Tải bản đầy đủ

Về tính chất i cofinite của một số môđun đối đồng điều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

LƯƠNG THANH HUẾ

VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

LƯƠNG THANH HUẾ

VỀ TÍNH CHẤT I-COFINITE CỦA MỘT SỐ

MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - 2019
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019
Tác giả

Lương Thanh Huế

Xác nhận

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

của cán bộ hướng dẫn khoa học

ii

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành vào tháng 05/2018 dưới sự hướng dẫn
khoa học của PGS. TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG- Giảng viên Trường


Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiên
cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều
thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy ở Viện Toán học và tất cả các
thầy cô ở Đại học Thái Nguyên với những bài giảng đầy nhiệt thành và
tâm huyết. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học và các thầy cô trong Tổ đại số
trường ĐH Sư phạm Thái Nguyên đã luôn quan tâm, tạo mọi điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập.
Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo, anh, chị, bạn bè đồng nghiệp tại Trung
tâm GDNN-GDTX Lạng Giang nơi tôi làm việc đã tạo mọi điều kiện,
động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học và làm luận văn.
Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo
điều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 23 tháng 04 năm 2019
Tác giả

Lương Thanh Huế
iii ii


Mục lục

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun . . . . . . .

4

1.2

Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Đối đồng điều địa phương suy rộng . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul . . . . . . . .

12

2 Tính I -cofinite của một số môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng

16

2.1

Sơ lược về các môđun I -cofinite và minimax . . . . . . .

16

2.2

Một số bổ đề hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Chứng minh Định lý 0.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4

Chứng minh Định lý 0.0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5

Chứng minh Định lý 0.0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

41

iii
iv


MỞ ĐẦU
Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và M , N là
hai R-môđun hữu hạn sinh. Một R-môđun K được gọi là môđun I cofinite nếu Supp (K) ⊆ V (I) và ExtjR (R/I, K) là hữu hạn sinh với
mọi j ≥ 0. Bài toán nghiên cứu tính I -cofinite cho các môđun xuất hiện
trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới
như A. Grothendieck, R. Hartshorne (những năm 1967), L. Melkersson,
K. Kawasaki, K. Bahmanpour, Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Văn Hoàng,
Lê Thanh Nhàn,... (những năm sau này). Việc nghiên cứu tính I -cofinite
của một số môđun đặc biệt như môđun Artin, môđun đối đồng điều địa
phương HIj (N ), môđun ExtjI (M, K) đã mang lại những thông tin quan
trọng về cấu trúc vành và môđun.
Năm 1970, trong luận án tiến sĩ khoa học của mình, J. Herzog đã
định nghĩa và nghiên cứu lớp môđun đối đồng điều địa phương suy
j
n
rộng HIj (M, N ) ∼
= lim
−→n ExtR (M/I M, N ). Lớp môđun này bao hàm
lớp môđun đối đồng điều địa phương và lớp môđun mở rộng nhưng nó
vẫn có những tính chất khác biệt. Do vây, như một điều tự nhiên đã
thúc đẩy ta tìm hiểu về tính I -cofinite cho lớp môđun này. Trong luận
văn này, ta tập trung tìm hiểu câu hỏi: Với những điều kiện nào thì
môđun HIj (M, N ) là I -cofinite?. Từ đó, ta thu được các tiêu chuẩn về
tính I -cofinite của một lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng
và lớp môđun đối đồng điều địa phương (như những hệ quả).
Định lý 0.0.1. ([5, Định lý 1.1]) Nếu I là iđêan chính thì HIj (M, N )
là I -cofinite với mọi R-môđun hữu hạn sinh M , N và mọi j ≥ 0.
Kết quả này là sự mở rộng của [14, Định lý 2.8] vì ta không cần giả
1


thiết M có chiều hữu hạn. Hơn nữa, những lý luận của đối đồng điều địa
phương được sử dụng trong chứng minh của K. I. Kawasaki [19, Định
lý 1] là không thể áp dụng để chứng minh định lý này vì HIj (M, N ) là
không triệt tiêu với mọi j > 1. Do vậy, ta cần dùng một tiêu chuẩn về
tính cofinite đã được đưa ra bởi L. Melkersson trong [13]. Định lý sau
đây là kết quả chính thứ hai của luận văn:
Định lý 0.0.2. ([5, Định lý 1.2]) Cho t là số nguyên không âm sao
cho dim Supp (HIj (M, N )) ≤ 1 với mọi j < t. Khi đó HIj (M, N ) là

