Tải bản đầy đủ

Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm MathCad
trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm
bằng phương pháp sai phân hữu hạn
Apply approximate functions of MathCad software for determining internal forces and
displacement of beams using finite difference method
Hoàng Thị Linh Quyên

Tóm tắt
Bài báo giới thiệu cách giải bài toán dầm có
điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai
phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ
trong phần mềm lập trình MathCad. Sử dụng
hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép
giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn
đạt được kết quả chính xác tương đối theo
yêu cầu.
Từ khóa: phương pháp sai phân hữu hạn, dầm,
hàm xấp xỉ trong MathCad

Abstract
This paper presents an approach to solve

problem of beams with any constraints using
finite difference method with the applying
of approximate functions in the MathCad
programming software. Using the approximate
functions of MathCad software gives a significant
reduction of mesh number in the achieving of
relative accuracy results.
Key words: finite difference method, beam,
approximate functions in MathCad

1. Đặt vấn đề
Dầm là cấu kiện chịu lực cơ bản và rộng rãi trong kết cấu công trình. Trong
lí thuyết tính toán, nội lực và chuyển vị dầm được xác định trên cơ sở phương
pháp giải tích và cho lời giải chính xác, nhưng chỉ áp dụng được trong các trường
hợp đơn giản. Đối với bài toán dầm với điều kiện biên và chịu lực phức tạp việc
áp dụng phương pháp giải tích gặp phải các khó khăn về mặt toán học. Cùng với
sự phát triển của công nghệ thông tin và các công cụ lập trình các bài toán phức
tạp đã có thể giải quyết được bằng cách áp dụng các phương pháp số. Một trong
những phương pháp số phổ biến hiện và được phát triển hiện nay là phương
pháp sai phân hữu hạn.
Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các
phương trình vi phân hoặc các phương trình đạo hàm riêng trên cơ sở thay thế
các đạo hàm trong các phương trình vi phân và các điều kiện biên bằng hiệu
của các giá trị hàm tương ứng giữa một khoảng chia hữu hạn. Áp dụng phương
pháp sai phân hữu hạn đưa việc giải hệ các phương trình vi phân về việc giải hệ
phương trình đại số. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn chỉ cho
phép xác định giá trị hàm tại các điểm nút, giá trị nội lực và chuyển vị tải các điểm
còn lại được xác định bằng cách nội suy. Để đơn giản hóa trong việc xây dựng lời
giải người ta giả thiết rằng các giá trị các đại lượng cần tìm giữa các khoảng chia
thay đổi theo quy luật tuyến tính, điều đó dẫn tới sai số lớn khi tính toán nội lực
và chuyển vị của dầm vì các đại lượng cần tìm trong bài toán dầm có mối liên hệ
vi phân bậc 2, bậc 3, bậc 4. Vì vậy để kết quả bài toán giải theo phương pháp sai
phân hữu hạn được chính xác thường phải chia lưới sai phân rất nhỏ, dẫn tới khối
lượng tính toán lớn. Đây chính là điểm yếu của phương pháp sai phân hữu hạn.
Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm ứng dụng
có các hàm tính nội suy bậc cao cho phép giải bài toán với độ chính xác cao mà
không cần phải chia quá nhỏ lưới sai phân trong phương pháp sai phân hữu hạn.
Nội dung bài báo này sẽ trình bày cụ thể việc sử dụng các hàm nội suy trong phần
mềm lập trình MathCad bằng phương pháp sai phân hữu hạn để tính toán nội lực
và chuyển vị cho dầm bất kỳ.


2. Phương pháp sai phân hữu hạn trong tính toán nội lực và chuyển vị của
dầm
2.1. Phương pháp sai phân hữu hạn cho hàm một biến
Xét hàm một biến y(x) liên tục trong miền xác định của nó. Gọi ∆x là bước sai
phân. Ta có giá trị của hàm tại điểm chia thứ n là yn. Trên hình 1 thể hiện đồ thị
biểu diễn hàm tính theo phương pháp sai phân hữu hạn.
Đạo hàm trong các phương trình được biểu thị bằng các sai phân của hàm
như sau

ThS. Hoàng Thị Linh Quyên
Bộ môn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu,
Khoa Xây dựng
Email: hoanglinhquyen@gmail.com
Điện thoại: 084.974688919

Ngày nhận bài: 29/5/2017
Ngày sửa bài: 10/6/2017
Ngày duyệt đăng: 05/10/2018

• Đạo hàm cấp 1:

∆y
yn+1 − yn−1
dy
≈ n =
dx n ∆x
2∆x



(1)

• Đạo hàm cấp 2:

( y − 2yn + yn−2 )
d2 y
≈ n+ 2
2
2
dx n
4 ( ∆x )



(2)

• Đạo hàm cấp 4:
S¬ 32 - 2018

33


KHOA H“C & C«NG NGHª
∆ 4 yn
d4 y

dx 4 n ( ∆x )4
=

yn+ 2 − 4yn+1 + 6yn − 4yn−1 + yn−2

( ∆x )

