Tải bản đầy đủ

Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Chirka (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖

P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈

❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯
❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✲

P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈


❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯
❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆
❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼❶ ❙➮✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ◗❯❆◆● ❉■➏❯

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔ ❞♦ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔♦ ❦❤→❝✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❚→❝ ❣✐↔

P❤↕♠ ❚❤à ◆❣å❝
❳⑩❈ ◆❍❾◆
❈Õ❆ ❑❍❖❆ ❈❍❯❨➊◆ ▼➷◆

❳⑩❈ ◆❍❾◆
❈Õ❆ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆

●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉




ớ ỡ
r q tr ồ t ự t tổ
ữủ sỹ ú ù t t ừ ữớ ữợ
ổ ụ ố ỷ ớ ỡ ở ổ t t ồ
t ủ ữợ tổ õ t t tốt
tớ õ t t ỏ õ t õ ỳ


t sõt ố ữủ ỵ ỗ õ õ ỹ
ừ t ổ
ổ tr trồ ỡ

t



P ồ




▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ö❝ ❧ö❝

▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉


✐✐
✐✐✐


✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à



✶✳✶

❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶✳✷

❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



✶✳✸

❈❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ sü ❤ë✐ tö

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❍❛rt♦❣s ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣
✷✳✶

✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

✣✐♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❍❛rt♦❣s✲❈❤✐r❦❛ ✈➲ ♠ð rë♥❣ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣
❧➙♥ ❝➟♥ ✤ç t❤à

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳








❑➳t ❧✉➟♥

✷✸

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✹

✐✐✐


▼ð ✤➛✉
✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✳
❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♠ët
❜✐➳♥✳❚r♦♥❣

C

♠å✐ ♠✐➲♥ ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ tç♥

t↕✐ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❧➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥ t❤➟t sü✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ ✭C

n ✱ ♥

≥ 2✮

t❤➻ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝á♥

✤ó♥❣ ♥ú❛ ✳ ✣à♥❤ ❧þ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ❍❛rt♦❣s ♥â✐ r➡♥❣ ♠å✐ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥
❝➟♥ ❝õ❛ ❜✐➯♥ ♠ët s♦♥❣ ✤➽❛ ✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛✳ ✣à♥❤ ❧þ ♥➔② ✤➣
✤÷ñ❝ ❈❤✐r❦❛ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤ç t❤à ♠ët ❤➔♠
sè ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ r➜t s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❧➔ ❝↔♠ ❤ù♥❣ ✤➸
❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤✐ s❛✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦✐➸✉ ❍❛t♦❣s ✲ ❈❤✐r❦❛✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐
❝ì ❜↔♥ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ❝❤✉②➯♥ ❦❤↔♦ ❝õ❛ ❇❛rr❡t ✈➔ ❇❤❛r❛❧✐✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥✿ ✤à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr➸♥ ❍❛t♦❣s ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❈❤✐r❦❛ ✈➲
♠ð rë♥❣ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤ç t❤à✳

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

❉ò♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦ÿ t❤✉➟t ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳

✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤✳

• ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tæ✐ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝

❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳

• ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣ ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣✳

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② s➩

tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ✤à♥❤ ❧þ ❍❛rt♦❣s ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❍❛rt♦❣s✲❈❤✐r❦❛ ✈➲ t❤→❝ tr✐➸♥ ❤➔♠
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤ç t❤à✳




❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ❤➔♠
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ ✈➲ s❛✉✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣
❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✱ ♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➸ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ❝→❝
♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐✳

✶✳✶ ❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❍➔♠ f

①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ D ⊂ C ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ z0 ∈ D ♥➳✉ tç♥ t↕✐ r > 0 ✤➸ f ❧➔ C✲❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐
z ∈ ∆(z0 , r) ⊂ D.