I -cofinite với mọi j < t và Hom (R/I, HIt (M, N )) là hữu hạn sinh.
Trong [2, Định lý 2.6], K. Bahmanpour và R. Naghipour đã sử dụng
j
tính chất cơ bản của đối đồng điều địa phương là H j (N ) ∼
= H (N/ΓI (N ))
I

I

với mọi j > 0. Từ đó chỉ ra ΓI (N ) = 0. Tuy nhiên điều này là không
j
đúng khi HIj (M, N ) ∼
= HI (M, N/ΓIM (N )) với mọi j > 0, trong đó

IM = annR (M/IM ). Do đó ta cần tới Bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng cho t, k là
các số nguyên không âm, nếu dim Supp (HIj (M, N )) ≤ k , với mọi j < t
thì dim Supp HIj (M, N/ΓIM (N )) ≤ k . Hơn nữa, ta cũng cần tới các Bổ
đề 2.2.2 và 2.2.4 về môđun minimax. Đặc biệt, Bổ đề 2.4.4 giúp ta thay
vì nghiên cứu tính cofinite đối với iđêan I của HIj (M, N ) thì ta chỉ cần
xét tính cofinite đối với iđêan IM . Xét trường hợp số chiều nhỏ, trong
[17, Bổ đề 3.1] đã chứng minh rằng nếu dim(N ) ≤ 2 thì thương bất kì
của HIj (M, N ) đều chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với mọi

j ≥ 0. Ta có một kết quả mạnh hơn sau đây
Định lý 0.0.3. ([5, Định lý 1.3]) Giả sử dim(M ) ≤ 2 hoặc dim(N ) ≤ 2.
Khi đó HIj (M, N ) là I -cofinite với mọi j .
Từ Định lý này, ta có một hệ quả trực tiếp về tính cofinite của một số
môđun đối đồng điều địa phương (xem Bổ đề 2.5). Kết hợp Định lý 0.0.2
2


và 0.0.3, ta có được kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố
liên kết của ExtiR (R/I, HIj (M, N )) với mọi i, j ≥ 0 khi (R, m) là vành
địa phương Noether và dim(N ) ≤ 3 hoặc dim(M ) ≤ 3.
Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại các chứng minh
của các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3 đã nêu ở trên. Các chứng minh này
dựa trên bài báo chính là [5] của N. T. Cuong, S. Goto and N. V. Hoang
năm 2015, On the cofiniteness of generalized local cohomology modules,
Kyoto Journal of Mathematics 55(1), 169–185.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn
bị về tập Ass, tập Supp, môđun Ext, đối đồng điều địa phương, đối đồng
điều địa phương suy rộng, dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul, đồng điều
và đối đồng điều Koszul. Chương 2 trình bày kết quả chính của luận
văn về chứng minh chi tiết cho các Định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3. Sau mỗi
định lý ta trình bày các hệ quả quan trọng thu được.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I là
iđêan của R và M, N là các R-môđun.

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết và giá của môđun

Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p
của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần
tử 0 = x ∈ M sao cho (0 : x)R = AnnR (x) = p. Tập tất cả các iđêan
nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M ) hoặc Ass (M ).
Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Kí hiệu

Supp (M ) = {p ∈ Spec (R)|Mp = 0},
ta gọi là tập giá của môđun M . Đặt V (I) = {p ∈ Spec (R)|I ⊆ p}. Khi
đó Supp (R/I) = V (I). Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp (M ) = V (Ann (M )).
Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết và
giá của môđun.

4


Mệnh đề 1.1.3. (i) Nếu p là phần tử tối đại của tập

{Ann (x)|0 = x ∈ M }
thì p ∈ Ass (M ). Do đó Ass (M ) = ∅ khi và chỉ khi M = 0.
(ii) Cho p ∈ Spec (R). Khi đó p ∈ Ass (M ) nếu và chỉ nếu M có một
môđun con đẳng cấu với R/ p.
(iii) Tập các ước của không của M , kí hiệu

ZdvR (M ) = {a ∈ R | ∃x ∈ M, x = 0, ax = 0}
là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Hay

ZdvR (M ) =

p.
p∈Ass (M )

