti , C A,i , CB,i )

L1  f 2 (ti , C A, i , CB,i )

h
h
h

K 2  f1  ti  , C A,i  K1 , CB,i  L1 
2
2
2

h
h
h

K 3  f1  ti  , C A,i  K 2 , CB,i  L2 
2
2
2


h
h
h

L2  f 2  ti  , C A, i  K1 , CB, i  L1 
2
2
2

h
h
h

L3  f 2  ti  , C A, i  K 2 , CB, i  L2 
2
2
2


K 4  f1  ti  h, C A,i  K 3 h, CB,i  L3h 

L4  f 2  ti  h, C A,i  K 3 h, CB,i  L3h 

3
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159]

June 20, 2015

Từ đó ta lập và tính toán được kết quả như sau:
h
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5
h
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5

t
0
0.5
1

49
49.5
50
t
0
0.5
1

49
49.5
50

CA,i
1.0000
0.9048
0.8187

0.0001
0.0001
0.0000
CB,i
0
0.092784
0.172213

0.014782
0.014066
0.013385

CA,i+1
0.9048
0.8187
0.7408

0.0001
0.0000
0.0000
CB,i+1
0.092784
0.172213
0.239779

0.014066
0.013385
0.012737

ΦA
-0.1903
-0.1722
-0.1558

0.0000
0.0000
0.0000
ΦB
0.185568
0.158858
0.135132

-0.00143
-0.00136
-0.0013

K1
-0.2000
-0.1810
-0.1637

0.0000
0.0000
0.0000
L1
0.2
0.171689
0.146525

-0.00147
-0.0014
-0.00133

K2
-0.1900
-0.1719
-0.1556

0.0000
0.0000
0.0000
L2
0.185
0.158349
0.134674

-0.00143
-0.00136
-0.0013

K3
-0.1905
-0.1724
-0.1560

0.0000
0.0000
0.0000
L3
0.185875
0.159134
0.13538

-0.00143
-0.00136
-0.0013

K4
-0.1810
-0.1637
-0.1481

0.0000
0.0000
0.0000
L4
0.171656
0.146495
0.124159

-0.0014
-0.00133
-0.00127

CC,i
0
0.002379
0.009056

0.985162
0.985883
0.98657

Nồng độ mol của A, B, C biểu diễn theo thời gian như sau:

Nồng độ mol C, mol/L

1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0

10

20

30

40

50

Thời gian t, giờ
"CA"

"CB"

"CC"

Dựa vào đồ thị cho thấy nồng độ mol của A giảm dần theo thời gian phù hợp với lý thuyết vì A
phản ứng sinh ra B nên lượng chất sẽ giảm dần theo thời gian, nồng độ A sẽ tiến dần về 0. Còn
4
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


[BÀI TẬP MÔ PHỎNG LẦN 4 – NGÔ TRUNG KIÊN - 7141159]

June 20, 2015

đối với chất B thì lượng chất được tạo thành từ A (k1 = 0,2 hr-1) lớn hơn tốc độ phản ứng sinh ra
C (k2 = 0,1 hr-1) nên lúc đầu khi lượng chất A còn nhiều nên lượng chất B sẽ tăng lên và đến khi
đến đỉnh điểm cân bằng giữa lượng chất tạo thành và mất đi. Sau đó lượng chất sẽ giảm dần theo
thời gian vì lúc này lượng chất phản ứng sinh ra C lớn hơn lượng chất tạo thành từ A. Nồng độ B
sẽ tiến dần về 0. Đối với chất C lượng chất lúc đầu tăng chậm sau đó tăng nhanh, nồng độ C sẽ
tiến dần về 1 mol/L khi đó A đã hoàn toàn chuyển thành C, trong bình chỉ còn C.

5
CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×