◆➳✉ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ ♠å✐ z ∈ D t❤➻ t❛ ♥â✐ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C✳ ❈→❝
❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ C trø r❛ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ ♥â ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳
❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ♥➲♥ t↔♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤
♣❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f (z) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ✈➔ γ ❧➔ ♠ët ❝❤✉ t✉②➳♥
tr♦♥❣ D s❛♦ ❝❤♦ ♠✐➲♥ γ 0 ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ γ ♥➡♠ tr♦♥❣ D✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ z0 ∈ γ 0 ✱
t❛ ❝â
❛✮

f (z0 ) =

1
2πi



γ

f (z)
dz.
z − z0

✭✶✳✶✮


❱î✐ n ≥ 1 t❛ ❝â

❜✮

f (n) (z0 ) =

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐

❛✮ ▲➜②

γ✳

δ >0

❑þ ❤✐➺✉

n!
2πi

γ

f (z)
dz.
(z − z0 )n+1

✤õ ❜➨ ✤➸ ❤➻♥❤ trá♥



❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛

∆(z0 , δ)

∆(z0 , δ) ⊂ γ 0 ,

✭✶✳✷✮

♣❤➛♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣

✈➔ ✤➦t

Dγ,δ = γ 0 \∆(z0 , δ).
❉♦

Dγ,δ

❧➔ ♠✐➲♥ ✷✲❧✐➯♥✱ ♥➯♥ t❛ ❝â

γ∪Cδ−

f (ν)
dν = 0.
ν − z0

❚ø ✤â ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝

γ
❇➔♥❣ ❝→❝❤ t❤❛♠ sè ❤â❛



f (ν)
dν =
ν − z0



f (η)
dη.
η − z0

η = a + δeiφ , dη = iδeiφ dφ


f (η)
dη =
η − z0

0

✭✶✳✸✮

t❛ ❝â

f (z0 + ρeiϕ ) iϕ
ρe dϕ
ρeiϕ



f (z0 + ρeiϕ )dϕ

=i
0


[f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ).

=i
0
❈❤♦

δ→0

t❛ ❝â



[f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0.

lim

δ→0

0

❱➟② t❛ ❝â

lim

δ→0

γ

f (η)
dη = 2πif (z0 ).
η − z0

✭✶✳✹✮

❑➳t ❤ñ♣ ❧↕✐ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❜✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❞÷î✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❤í ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✈➲ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ♠ët ❝❤✉é✐ t❤ø❛✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ ♠ð D✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ a ∈ D✱
❤➔♠ f ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ tr♦♥❣ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤õ ♥❤ä ❝õ❛ a


cn (z − a)n .

f (z) =
n=0



✭✶✳✺✮


ỡ ỳ số ừ ộ ữủ t t ổ tự
f (n) (a)
.
n!

cn :=

ứ ỵ tr ú t õ t
ữ s

f ữủ ồ t z Cn f õ t
tr ữủ t ộ tứ tr ừ z f tr
D õ t ồ z D
ữỡ tỹ ữ ỵ ởt ự ú t õ t q
s

ỵ sỷ U = U (a, r) = {z Cn : |zj aj | < rj j = 1, . . . , n}
t a r = (r1 , . . . , rn )
= {z Cn : |zj aj | = rj

j = 1, . . . , n}.

f tử tr U tr U t
f (z) =

1
2i

n


f ()d1 ã ã ã dn
(1 z1 ) ã ã ã (n zn )

z U.



ỵ s ữủ ự tữỡ tỹ ữ ởt

ỵ sỷ {fn} ở tử tr ồ t t tr D tợ
f t f tr D





z0 D

t ợ ồ



z U (z0 , r)

fn (z) =


(fn )

ở tử tợ

f

r >0

tr

1
2i

D(z0 , r)



U (z0 , r) D

ổ tự

t õ

D(z0 ,r)

fn ()
d.
z

t ợ ữợ t

t ữủ

fn (z) =
ợ ồ

z D(z0 , r)

t

f

1
2i

D(z0 ,r)

tr

fn ()
d
z
D(z0 , r)

ỷ ử ỵ tr ú t õ ỵ s t t ừ ồ







sỷ D ởt tr C F H(D)

ỵ t

õ F tr t t ồ {fn } F
ự ởt fnk ở tử tr t t

ỏ ữợ ỗ
D t tr C u : D [, +) ữủ
ồ ỏ ữợ tr D u ỷ tử tr tr D, u = tr t
t tổ ừ D tọ t tự ữợ tr ữợ
tr D ợ ồ x D tỗ t r > 0 s (x, ) D ợ ồ
0 r < r t õ
1
u(x)
2

2

u(x + reit )dt.
0

ỵ u ỏ ữợ tr t D1 v
ỏ ữợ tr t D2 D1 sỷ ợ ồ x D1 D2 t õ
lim sup v(z) u(x).
zx

õ
u =

max{u, v}

trD2

u

tr D1 \ D2

ỏ ữợ tr D1 .
t q s ú ú t trỡ õ ỏ ữợ

ỵ u ỏ ữợ tr t D C ợ u =

1 1x

(x) =

e

2

x < 1
x 1.