Mệnh đề 1.1.4. (i) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Ass (M ) là
tập hữu hạn. Hơn nữa, Ass (M ) ⊆ V (Ann (M )) và mỗi phần tử tối tiểu
của V (Ann (M )) đều thuộc Ass (M ). Do đó

Ann (M ) =

p.
p∈Ass (M )

(ii) Ass (M ) ⊆ Supp (M ). Hơn nữa, mỗi phần tử tối tiểu của tập

Supp (M ) đều thuộc tập Ass (M ).
(iii) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ Ass (M ), q ⊆ p}.
Mệnh đề 1.1.5. Cho 0 → M → M → M

R-môđun. Khi đó
(i) Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ⊂ Ass (M ) ∪ Ass (M ).
(ii) Supp (M ) = Supp (M ) ∪ Supp (M ).

5

→ 0 là dãy khớp các


1.2

Môđun Ext

Định nghĩa 1.2.1. (Môđun mở rộng Ext) Cho n là số tự nhiên và

M, N là R-môđun. Hàm dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến
HomR (M, −) được gọi là hàm tử mở rộng thứ n, kí hiệu ExtnR (M, −).
Khi đó ExtnR (M, N ) được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N .
Cụ thể hơn, môđun mở rộng ExtnR (M, N ) được xác định bằng cách như
α

u

u

u

0
1
2
sau: Lấy 0 → N →
− E0 −

E1 −

E2 −

· · · là một giải nội xạ của N .

Tác động hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp trên ta được đối phức
u∗

u∗

u∗

0
1
2
0 → HomR (M, E0 ) −

HomR (M, E1 ) −

HomR (M, E2 ) −

···

Khi đó, với n ≥ 1, ta đặt ExtnR (M, N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 . Đặc biệt, do

HomR (M, −) là khớp trái nên
Ext0R (M, N ) = Ker u∗0 /0 ∼
= HomR (M, N ).
Nhận xét 1.2.2. (i) Xây dựng môđun Ext không phụ thuộc vào việc
chọn giải nội xạ của N .
(ii) Môđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo hai cách: nó vừa là
môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) ứng
với môđun N , vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử phản biến

HomR (−, N ) ứng với môđun M .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext.
Hệ quả 1.2.3. Cho P là môđun xạ ảnh và E là môđun nội xạ. Khi đó

ExtnR (M, E) = 0 và ExtnR (P, M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi số
tự nhiên n ≥ 1.
Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ExtnR (M, N )
6


cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
(ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N → 0. Khi đó với mỗi

n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (M, N ) → Extn+1
R (M, N ) sao
cho ta có dãy khớp dài cảm sinh

0 → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N )
→ Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → · · ·
(iii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N → 0. Khi đó với mỗi

n ≥ 0, tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (N , M ) → Extn+1
R (N , M ) sao
cho ta có dãy khớp dài cảm sinh

0 → Hom(N , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1R (N , M )
→ Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N , M ) → · · ·

1.3

Đối đồng điều địa phương

Đối đồng điều địa phương đã được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào
những năm đầu thập kỉ 60 của thế kỉ trước. Mục này nhằm nhắc lại
định nghĩa và một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa
phương. Kiến thức sau đây được trích theo tài liệu số [2]. Trước tiên, ta
giới thiệu khái niệm hàm tử và môđun I -xoắn.
Định nghĩa 1.3.1. (Môđun I -xoắn) Cho I là iđêan của R, hàm tử I xoắn kí hiệu là ΓI (−), được xác định bởi ΓI (N ) =

(0 :N I n ) với mọi
n≥0

R-môđun N ; và đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ), x → ΓI (f )(x) =
f (x) với đồng cấu f : M → N . Khi đó hàm tử ΓI (−) là hiệp biến, khớp
trái.
7


