Tải bản đầy đủ (.pdf) (32 trang)

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 4 - Đỗ Tú Anh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.24 MB, 32 trang )

Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 4: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc

2

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Tổ chức



3

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


4

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Vài nét lịch sử
ƒ Euler nghiên cứu các dây rung,
~ 1750
ƒ Phương pháp phân tích các
sóng của Fourier (1822) là sự
phát triển công trình của ông về
dòng nhiệt
ƒ Fourier chỉ ra rằng các tín hiệu
tuần hoàn có thể được biểu diễn
thành tổng của các hàm sin có tần
số khác nhau

ƒ Được sử dụng rộng rãi để hiểu
rõ về cấu trúc và bản chất tần số
của tín hiệu
5

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Tại sao lý thuyết Fourier quan trọng ?
ƒ Phép biến đổi Fourier ánh xạ một tín hiệu miền thời gian sang một
tín hiệu miền tần số
ƒ Bản chất tần số của các tín hiệu được giải thích một cách đơn giản
trên miền tần số

ƒ Thiết kế các hệ thống để lọc các thành phần tần số thấp hoặc cao
Bất biến với
tín hiệu cao
tần
6

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
7

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Hàm riêng
(Đi sâu vào các hệ liên tục trước, nhưng kết quả có thể áp dụng cho các hệ
gián đoạn)
Hệ thống
Hàm riêng

Giá trị riêng

Hàm riêng


Từ tính chất xếp chồng của hệ LTI

– Các hàm riêng của hệ LTI là gì?
– Loại tín hiệu nào có thể biểu diễn thành xếp chồng của những hàm riêng đó?

ƒ Giống khái niệm giá trị riêng/vector riêng trong đại số ma trận
8

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Hàm riêng
ƒ Ví dụ 1: Hệ thống đơn vị

Bất kỳ hàm nào cũng là một hàm riêng của hệ LTI này
ƒ Ví dụ 2: Hệ thống trễ

Bất kỳ hàm tuần hoàn x(t)=x(t+T) cũng là một hàm riêng của hệ LTI
này
9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com


https://fb.com/tailieudientucntt


Hàm riêng
ƒ Ví dụ 3: h(t) là hàm chẵn

là một hàm riêng

(cho hệ
thống này)

Một hệ thống LTI cụ thể có nhiều hơn một loại hàm riêng

10

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Hàm riêng
đúng với tất cả

giá trị riêng

hàm riêng

Các hàm mũ phức là các

hàm riêng của bất kỳ hệ
LTI nào

11

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
12

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



Tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier
x(t ) = x(t + T )

với mọi t

– T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ: x(t ) = A cos(ω0t + θ )

x(t ) = Ae jω0t

A thực

x(t ) =



∑ ak e jω t
0

k =−∞



ω0

Tk =
k ω0


A phức

xk (t ) = Ae jkω0t k nguyên
Xét

T=

Chuỗi Fourier
Chu kỳ cơ bản

– tuần hoàn với chu kỳ T
– {ak } là các hệ số chuỗi Fourier

– k = ±1 thành phần cơ bản

– k = 0 thành phần một chiều (DC)

– k = ±2 hài thứ hai, …
13

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chuỗi Fourier
ƒ Lý thuyết về tích chập LTI sử dụng khái niệm là bất kỳ tín hiệu vào
nào cũng được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị

được dịch
ƒ Bây giờ ta sẽ xem làm thế nào các tín hiệu (vào) được biểu diễn
thành tổ hợp tuyến tính của các hàm Fourier cơ sở (các hàm riêng),
chính là các hàm mũ thuần ảo
ƒ Các tín hiệu này đgl các chuỗi Fourier liên tục
ƒ Các cơ sở là các tín hiệu sin được dịch, được biểu diễn dưới dạng
các hàm sin phức

14

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
ƒ x (t ) = sin ω0t có thể viết thành x(t ) =

1 jω0t − jω0t
−e
(e
)
2j

Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là

1
1

a1 =
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j
ƒ Đồ thị biên độ và góc pha

15

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Ví dụ 2: Tổng các hàm sin thực
ƒ Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0
ƒ Tín hiệu này có thể viết thành

ƒ Đồ thị biên độ và góc pha

16

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI
ƒ Hệ LTI có đáp ứng xung

h(t ) = α e −α t u (t ),

y (t ) =

α >0



∑ ak H ( jkω0 )e jkω

0

k =−∞

H ( jkω0 ) =

với tín hiệu vào





h(τ )e − jkω0τ dτ

−∞

ƒ Ta có



H ( jkω0 ) = ∫ α e

−ατ − jkω0τ

e

0



dτ = α ∫ e

− (α + jkω0 )τ

0

=−

α
α + jkω0

e

− (α + jkω0 )τ


0


=

α
α + jkω0

.

ƒ Tín hiệu ra

y (t ) =
trong đó

2

∑ ck e

jkω0t

k =−2

ck = ak H ( jkω0 )

,

c0 = 1,
1 (α − jα )
c1 = 2
,
α + jω0
c2 =


2

(α + jα )

4
α + j 2ω0

1 (α + jα )
c−1 = 2
α + jω0
,

c−2 =

(α − jα )
4
α + j 2ω0

2

17

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt



Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
ƒ Với tín hiệu thực, ta luôn có

a− k = ak∗

(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t),
với chú ý rằng x(t)=x*(t))
do đó có thể viết


(

x(t ) = a0 + ∑ ak e
k =1

jkω0t

+ a− k e

− jkω0t



) = a + ∑(a e
0

k =1

k


jkω0t

+ ak∗e− jkω0t

)

ƒ Một số cách biểu diễn khác

ak = Ak e

jθ k



x(t ) = a0 + 2∑ Ak cos( kω0t + θ k )
k =1

ak = Bk + jCk



x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t )
k =1

18

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com


https://fb.com/tailieudientucntt


Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực
ƒ Ví dụ

19

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.2.1 Hàm riêng và giá trị riêng
3.2.2 Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
3.2.3 Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
3.2.4 Điều kiện Dirichlet
3.2.5 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu gián đoạn
3.2.6 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
3.2.7 So sánh chuỗi Fourier liên tục và rời rạc
20

EE3000-Tín hiệu và hệ thống


CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Xác định các hệ số chuỗi Fourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ

Ở đây

1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ

chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com



21

https://fb.com/tailieudientucntt


Tiếp tục …






Cặp chuỗi Fourier liên tục

(Phương trình
tổng hợp)
(Phương trình
phân tích)
22

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau

1
jkω0t
ω
t
e
(sin
)
0
T ∫T

1
1
j (1− k )ω0t
=

e
dt
2 jT ∫T
2 jT

ak =

∫T

e j ( −1−k )ω0t dt

ƒ Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đó ta có

a1 =

1
1
, a−1 = − , ak = 0 k ≠ ±1
2j
2j
23

EE3000-Tín hiệu và hệ thống


CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn

Với k = 0
Với k ≠ 0

24

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


Một số chuỗi Furier có ích
x(t ) =





k =−∞

Ck e


jkω0t

,

1
Ck =
T0

∫T

x(t )e − jkω0t dt

0

25

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt


×