0

ợ r > 0 ữỡ t t
r (z) =

1
z
2
2
r
r

z C.

õ u r ỏ ữợ trỡ tr Dr ỡ ỳ u u tr D.
ố ỳ ữợ ữủ t ữ
s




ỵ f : D1 D2 ỳ t
tr C u ỏ ữợ tr D2 t t u f ụ ởt
ỏ ữợ tr D1

t D tr Cn ỷ tử tr
u : D [, +) ỏ ữợ ừ u ộ ữớ t

ự ỏ ữợ
õ ởt số t t s

ỵ ỷ tử tr u : D [, +) tr ồ t
tổ ừ D Cn ổ ỗ t õ u P SH(D)
ợ ồ a D, b Cn
{a + b : C, || 1} D,

t õ

2

1
u(a)
2

u(a + ei b)d = L(u, a, b).
0

ỵ t t ởt ỏ ữợ tũ
ỵ ỏ ữợ trỡ tr ởt ỡ

ỵ u ỏ ữợ tr t D tr Cn
ữỡ s D := {z D : d(z, D) > } = t u C (D ) P SH(D )
ồ {u : > 0} ỡ 0 ợ ồ z D t õ
lim u (z) = u(z).

0

ữợ ởt tr ỳ q trồ t ừ
t ự

D Cn ồ tỗ t ừ
f tr D ổ t rở tợ ởt ợ
ỡ D õ ởt tr ừ t ộ tứ t ồ
z 0 D ổ t ở tử tr ồ P (z 0 , r) ợ r < (z 0 , D)

sỷ D

ởt tr Cn ợ ồ t t

K D t
D = {z D : |f (z)| f
K



K

, f H(D)}


D ữủ ồ ỗ ừ D ồ ỗ
K
D t ợ ồ t t tr D
K

D tr Cn ồ ỗ D õ ởt
ữợ t ự tỗ t u P SH(D) {u < c} t
tữỡ ố ợ ồ c R

ỵ D Cn t s tữỡ tữỡ


D
D ỗ




D ỗ

ộ rr ừ số tử sỹ ở tử
ỵ ừ ụ sỷ ử ởt số t t ừ ộ rr
t tr ởt số tử t ộ rr
t s

sỷ f t s tr [, ] ộ rr
ừ f ộ ữủ s
0
+
Ff (x) :=
2



(n cos(nx) + n sin(nx))



n=1

tr õ
1
n =

n =

1




f (t) cos(nt)dt, n = 0, 1, 2, . . .



f (t)(sin nt)dt, n = 1, 2, . . .





t q s ú t ừ ộ rr ừ

f



tr ở tử

ỵ sỷ f õ t t õ Ff (x) = f (x)
t x (, ) t õ f tử ờ qt ỡ
1
Ff (x) = [f (x+ ) + f (x )]
2

x ởt ừ f.




❈❤÷ì♥❣ ✷

✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤
❍❛rt♦❣s ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣
✷✳✶ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s
❚❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ s❛✉ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s✳
✣à♥❤ ❧þ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔♦ ✤➛✉ t❤➳ ❦✛ ✷✵✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t
(∂∆ × ∆) ∪ (∆ × ∂∆). ❑❤✐ ✤â f ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛ ∆ × ∆.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ▲❛✉r❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ tr➯♥

❤➻♥❤ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥



ak (w)z k ,

f (z, w) =
k=−∞
ð ✤➙②

z∈U

❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à

∂∆, w ∈ ∆

✈➔

f (z, w)
dz.
zk

ak (w) =
|z|=1

ak

❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❧➜② ✤↕♦ ❤➔♠ ❞÷î✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
❤➻♥❤ tr➯♥



tr➯♥✱ t❛ ✈✐➳t

✈î✐ ♠å✐

k.