Hơn nữa, ΓI (N ) gọi là môđun con I -xoắn của N . Một R-môđun N
được gọi là môđun I -xoắn nếu ΓI (N ) = N , và N được gọi là môđun
không I -xoắn nếu ΓI (N ) = 0.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số tính chất của ΓI (−) được dùng trong
chương 2.
Mệnh đề 1.3.2. (i) Γ0 (N ) = N và ΓR (N ) = 0.
(ii) Nếu I ⊆ J thì ΓJ (N ) ⊆ ΓI (N ).
(iii) AssR (ΓI (N )) = AssR (N ) ∩ V (I) với N là R-môđun Noether.
(iv) AssR (M/ΓI (M )) = AssR (M ) \ V (I), với R là Noether.
Từ đây, ta có định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Định nghĩa 1.3.3. (Môđun đối đồng điều địa phương) Với mỗi số
nguyên i ≥ 0, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI (−) kí hiệu bởi HIi (−)
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với I .
Cho N là R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N
đối với I kí hiệu là HIi (N ) được xác định bằng cách: Lấy một giải nội xạ
α

u

u

u

0
1
2
của N là 0 → N →
− E0 −

E1 −

E2 −

· · · . Tác động hàm tử ΓI (−)

vào dãy khớp trên ta được đối phức
u∗

u∗

u∗

2
0
1

ΓI (E2 ) −

···

ΓI (E1 ) −
0 → ΓI (E0 ) −

Khi đó, với mỗi i ≥ 1, đặt HIi (N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 .
Đặc biệt, do ΓI (−) là khớp trái nên HI0 (N ) = Ker u∗0 /0 ∼
= ΓI (N ).
Sau đây, là một số tính chất cơ bản về môđun đối đồng điều địa
phương.
Hệ quả 1.3.4. (i) Cho E là môđun nội xạ. Khi đó HIi (E) = 0.
8


(ii) Cho 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó với mọi

i ≥ 0 luôn tồn tại đồng cấu nối HIi (N ) → HIi+1 (N ) sao cho dãy sau
là khớp

0 → ΓI (N ) → ΓI (N ) → ΓI (N ) → HI1 (N ) → HI1 (N )
→ HI1 (N ) → HI2 (N ) → · · · .
Mệnh đề 1.3.5. (i) Nếu N là I -xoắn thì HIi (N ) = 0 với mọi i > 0.
(ii) HIi (N ) = HIi (N ) với mọi i > 0, trong đó N = N/ΓI (N ).
(iii) HI0 (N ) = 0 khi và chỉ khi tồn tại p ∈ Ass (M ) sao cho I ⊆ p.
Định lý 1.3.6. (Grothendieck). Với mỗi i ≥ 0, ta có
i
n
HIi (N ) ∼
Ext
(R/I
, N ).
= lim
R
−→
n

Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương không
phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [3, Định lý 4.2.1 ]).
Định lý 1.3.7. (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho R là R-đại số và
N là R -môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 ta có các đẳng cấu H i (N ) ∼
=
IR

HIi (N

) khi xem như các R-môđun.

Khi R là R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [3, Định lý 4.3.2 ]).
Định lý 1.3.8. (Định lý đổi cơ sở phẳng). Cho R là R-đại số phẳng và
i
N là R-môđun. Khi đó ta có đẳng cấu HIi (N ) ⊗R R ∼
(N ⊗R R )
= HIR
giữa những R -môđun với mọi i ≥ 0.
Hai định lý sau đây được chứng minh bởi A. Grothendieck là một
trong những kết quả sớm nhất và có nhiều ứng dụng quan trọng trong
lý thuyết đối đồng điều địa phương (xem [3, Định lý 6.1.2 và Định lý
6.1.4]).
9


Định lý 1.3.9. (Định lý triệt tiêu Grothendieck). HIi (N ) = 0 với mọi

i > dim N và mọi iđêan I .
Định lý 1.3.10. (Định lý không triệt tiêu Grothendieck). Cho (R, m)
là vành giao hoán địa phương Noether và N là R-môđun hữu hạn sinh
khác không có chiều n. Khi đó, Hmn (N ) = 0.
Định lý sau đây cho ta biết rằng một môđun đối đồng điều địa phương
với giá cực đại hoặc có cấp cao nhất sẽ là môđun Artin.
Định lý 1.3.11. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu
hạn sinh. Khi đó
(i) Hmi (N ) là R-môđun Artin với mọi i ≥ 0.
(ii) Nếu dim M = d thì HId (N ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I .