4

(3)

2.2. Hệ phương trình sai phân tính nội lực và chuyển
vị của

dầm
Xét dầm chịu tải trọng như hình 2, theo lý thuyết tính toán
của sức bền vật liệu ta có mối liên hệ vi phân giữa các đại
lượng độ võng, mômen uốn, lực cắt và tải trọng phân bố như
sau:

d 2M
=q
dx 2

Hình 1. Đồ thị biểu diễn hàm theo phương pháp sai
phân hữu hạn



(4)

2

d y M
=
dx 2 EI x

(5)

d y
q
=
dx 4 EI x
4

(6)

Hình 2. Sơ đồ tải trọng và chuyển vị của dầm

Trong đó M: mômen
uốn có chiều dương nếu căng thớ

dưới ;

Hình 3. Đồ thị minh họa hàm nội suy tuyến tính

Hình 4. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các
véctơ hệ số cspline

Hình 5. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các
véc tơ hệ số pspline

Hình 6. Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng các
véc tơ hệ số lspline

34

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG


lượng tính toán phức tạp. Trong phần mềm MathCad có các
hàm nội suy cho phép xấp xỉ hóa tập hợp các giá trị rời rạc
(x, y) và dùng các hàm này cho phép xác định các đại lượng
nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân
hữu hạn.
3.1. Các hàm xấp xỉ nội suy
3.1.1. Hàm nội suy tuyến tính

Hình 7. Dầm 2 đầu ngàm
q: cường độ tải trọng phân bố, chiều dương hướng từ
dưới lên trên ;
y(x): chuyển vị của dầm;
EIx: độ cứng chống uốn.
Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có các
phương trình đại số xác định mô men uốn và chuyển vị của
dầm như sau:

Mn−1 − 2Mn + Mn+1 =
∆ x 2 qn

Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm
linterp(x, y, t) – là hàm xấp xỉ các véctơ x và y theo quan hệ
tuyến tính trên từng đoạn, trong đó :
x – véctơ biến số, các phần tử được xếp theo thứ tự tăng
dần;
y – véctơ giá trị tương ứng;

(7)

t – giá trị biến số mà tại điểm đó cần thực hiện phép nội
suy.

2

∆ x Mn
yn−1 − 2yn + yn+1 =
EIx

Hàm nội suy tuyến tính là hàm nội suy đơn giản nhất, là
tập hợp của các quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường
gấp khúc. Hàm nội suy A{X} gồm các đoạn thẳng nối các
điểm chia như thể hiện trên hình 1.

3.1.2. Hàm nội suy lập phương
(8)
4

∆ x qn
yn−2 − 4yn−1 + 6yn − 4yn+1 + yn+ 2 =
EIx

(9)

3. Hàm xấp xỉ nội suy trong MathCad khi tính toán nội
lực và chuyển vị của dầm
MathCad là một phần mềm lập trình toán học tương đối
phổ biến hiện nay và được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh
vực liên quan tới phương pháp tính. Đây là phần mềm toán
học đơn giản và giúp giải quyết hiệu quả các bài toán có khối

Trong thực tế thì nếu cần phải nối các điểm với nhau thì
thường ít nối bằng các đường thẳng gấp khúc mà người ta
hay nối bằng đường cong mịn để tăng độ chính xác. Để làm
được điều đó thì người ta thường dùng đường nội suy spline
bậc 3, tức là các đoạn được nối với nhau bằng đường cong
bậc 3. Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ các véctơ x
và y bằng spline lập phương như thể hiện trên hình 3 , trong
đó ngoài các véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính thì còn
bổ sung thêm các véc tơ sau:
s – véctơ đạo hàm bậc 2, được suy ra từ các hàm cspline,
pspline hoặc lspline;

Hình 8. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy
lập phương với véc tơ hệ số cspline lập phương
S¬ 32 - 2018

35


KHOA H“C & C«NG NGHª

Hình 9. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn và hàm nội suy
lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương
lspline(x, y) – véctơ giá trị các hệ số spline tuyến tính;
pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương;

Nghiệm giải tích của bài toán này có thể viết dưới dạng
sau:

q
ql
q ⋅l2
V (z) =
z4 +
z3 −

⋅ z2
24 EI x
12 EI x
24 EI x
;

cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương;
x, y – véc tơ dữ liệu đầu vào.
3.2. Sử dụng các hàm xấp xỉ nội suy trong bài toán dầm

q
6 EI x

Khi sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm ứng dụng
MathCad cho phép giải bài toán tính nội lực và chuyển vị của
dầm có điều kiện biên bất kì chịu tải trọng. Để minh họa việc
triển khai các thao tác lập trình trong MathCad ta xét bài toán
dầm liên kết 2 đầu ngàm chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng
phân bố đều q như thể hiện trên hình 7.
Bảng 1. So sánh giá trị nội lực và chuyển vị lớn nhất
của dầm theo phương pháp giải tích và phương pháp
sai phân hữu hạn
Đại lượng