❚❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

k = −k , k > 0

ak = 0

♥➳✉

k < 0.

❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤

❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝

✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✈î✐

f (z, w)z k dz.

ak (w) =
|z|=1
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤②✱ ❦❤✐
❝â t❤➸ ①➨t

f˜(z, w) :=

k≥0 ak (w)z

w

✤õ ❣➛♥

∂∆

❝❤ó♥❣ t❛ ❝â

k ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝õ❛



f

ak (w) = 0.

❱➟② t❛

❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛✳


ỳ ố t tr ổ tr r ự ữủ
rở s ừ ỵ õ tr

ỵ F tử tr tọ

F



< 1. ỵ

(F ) = {(z, F (z)) : z } ỗ t ừ F sỷ f ởt tr

ởt ừ (F ) ( ì ). õ f rở s
ì .
s ổ ự ỵ õ õ t ữủ s r tứ
ự ỵ t ừ ử t t

ỵ rtsr rở
tr ỗ t
t t q t ừ t q ró ỡ


f

t tr ữủ

ỵ F C(; C) sỷ r

F



< 1 ỵ an (r)

số rr tự n ừ F (rei ), r > 0, n Z. sỷ số tọ

nZ

|an (r)|
<1
rn

r (0, 1].



sỷ D1 ởt ừ (F ) ( ì ) D2 ởt t tổ
t ý tọ ì D2 D1 ({|z| 1} ì ). õ f H(D1 ) t
f |D2 õ t tr s ì .
ú ỵ r t ỵ

F (rei )

t số

F (rei )

ởt số

tự trữợ õ t ự ỵ r
t t ỵ
tr

r

t t

a.

r

M(a; r, R)

ợ t t



ụ t

R



(a; r)

C (; Cm ), m = 1, 2, . . .

Cn

t t ỵ

(D, D )

ởt t tr tr
tt tr

Cn

ợ ổ


q

Cn .

ởt số t q ờ trủ



õ

trỏ

tr ỡ õ t tr t tử tr
tr

aC

D

.

D.



D

ởt

õ

D



õ ổ t


ờ ồ G(rei ) =


N
n=N

N

n=N

gn (r)ein sỷ G C (; C) tọ

|gn (r)|
<1
rn

r (0, 1].



õ
N

gn (r)

Mr () =

n


r

n=N

M(0; r, 1),

,

tở H[M(0; r, 1)]C[M(0; r, 1)] tọ |Mr (ei )| < 1 ố N
K

M(0; 1/, 1) ởt t t õ (0, 1/]ìK

(r, ) Mr ()

t tr t tử [0, 1/] ì K.


ự ừ ờ ú ỵ r

N
i

|Mr (e )|
n=N


N

rỗ ố t t

t số

[0, 1/] ì K,

ei
|gn (r)|
r

(0, ] ì K

N

n

K

=
n=N

r = 0,



M(0; 1/, 1)

(r, ) gn (r)(r/)n

trt t t

|gn (r)|
< 1.
rn

ợ ộ

õ t rở tử

n = 1, 2, . . . , N

t

(r, ) gn (r)(/r)n , n = 1, 2, . . . , N.
ú ỵ r

|gn (r)| < rn n = 1, 2, . . . , N.



G

ữủ sỷ trỡ

tr t ộ tr ữủ t tr tử t

n C([0, 1/k] ì K)

ữủ ữ s

n (r, ) :=


Mr


gn (r)(/r)n ,

n
1 d gn
,
n! drn r=0

tờ ỳ tứ



(r, ) (0, 1/k] ì K,



(r, ) {0} ì K.

gn (r)(r/)n

t tr tt

tự ừ ờ

ờ G ữ tr ờ ữ sỷ t r

G



< 1

ỵ D1 ừ (G) ( ì ) ữ tr ỵ õ t
õ s


{Mr }r(0,1) ởt ồ tử t ợ 0 \{0} ố
r Mr (0 ) tử tr (0, |0 |)






limr0+ Mr (0 ) tỗ t ợ ộ 0 \{0} tỗ t H() s
() = limr0+ Mr () tr \{0}




E := () 0
t t


P ỷ q trỹ t ừ ờ

õ t õ t

() := lim Mr ()
r0+



k N.