1.4

Đối đồng điều địa phương suy rộng

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nghiên cứu đầu tiên
bởi J. Herzog vào năm 1970. Nó trở thành một công cụ cần thiết trong
nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học đại số thế giới.
Dưới đây là định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng của J. Herzog.
Định nghĩa 1.4.1. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và I là
iđêan của R. Với mỗi số nguyên j không âm, môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng thứ j của M và N ứng với iđêan I , kí hiệu là HIj (M, N )
được xác định bởi
j
n
HIj (M, N ) ∼
= lim
−→ ExtR (M/I M, N ).
n

10


Nhận xét 1.4.2. Định nghĩa trên là một mở rộng của khái niệm môđun
đối đồng điều địa phương, vì nếu cho M = R thì ta được

HIj (M, N ) = HIj (R, N ) = HIj (N ).
Tiếp theo là các tính chất cơ bản được suy ra từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.4.3. Cho 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn các

R-môđun. Khi đó với mỗi R-môđun M ta có dãy khớp dài cảm sinh
· · · → HIj (M, N ) → HIj (M, N ) → HIj (M, N ) → HIj+1 (M, N ) → · · ·
Khi cố định biến thứ hai của hàm tử HIj (−, −), J. Herzog đã chứng
minh kết quả sau đây cho trường hợp I = m, sau đó được M. H. Bijan
Zadeh mở rộng ra Iđêan tùy ý [xem 21, Bổ đề 5.1].
Mệnh đề 1.4.4. Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp ngắn các

R-môđun. Khi đó với mỗi R-môđun N ta có dãy khớp dài cảm sinh
· · · → HIj (M , N ) → HIj (M, N ) → HIj (M , N ) → HIj+1 (M , N ) → · · ·
Mặc dù lớp môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là sự tổng quát
hóa của lớp môđun đối đồng điều địa phương nhưng nó vẫn có những
tính chất khác biệt. Sau đây, ta giới thiệu tính triệt tiêu của môđun đối
đồng điều địa phương suy rộng HIj (M, N ) khi j đủ lớn. N. Suzuki đã
chứng minh cho trường hợp M, N là các R-môđun hữu hạn sinh và M
có chiều xạ ảnh hữu hạn thì Hmj (M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim N .
Sau đó, M. H. Bijan-Zadeh đã mở rộng kết quả trên với iđêan I bất kì
(xem [1, Bổ đề 5.1]. Cùng với những giả thiết này, S. Yassemi đã đưa ra
kết quả sau.

11


Định lý 1.4.5. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M <

∞ thì HIj (M, N ) = 0 với mọi j > pd M + dim(M ⊗R N ).
Các nhà nghiên cứu đại số đã không ngừng mở rộng tính triệt tiêu
này. Năm 2003, J. Herzog và N. Zamani đã đưa ra kết quả mới trong
bài báo của mình như sau (xem [16, Định lý 3.2]).
Định lý 1.4.6. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M <

∞ thì Hmj (M, N ) = 0 với mọi j > dim R.
Gần đây nhất, vào năm 2008, N. V. Hoàng đã mở rộng định lý trên
từ iđêan cực đại m tới trường hợp iđêan I bất kì như sau:
Định lý 1.4.7. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh. Nếu pd M <

∞ thì HIj (M, N ) = 0 với mọi j > dim R.

1.5

Sơ lược về dãy chính quy và phức Koszul

Phần này được tham khảo trong tài liệu [3], [23] và [4].
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phần tử M -chính quy và M -dãy
chính quy.
Định nghĩa 1.5.1. Một phần tử x ∈ R được gọi là M -chính quy nếu

xm = 0 với mọi 0 = m ∈ M . Một dãy các phần tử (x1 , . . . , xn ) của R
được gọi là một M -dãy chính quy (hay M -dãy) nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
(i) xj là phần tử M/(x1 , . . . , xj−1 )M -chính quy với mọi j = 1, . . . , n.
(ii) M/(x1 , . . . , xn )M = 0.
Một M -dãy (x1 , . . . , xn ) các phần tử trong I được gọi là M -dãy cực
đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho (x1 , . . . , xn , y)
là M -dãy.
12