Tính theo phương
Tính theo
Sai số (%)
pháp SPHH
phương
với bước sai phân
Δ
pháp giải tích
Δ=0.06m

l
M xmax = M  
2

22.5 kNm

22.44

0.27

Qymax = Q ( 0 )

45 kN

44.1

2

ϕmax

l
=ϕ 
2

l
Vmax = V  
2

36

0.024 rad

0.023

5.6

7.604x103 m

7.026x103

7.6

ϕ (z) =

z3 +

ql 2 q ⋅ l 2
z −
⋅z
4 EI x
12 EI x ;

q
ql
q ⋅l2
M x (z) =
− z2 + z −
2
2
12 ;
Bảng 2. Sai số của các hàm độ võng, góc xoay, mô
men uốn và lực cắt khi tính theo phương pháp sai
phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác nhau và
phương pháp giải tích
Sai số các hàm mômen, lực cắt, góc xoay và
chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu hạn
có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác nhau và
Đại lượng
phương pháp giải tích
Véc tơ hệ số
cspline

Véc tơ hệ số
pspline

Véc tơ hệ số
lspline

∆M

0.21%

0.85%

4.5%

∆Q

0.26%

1.2%

4.6%

∆ϕ

0.28%

3.2%

5.4%

∆V

0.5 %

4.1%

6.2%

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG


Hình 10. Đồ thị so sánh kết quả tính nội lực và chuyển vị bằng phương pháp giải tích và phương pháp sai
phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số lspline lập phương

Qy (z) =
−qz +

ql
2 (10)

Từ công thức (10) thấy rằng chuyển vị của thanh là 1
đường cong bậc 4, góc xoay của tiết diện được biểu thị bằng
đường cong bậc 3, mômen uốn là đường cong bậc 2, lực cắt
là đường bậc nhất. Điều này có nghĩa là khi giải bài toán này
bằng phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt giữa
các điểm chia trong từng đoạn được chọn là hàm bậc nhất,
hàm xấp xỉ mômen được chọn là hàm bậc 2, tương tự hàm
góc xoay tiết diện là bậc 3, và để xấp xỉ hàm chuyển vị giữa
các điểm chia cần phải dùng hàm bậc 4. Như vậy, giả thiết
về sự phân bố bậc nhất của các hàm chuyển vị, góc xoay,
mô men uốn và lực cắt giữa các điểm chia trong từng đoạn
của phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương
đối lớn. Vì vậy, ta dùng các hàm nội suy như đã nêu trên để
áp dụng vào bài toán.
4. Ví dụ tính toán
Trong phạm vi bài báo, tác giả thực hiện ví dụ dầm liên
kết 2 đầu ngàm có chiều dài l=6m như hình 7, được làm
từ thép với môđun đàn hồi E=2.15x108 KPa và có mặt cắt
ngang hình chữ nhật có kích thước là bxh=0.22x0.45 m, chịu
tải trọng q=15kN/m phân bố đều. Dưới đây là kết quả tính
toán nội lực và chuyển vị bằng phương pháp sai phân hữu
hạn có sử dụng hàm nội suy khác nhau:
Các giá trị lớn nhất của độ võng, góc xoay, mômen uốn và
lực cắt theo công thức giải tích (10) như thể hiện trong bảng
1. Sai số giữa các hàm độ võng, góc xoay, mô men uốn và
lực cắt tương ứng tính theo công thức giải tích (10) và tính
theo phương pháp sai phân hữu hạn trong khoảng l=6m với
bước sai phân thể hiện trong bảng 1.

Khi áp dụng hàm xấp xỉ nội suy khác nhau ta thu được
các đồ thị như hình 8, hình 9, hình 10.
Bảng 2 thể hiện các sai số của các hàm độ võng, góc
xoay, mômen uốn và lực cắt tương ứng tính theo phương
pháp giải tích xác định bằng công thức (10) và tính theo
phương pháp sai phân hữu hạn hạn trong khoảng l=6m với
bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập
phương với các véc tơ hệ số khác nhau.
5. Kết luận
Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy trong tính toán nội lực và
chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn
cho phép giảm đáng kể khối lượng tính toán.
Việc lựa chọn và sử dụng véctơ hệ số ảnh hưởng rõ rệt
tới độ chính xác của kết quả tính toán./.
T¿i lièu tham khÀo
1. Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử
hữu hạn. Nhà xuất bản Xây dựng.
2. Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số trong cơ học kết cấu,
NXB khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000.
3. Nguyễn Tiến Cường (dịch sách của giáo sư, phó tiến sĩ
KHKT T.Karaminxki), Phương pháp số trong cơ học kết
cấu, NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội, 1985.
4. Макаров Е.Г., Инженерные расчеты в MathCad: Учеб.
Курс. СПБ, 2005.
5. Бакушев С.В., Расчёт конструкций методом конечных
разностей с использованием аппроксимирующих
функций MathCad 2015.

S¬ 32 - 2018

37



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×