\{0}.

ờ ú t

(Mr |M(0;1/k,1) )() () tr ồ t ừ M(0; 1/k, 1) r

0

ứ t tr t t r

|M(0;1/k,1) H[M(0; 1/k, 1)]

k = 2, 3, 4, . . .

rữợ ự t t t r

(Mr ) 0 < r < 1

Mr



ữủ ỹ s

t ữủ t ợ

(G)



t tr ừ ú t ỵ t tự ữủ ợ

ì

t õ

|Ar ()| max

sup |Ar (x)|, 1

max{ G

|x|=r

B(0; r, 1)

ợ ộ

r (0, 1)

Mr ()

=0

ợ ừ







tr



từ ừ ố tồ ở õ



, r}



\{0}



|()| supx=0 |G(x)|

()

tr

t tr t tr

D.

tọ
ứ ừ ờ
t õ t


(z, w)
/ D1

E

t õ t r

õ t t r tỗ t

E

{r(k)}kN (0, 1)

{k }kN s r(k) 0 k (k , Mr(k) (k )) (z, w) k

ự t r tt
ỹ tỗ t

(D1 ) > 0

ử tở



D1

(z, w) E

s



(, Mr ()) D1 r, || <


(D1 )

õ

z = 0

t ổ ự



(z, w)
/ D1 .

0,

tỗ t



1 N

|Mr(k) () ()| < /2


2 N

Mr

ở tử tr t

s

k 1 , (z; |z|/2).

s

k (z; |z|/2)



|w Mr(k) (k )| < /2

k 2 .

t tự tr t r

|w (k )| |w Mr(k) (k )| + |Mr(k) (k ) (k )| <
s r

(z, w) ()\D1

t

k max{1 , 2 }.

w = limk (k )


ờ s õ tr ự ỵ rữợ ự
õ t t t q ỡ s

ờ F C(; C) ỵ an(r) số rr ừ
F (rei ), r > 0, n Z. sỷ r



F



< 1

F tọ

nZ

|an (r)|
<1
rn

r (0, 1].



trữợ > 0 tỗ t G C (; C) õ
N
i

Cn (r)ein ,

G(re ) =
n=N

tr õ N số ữỡ ừ ợ Cn C ([0, 1]; C), s
|F () G()| <

,

G õ t t (1) tọ tữỡ tỹ ừ (2) tr ợ Cn (r)

ữủ t An (r) ữ tr



tr

r t t (2) ữủ t
2 F ổ õ số rr
t G õ t ữủ ỹ s õ tọ t t (1) Cj 0 ợ
j = 1, 2, . . . , N.








m

aj (r)eij

Sm (, r) :=
j=m

n (, r) :=
t t sỷ

F

S0 (, r) + ã ã ã + Sn (, r)
.
n+1

tọ t t

(2)



>0

ừ ọ s



n<1 F
|an (r)|/rn < 1

+

,



r (0; 1],

nZ
t

:= min(, )

N >0

ỗ t số tỹ

|F (rei ) N (, r)| < /2

s

(, r) [0, 2) ì [0, 1].

t q tr q ừ ỵ r ợ

r [0, 1]

t ừ ỵ r ử t





F (rei )

tr ự ừ ỵ r t t r t tử ỗ ừ


{F (rei )}r[0,1] C(T)



N

t t

tr tố t ợ

r [0, 1]

N

aj (r)eij ,

N (, r) =
j=N
t t t

Cj (r)




|aj (r)| |aj (r)| r [0, 1]

ợ ộ

j = 1, 2, . . . , N,

tọ s

Cj C ([0, 1]; C),
Cj

trt t tợ ổ t

r0 ,



|aj (r) Cj (r)| /2(2N + 1) r [0, 1]

số rr t õ

{An (r)}nZ , |aj (r)| |aj (r)| rj j = 1, 2, . . . , N, r [0, 1).