Định lý sau đây cho ta độ dài của một M -dãy chính quy cực đại
trong iđêan I .
Định lý 1.5.2. Cho N là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R
sao cho IM = M . Khi đó, mọi M -dãy chính quy cực đại trong I có
cùng độ dài là n được xác định bởi

n = inf{i| ExtiR (R/I, N ) = 0}.
Từ định lý trên ta có định nghĩa độ sâu của M trong I như sau.
Định nghĩa 1.5.3. Độ dài của chung của các M -dãy chính quy cực đại
trong I được gọi là độ sâu của M trong I và kí hiệu là depth (I, M ).
Nếu IM = M thì ta quy ước depth (I, M ) = ∞.
Phần còn lại của mục này nhằm trình bày lại một số kiến thức về
phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul.
Định nghĩa 1.5.4. (i) Một phức C• là một dãy các R-môđun và các
đồng cấu R-môđun
d

d

d

d

i+1
i−1
i+2
i
C• : · · · −−→ Ci+1 −−→ Ci −

Ci−1 −−→ · · ·

sao cho di di+1 = 0 với mọi i.
(ii) Một đối phức C• là một dãy các R-môđun và các đồng cấu R-môđun
di−2

di−1

di

di+1

C• : · · · −−→ C i−1 −−→ C i −
→ C i+1 −−→ · · ·
sao cho di di−1 = 0 với mọi i.
Ta gọi các đồng cấu di và di tướng ứng là các vi phân của phức C•
và đối phức C• .

13


Với mỗi i, ta đặt Zi = Ker(di ) và Z i = Ker(di ). Đặt Bi = Im(di+1 )
và B i = Im(di−1 ). Khi đó, môđun Hi (C) = Zi /Bi gọi là môđun đồng
điều thứ i của phức C• và môđun H i (C) = Z i /B i gọi là môđun đối
đồng điều thứ i của đối phức C• .
Định nghĩa 1.5.5. (Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul)
(i) Cho phần tử x ∈ R. Khi đó phức
x

··· → 0 → 0 → R →
− R→0
gọi là phức Koszul sinh bởi x trên R và được kí hiệu là K(x; R).
(ii) Cho dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Ta định nghĩa phức
Koszul sinh bởi x = x1 , . . . , xn trên R, kí hiệu là K• (x1 , . . . , xn ; R)
(hoặc K• (x; R)) như sau
dn−1

d

d

d

n
2
1
0 → Kn (x; R) −→
Kn−1 (x; R) −−→ · · · −

K1 (x; R) −

K0 (x; R) → 0,

trong đó K0 = K0 (x; R) = R, Kp = Kp (x; R) = 0 với mọi p < 0 hoặc

p > n; và nếu 1 ≤ p ≤ n thì Kp = Kp (x; R) =
tự do có hạng là

n
p

Rei1 i2 ...ip là R-môđun

có một cơ sở là {ei1 i2 ...ip | 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n}.

Khi đó với 1 ≤ p ≤ n và bộ số 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n, có các vi phân

dp : Kp → Kp−1 xác định bởi công thức
p

(−1)h−1 xh ei1 ...ih ...ip .

dp (ei1 i2 ...ip ) =
h=1

(iii) Cho M là R-môđun và dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Với
mỗi i = 0, . . . , n, ta gọi môđun đồng điều của phức

K• (x; R) ⊗R M : · · · → Ki+1 (x; R) ⊗R M → Ki (x; R) ⊗R M · · · .
14


kí hiệu là Hi (x1 , . . . , xn ; M ) (hoặc Hi (x; M )) là môđun đồng điều Koszul
thứ i của M ứng với dãy x.
(iv) Cho M là R-môđun và dãy x = x1 , . . . , xn các phần tử của R. Với
mỗi i = 0, . . . , n, ta gọi môđun đối đồng điều của đối phức

Hom(K• (x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1 (x; R),M ) → Hom(Ki (x; R), M ) · · · .
kí hiệu là H i (x1 , . . . , xn ; M ) (hoặc H i (x; M )) là môđun đối đồng điều
Koszul thứ i của M đối với dãy x.
Ta có mối quan hệ giữa đồng điều và đối đồng điều Koszul như sau.
Mệnh đề 1.5.6. Cho dãy x = x1 , . . . , xn và M là R-môđun. Khi đó ta
có các đẳng cấu
(i) H i (x; M ) ∼
= Hn−i (x; M ).
(ii) Hn (x; M ) ∼
= (0 :M x).

15


Chương 2
Tính I-cofinite của một số môđun
đối đồng điều địa phương suy rộng
Mục tiêu của chương này là nhằm tìm hiểu về tính I -cofinite của một
số lớp môđun, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

HIj (M, N ) = lim Ext jR (M/I n M, N ).
−→n

Cụ thể, ta sẽ trình bày chứng minh chi tiết định lý 0.0.1, 0.0.2 và 0.0.3,
các bổ đề cần thiết cho chứng minh và các hệ quả được suy ra từ mỗi
định lý đó. Trong chương này, ta luôn giải thiết R là một vành giao
hoán Noether, I là một iđêan của R và M , N là hai R- môđun hữu
hạn sinh. Kí hiệu IM là linh hóa tử của R - môđun M/IM , nghĩa là

IM = AnnR (M/IM ). Chương này viết dựa trên bài báo [5].