0 < R0 < 1

ởt số ừ ọ s

R0


4(2N + 1)

1/j

j = 1, 2, . . . , N.



t ồ


❱î✐ ♠é✐

j = 1, 2, . . . , N

t❛ ✤✐♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠

Cj (r)

αj (r)rj ,

♥➳✉

r ≤ R0 ,

βj (r),

♥➳✉

r ≥ R0 ,

Cj (r) :=

♥❤÷ s❛✉✿

t❤ä❛ ♠➣♥



Cj ∈ C ∞ ([0, 1]; C),



αj

❜à tr✐➺t t✐➯✉ tî✐ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ t↕✐



αj

t❤ä❛ ♠➣♥

✭✐ ✮
✭✐✐ ✮
✭✐✐✐ ✮

r = 0,
|aj (s)|
sj

|αj (r)| ≤ sup
s≤1


✭✐✈ ✮

βj

∀s ∈ [0, R0 ],

t❤ä❛ ♠➣♥

R0j δ
|βj (r) − aj (r)| ≤
2(2N + 1)
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

C0 (r)

❧➔ ❤➔♠

C∞

|C0 (r) − a0 (r)| <
✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥

C0 − C0 (0)

∀r ∈ [R0 , 1].

❜➜t ❦ý s❛♦ ❝❤♦

δ
∀r ∈ [0, 1]
2(2N + 1)

tr✐➺t t✐➯✉ tî✐ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ t↕✐

r = 0.

❇➙② ❣✐í ✤➦t

N


Cj (r)eijθ .

G(re ) =
j=−N
❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët sè ✤→♥❤ ❣✐→ ✈➲ ❝→❝ ❤➺ sè

Cj ✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ①➨t C−j (r), j = 1, 2, . . . , N.

❈❤ó þ r➡♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉

N

N

|C−j (r) − a−j (r)| ≤
j=1

j=1

δN
δ

2(2N + 1)
2(2N + 1)

N

N

rj

j

|C−j (r)|r ≤

|a−j (r)| +

j=1

j=1

N

|a−j (r)|rj +


j=1
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ①➨t

Cj (r), j = 1, 2, . . . , N.



❝❤➜t ✭✐✐✐ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛

Cj (r)

N

δ
2(2N + 1)

∀r ∈ [0, 1].
0 ≤ r ≤ R0 ✳

t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

N

rj αj (r) −
j=1

✶✹

✭✷✳✾✮

δ
2(2N + 1)

❚r÷î❝ t✐➯♥✱ ❝❤♦

|Cj (r) − aj (r)| ≤
j=1

C−j ≡ 0 ✈î✐ ❜➜t ❦ý j = 1, 2, . . . , N.

|aj (r)|
rj

✭✷✳✶✵✮

❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤


N

2R0j sup



s≤1

j=1
N

δ
4(2N + 1)


j=1


N

j=1
❱➔ ❦❤✐ ①➨t

R0 ≤ r ≤ 1,

|Cj (r)|

rj

|aj (s)|
sj
sup
s≤1

|aj (s)|
sj

δN
,
2(2N + 1)
N

sup
j=1

s≤1

✭✷✳✶✶✮

|aj (s)|
sj

∀r ∈ [0, R0 ].



t❛ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✈ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛

✭✷✳✶✷✮

Cj (r)

✤➸

t❤✉ ✤÷ñ❝

N

N

|Cj (r) − aj (r)| ≤
j=1

j=1
N

j=1

|Cj (r)|

rj

R0j δ
δN

,
2(2N + 1)
2(2N + 1)

N

R0j δ
|aj (r)|
+
rj
2(2N + 1)R0j

j=1
N


j=1

✭✷✳✶✸✮

|aj (r)|
δN
+
j
r
2(2N + 1)

∀r ∈ [R0 , 1].

✭✷✳✶✹✮

❚ø ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✷✮✱ t❛ ❝â

N

j=−N

|Cj (r)|

rj

N

|a−j (r)|rj +
j=1

δN
+ |a0 (r)|
2(2N + 1)

δ
+
+
2(2N + 1)
N



sup
j=−N

s≤1

N



sup
j=−N

s≤1

N

sup
j=1

s≤1

|aj (s)|
sj

|aj (s)|
δ(N + 1)
+
j
s
2(2N + 1)
|aj (s)| k
+ <1
sj
2

∀r ∈ [0, R0 ].