2.1

Sơ lược về các môđun I-cofinite và minimax

Năm 1970, R. Hartshorne đã định nghĩa về môđun I -cofinite như sau.
Định nghĩa 2.1.1. (R. Hartshorne) Một R-môđun K được gọi là môđun

I -cofinite nếu Supp (K) ⊆ V (I) và ExtjR (R/I, K) là hữu hạn sinh với
16


mọi j ≥ 0.
Ví dụ 2.1.2. Các môđun hữu hạn sinh và các môđun có I ⊆ Ann(M )
lá các môđun I -cofinite.
Trong [24], H. Zo¨schinger đã giới thiệu lớp các môđun minimax.
Định nghĩa 2.1.3. Một R-môđun K được gọi là minimax nếu có một
môđun con hữu hạn sinh T của K sao cho K/T là môđun Artin.
Từ định nghĩa ta thấy lớp các môđun minimax bao gồm tất cả các
môđun hữu hạn sinh và các môđun Artin.
Bổ đề 2.1.4. ([2, Định lý 2.3]) Cho t là số nguyên không âm sao cho

HIj (M, N ) là minimax với mọi j < t. Khi đó HomR (R/I, HIt (M, N ) là
hữu hạn sinh.

2.2

Một số bổ đề hỗ trợ

Phần này trình bày và chứng minh một số bổ đề hỗ trợ được dùng trong
các phần tiếp theo. Trước hết, ta nhắc lại bổ đề quan trọng sau.
Bổ đề 2.2.1. ([6, Bổ đề 2.3]) (i) Nếu I ⊆ Ann(M ) hoặc ΓI (N ) = N
thì
j
HIj (M, N ) ∼
= Ext R (M, N )

với mọi j ≥ 0.
(ii) HIj (M, N ) là IM -xoắn với mọi j ≥ 0.
Bổ đề 2.2.2. Cho t là số nguyên không âm sao cho HIj (M, N ) là minimax với mọi j < t. Khi đó HIj (M, N ) là I -cofinite với mọi j < t.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp theo j ≥ 0.
Nếu j = 0 thì rõ ràng rằng HI0 (M, N ) là I -cofinite. Giả sử j > 0 và giả
17


thiết khẳng định trên là đúng với mọi giá trị nhỏ hơn j . Khi đó theo bài
và giải thiết quy nạp ta có HI0 (M, N ), . . . , HIj−1 (M, N ) là các R-môđun

I -cofinite minimax. Áp dụng kết quả của Bổ đề 2.1.4 ở trên ta được
Hom (R/I, HIj (M, N )) là hữu hạn sinh. Do đó HIj (M, N ) là I -cofinite
theo [13, Tính chất 4.3]. Như vậy, bổ đề đã được chứng minh.
Bổ đề 2.2.3. Cho các số nguyên t, k ≥ 0. Nếu dim Supp (HIj (M, N )) ≤

k , với mọi j < t thì dim Supp HIj (M, N/ΓIM (N )) ≤ k .
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn

0 → ΓIM (N ) → N → N/ΓIM (N ) → 0,
ta có dãy khớp dài tương ứng

· · · → Ext jR M, ΓIM (N ) → HIj (M, N ) → HIj (M, N )
→ Ext j+1
M, ΓIM (N ) → · · · ,
R
với mọi j , trong đó, N = N/ΓIM (N ). Giả sử tồn tại số nguyên i <

t và iđêan p ∈ Supp HIi (M, N )
Supp HIj (M, N )

sao cho dim(R/p) > k và p ∈
/

với mọi j < i. Khi đó từ dãy khớp dài ở trên ta

thu được dãy khớp sau

· · · → Ext jR M, ΓIM (N )

p

→ Ext j+1
M, ΓIM (N )
R

→ HIj (M, N )p → HIj (M, N )p
p

→ ··· .