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛

|aj (r)| ≤ |aj (r)| ∀r ∈ [0, 1]✳
N

j=−N

|Cj (r)|

rj

k

✭✷✳✶✺✮

✈➔ ❦➳t q✉↔ r➡♥❣

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ →♣ ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✹✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

j=0

|aj (r)|
δN
δ
+
+
|a
(r)|
+
0
rj
2(2N + 1)
2(2N + 1)

✶✺


N



|aj (s)|
+
sj
2

sup
s1

j=N
N



|aj (s)| k
+ <1
sj
2

sup
s1

j=N

r [R0 , 1].



ứ t tự t t ữủ

N

j=N


G

|Cj (r)|
<1
rj

r [0, 1],

tọ tữỡ tỹ ừ ợ

Cn (r)

ữủ t

An (r)

tr

tự
t ủ t t ữủ

N
i

i

i

i

|F (re ) G(re )| |F (re ) N (re )| +

|aj (r) Cj (r)|
j=N

<



N

+2ã
+
= .
2
2(2N + 1) 2(2N + 1)

t t r G õ t t |G()F ()| < D.

t t ỹ t

G

trỡ

ú ỵ t r t
t

G

tr F

ụ ổ õ số rr

t t ồ
õ t ồ

C0 (r)



Cj 0

F

ổ õ số rr

õ t t

(2 )

t

t õ t sỷ ử ũ q t t

tr tr

Cj (r), j = 1, 2, . . . , N.



tr r ỹ ú t tự ừ ờ

ự ỵ


|k| < 2



>0

ừ ừ s

ờ tỗ t

H C (; C)



H(rei ) =

N
n=N

Cn (r)ein

s

|H() F ()| < ,

sup |H| < 1,


N

n=N


>0

F (D) + k D1 k C

|Cn (r)|
< 1 r (0, 1].
rn

ừ ọ s



s


sup |H| + < 1
N
n=N

+

|Cn (r)|/rn < 1 r (0; 1]

H() + k D1 k C
ợ ộ

k

s

|k| <

tọ



|k| <



H (k) () := H() + k
(k)
Mr ()

:=

Cn (r)
n=0

n


r

(k)

{Mr }r(0;1)

ử ờ

gn (r) = Cn (r)



n = 0,

H()

(k)

0 \{0}, r Mr (0 )

s

tử tr

(k)

k : |k| < , K(k)



b0 (r) = C0 (r) + k

\{0} limr0+ Mr () = () + k

ợ ộ

k

ợ ộ

tr ờ t r tỗ t
ố t ý

B(0; r, 1).

+ (C0 (r) + k),



(0, |0 |)



|k| < .

|k| < .

t t tr õ t

(k)

E (k) := ( + k) 0õ ợ ộ
ữủ ợ

k

ố ồ

(k)

{(Mr )}r(0,1)

(H (k) ) ( ì )

r t

(n)

(Mr )



r

tợ


1

ồ tử ỗ

( + k)

tr



r 0+

D1 .

ú ỵ

t õ t

ử ỵ tử t r

( + k) D1 (D1 ),

U (O) := {(z, w) ì C : (w (z)) O} =



kO
tr õ

O

t ý tr

(0; )

t t ởt ú t ừ
ú
tr

D1

j : D1 D1

ữỡ ự ợ ộ

t ỵ

E(f )

D1

f H(D1 )

tọ



D1 .



tỗ t ởt

E(f ) j = f.



ớ tổ tữớ ử tr t ự
ữủ sỹ tỗ t ừ

Mr ( ; k) : B(0; r, 1) D1 r (0, 1),
s





( ; k) : D1


k

ợ ộ



|k| <
(k)

D1 Mr (; k) = (, Mr ()) B(0; r, 1)



r (0, 1),



D1 (; k) = (, () + k) .
(k)



j(, Mr ()) = Mr (; k)



j(, () + k) = (; k)

tr

r (0, 1).

tr õ



ú ỵ r t ợ ộ



k (; k)






V

t tổ ừ

ợ ộ

C2

( D1 )1 (U (|k| < )) ự A := image(( ; 0)).