Hơn nữa ta chú ý rằng HIj (M, N )p = 0 với mọi j ≤ i, trong khi

HIj (M, N )p = 0 với mọi j < i và HIi (M, N )p = 0. Do đó, kết hợp
điều này với dãy khớp trên ta có Ext jR M, ΓIM (N )

18

p

= 0 với mọi j ≤ i


và Ext i+1
M, ΓIM (N )
R

p

= 0. Từ đó suy ra ΓIM (N )p = 0 và

depth Ann(M )p , ΓIM (N )p = i + 1 ≥ 1.
Do đó Ann(M )p

qRp với mọi qRp ∈ AssRp ΓIM (N )p . Điều này mâu

thuẫn với Mệnh đề 1.5 AssRp ΓIM (N )p = AssRp (Np ) ∩ V (IM )p và

IM ⊇ Ann (M ).
Bổ đề 2.2.4. Cho số nguyên t ≥ 0 sao cho Supp HIj (M, N )



Max(R) với mọi j < t. Khi đó HIj (M, N ) là môđun Artin với mọi
j < t.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng cách quy nạp theo t. Với

t = 1 thì j = 0. Khi đó HI0 (M, N ) là Artin. Với t ≥ 2, ta giả sử bổ
đề là đúng với t − 1. Từ giả thiết quy nạp, ta có R-môđun HIj (M, N )
là Artin với mọi j < t − 1. Ta cần chứng minh HIt−1 (M, N ) là Artin.
Thật vậy, theo kết quả Bổ đề 2.1.4, ta được Hom R/I, HIt−1 (M, N )
là hữu hạn sinh. Khi đó vì Supp Hom(R/I, HIt−1 (M, N )) ⊆ Max (R)
nên theo giả thiết quy nạp thì Hom R/I, HIt−1 (M, N ) là Artin. Mặt
khác, ta có HIt−1 (M, N ) là I -xoắn nên áp dụng kết quả của [8, Định lý
1.3] ta được HIt−1 (M, N ) là Artin.
Sau đây, ta sẽ chứng minh kết quả chính thứ nhất của luận văn về
tính cofinite cho trường hợp I là iđêan chính.

2.3

Chứng minh Định lý 0.0.1

Chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1. Cho K là R-môđun. Giả sử x ∈ I và Supp (K) ⊂ V (I).
Khi đó, nếu (0 : x)K và K/xK đều là I -cofinite thì K cũng là I -cofinite.
19


Chứng minh. Cho t là số nguyên không âm tùy ý. Ta chỉ cần chứng minh
rằng Ext tR (R/I, K) là hữu hạn sinh. Ta có biểu đồ sau là giao hoán.
x

− xK → 0
0 → (0 :K x) →K →
x↓

x

0 →xK → K → K/xK → 0
Khi đó ta cũng thu được biểu đồ giao hoán của các dãy khớp dài:
x(t)

· · · → ExttR (R/I, (0 :K x)) → ExttR (R/I, K) −−→ ExttR (R/I, xK) → · · ·
x(t) ↓

x(t)
ft

t
· · · → Extt−1
→ ExttR (R/I, K) → · · ·
R (R/I, K/xK) → ExtR (R/I, xK) −

trong đó x(t) = ExttR (R/I, x). Theo giả thiết K/xK là I -cofinite nên

Extt−1
R (R/I, K/xK) là hữu hạn sinh. Suy ra Ker (ft ) là hữu hạn sinh.
Hơn nữa, vì biểu đồ trên là giao hoán nên

x(t) ((0 : x)ExttR (R/I,K) ) ⊆ Ker (ft ).
Do đó x(t) ((0 : x)ExttR (R/I,K) ) là hữu hạn sinh. Mặt khác, ta có (0 : x)K
là I -cofinite theo giả thiết nên suy ra ExttR (R/I, (0 :K x)) là hữu hạn
sinh. Điều này kéo theo Ker (x(t) ) là hữu hạn sinh. Khi đó xét dãy khớp

0 → Ker (x(t) ) ∩ (0 : x)ExttR (R/I,K) → (0 : x)ExttR (R/I,K)
→ x(t) ((0 : x)ExttR (R/I,K) ) → 0
ta được (0 : x)ExttR (R/I,K) là hữu hạn sinh. Hơn nữa với mỗi x ∈ I thì

ExttR (R/I, K) = (0 : x)ExttR (R/I,K) . Do vậy ExttR (R/I, K) là hữu hạn
20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×