q A tỗ t ởt W (q)

s ồ

O

V



q s D1 |W (q) : W (q)

õ t t ố ừ ọ s

image(( ; k))

W (q)

k O .

qA


D := U (O ) 2 ,

D2 2 D1 ;
2 U (O )
tr õ

D2



2

t tổ tọ



tổ

ữủ t tr ỵ

ử t ừ ú t
tr


j.

t ý

D



D

f H(D1 )

D



U (O )
D1

ữủ tr

s t

ú t t tr

ởt ừ rts

f |D2

f |2

õ t t tr

s t

j(z, w) :=
ú ỵ r

(z; w (z)),



(z, w) U (O )

j(z, w),



(z, w) 2 .

(z, w) U (O ) 2

t t tr t õ

(z; w (z)) = j(z, (z) + {w (z)}) = j(z, w) (z, w) U (O ) 2 .
õ
õ

j

j

t t tr

t ý



f |2 f |2

f H(D1 ),

ú ỵ r

D

rts tổ tữớ õ


f |D2

f

j.

ứ t õ tr t



f H(D )

ởt ừ



f := E(f ) j.

() ( ì )

õ ởt t tr tr

õ ởt t tr tr





ì .



ì ,



t q t t ỵ s ợ ởt tốt ỡ ữủ
t tr

F

ỵ F C(; C) sỷ sup |F | < 1 ỵ aj (r) số
rr tự j ừ F (rei ), r > 0, j Z sỷ aj 0 j < 0. sỷ D1 ởt
ừ (F ) ( ì ) D2 ởt t tọ
ì D2 D1 ({|z| 1} ì ). f H(D1 ) t f |D2 õ t tr

tr ì .

ờ G(rei ) =
số rr sỷ t

N
in tự sỷ r G(rei ) ổ
n=0 gn (r)e
r G C (; C) õ

N

Dr () =

gn (r)
n=0


r

õ

n

,

(0; r),

tở H[(0; r)] C[(0; r)] tọ Dr (rei ) = G(rei ) [0, 2) ố
k N K

(0; 1 1/k) t t õ (r, ) Dr ()

tử tr [1 1/k, 1] ì K.
ự ừ ờ tr ỡ ú t t õ õ
tt tr ự t q t t

ờ G ữ tr ờ ữ sỷ t r sup |G| < 1.
ồ D1 ởt ừ (G) ( ì ) ữ t tr ỵ
õ


{Dr }r(0,1) ợ tử t r ợ 0 \{0} ố
r Dr (0 ) tử tr (|0 |, 1)



limr1 Dr () tỗ t ợ ộ ợ ởt

H()



E := () 0
õ E t t






P ỷ ừ q ừ ờ

r

() :=

lim

||
Dr ()



ữủ s r tứ ờ ở tử t
tữỡ tỹ ợ tr ự ờ õ t ọ q tt
ú ỵ r

N

gn (1) n .

() =
n=0


Dr

(G)



ữủ ỹ s

(Dr ), 0 < r < 1

ồ t ừ ú õ

|Dr ()| sup |Dr (x)| sup |G|
|x|=r
õ

E

t ữủ

(0; r)

ợ ộ

r > 1 1/k.

D

t ự

E

õ t ố ợ ữ

t tr ờ

ự ừ ỵ

ự ừ ỵ ụ t ũ

ởt ữợ ữ ừ ỵ t tr ử t tt
tt t

> 0 ừ ọ s F () + k D1 k C s |k| < 2

ờ tỗ t

H C (; C)



H(rei ) =

N
in s
n=0 Cn (r)e



|H() F ()| <

,

sup |H| < 1.


ỡ ỳ t õ t

sup |H| + < 1

>0


H() + k D1 k C
ợ ộ

k

tọ

ừ ọ s

s

|k| < ,

|k| < .

t

H (k) () := H() + k,
N
(k)
Dr ()

:=

Cn (r)
n=1

ử ờ

(k)


r

{Dr }r(0;1)

n

+ (C0 (r) + k), (0; r).

ợ ộ

gn (r) = Cn (r) n = 1, 2, . . . , N,



k

t

b0 (r) = C0 (r) + k


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×