Tải bản đầy đủ

Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THÀNH TRUNG

CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY
CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đỗ Minh Châu

THÁI NGUYÊN - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị
trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành

luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được
ghi rõ nguồn gốc.
4 ăm 2019
T

giả

ận

n

Nguyễn Thành Trung

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn "Chặn đều chỉ số khả quy cho Iđêan tham số của môđun
hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương" được hoàn thành sau thời
gian 2 năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ
lòng biết ơn chân thành tới cô giáo của tôi - TS. Trần Đỗ Minh Châu,
người cô kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy
cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 25.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình, bạn
bè đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và nghiên cứu thật tốt.

iiiii


iii




MỞ ĐẦU
Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu
hạn sinh chiều d. Giả sử x = x1 , . . . , xd là một hệ tham số của M và
q = (x1 , . . . , xd ). Cho n = (n1 . . . , nd ) là bộ gồm d số nguyên dương và

xn = xn1 1 , . . . , xnd d . Ta xem hiệu
IM,x (n) = (M/xn M ) − e(xn ; M )
như một hàm theo biến n trong đó e(x; M ) là số bội của M ứng với dãy

x. Mặc dù IM,x (n) không là đa thức với n1 , . . . , nd đủ lớn nhưng nó bị
chặn trên bởi các đa thức. Trong [7], N. T. Cường đã chứng minh được
bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn trên IM,x (n) là không
phụ thuộc vào việc chọn x. Bậc này được gọi là kiểu đa thức của M,
kí hiệu là p(M ). Chú ý rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ
nếu (M/ q M ) = e(q; M ), với một (và do đó với mọi) iđêan tham số q
của M. Vì thế nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là môđun
Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1. Để mở rộng lớp môđun CohenMacaulay, J. Stuckrad và W. Vogel đã giới thiệu lớp môđun Buchsbaum.
Một R-môđun M được gọi là Buchsbaum nếu và chỉ nếu với mọi iđêan
tham số q, hiệu (M/ q M ) − e(q; M ) là không đổi. Sau đó, N. T. Cường,
P. Schenzel và N. V. Trung [9] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay
suy rộng. Môđun M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu hiệu

(M/ q M ) − e(q; M ) bị chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Dễ
1


dàng thấy rằng M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu

p(M ) ≤ 0. Cho đến nay vẫn còn rất ít thông tin về cấu trúc của M khi
p(M ) > 0.
Cho q là iđêan tham số của M. Số thành phần bất khả quy xuất
hiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn của q M được gọi là chỉ
số khả quy của q trong M và kí hiệu là irM (q M ). Chú ý rằng ta luôn có

irM (q M ) = dimR/m Soc(M/ q M ), trong đó với mỗi R-môđun N tùy ý,
Soc(N ) = (0 :N m). Một kết quả cổ điển của D. G. Northcott phát biểu
rằng chỉ số khả quy của các iđêan tham số đối với môđun Cohen-Macaulay
là một bất biến của môđun M. Trong [11], S. Endo và M. Narita đã đưa
ra ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại là không đúng. Khi M là môđun CohenMacaulay suy rộng, S. Goto và N. Suzuki [13] đã chứng minh rằng irM (q M )
có chặn trên cho bởi công thức
d−1

irM (q M ) ≤
j=0

d
j

j
R (Hm (M ))

+ dimk Soc Hmd (M )

với mọi iđêan tham số q của M. Trong trường hợp M là môđun Buchsbaum, S. Goto và H. Sakurai [12] đã chứng minh dấu bằng trong bất đẳng
thức trên xảy ra với mọi iđêan tham số q nằm trong lũy thừa đủ lớn của
m. Tiếp theo, N. T. Cường và H. L. Trường [10] đã mở rộng kết quả của
Goto, H. Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Gần
đây, N. T. Cường và P. H. Quý đã sử dụng kỹ thuật chẻ ra của đối đồng
điều địa phương để chứng minh lại kết quả này.
Mục đích của luận văn là trình bày lại kết quả của P. H. Quý trong
bài báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter
2


ideals of a module whose polynomial type is at most one". Kết quả khẳng
định nếu M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho p(M ) ≤ 1 thì irM (q M ) bị
chặn trên với mọi iđêan tham số q của M. Ngoài phần mở đầu, kết luận
và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn gồm 2 chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản của môđun hữu hạn sinh
gồm chiều, độ sâu và số bội; khái niệm và tính chất của Đối ngẫu Matlis,
môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại và kiểu đa thức.
Chương 2 trình bày khái niệm chỉ số khả quy, chặn đều số phần tử
sinh tối tiểu của môđun con trong trường hợp chiều 1 và chặn đều chỉ số
khả quy trong trường hợp p(M ) ≤ 1.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán
Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđun
tùy ý không nhất thiết hữu hạn sinh.

1.1. Chiều, hệ tham số và số bội của môđun hữu hạn sinh
Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả về
các bất biến của R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu và số bội
ứng với một hệ tham số.
Định nghĩa 1.1.1. Ta nói dãy các iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn
của R có độ dài n nếu qi = qi+1 với mọi i. Chiều Krull của vành R là cận
trên đúng của tất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R. Chiều
Krull của R được kí hiệu là dim R.
Ví dụ 1.1.2. (i) Cho k là một trường. Vành các đa thức vô hạn biến

R = k[X1 , X2 , . . . , Xn , . . .] có chiều là ∞ vì xích các iđêan nguyên tố
(X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ . . . ⊂ (X1 , X2 , . . . , Xn ) ⊂ . . .
tăng vô hạn.
(ii) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

R đều là một iđêan cực đại. Đặc biệt, mỗi trường đều có chiều bằng 0.
4


(iii) Vành các số nguyên Z có dim Z = 1, vì 0 là một iđêan nguyên
tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p là
số nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.3. Chiều Krull của M, kí hiệu là dim M, là chiều Krull
của vành R/ AnnR (M ).
Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết
của M nếu tồn tại một phần tử m ∈ M sao cho p = AnnR (m). Tập các
iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M.
Chú ý rằng iđêan nguyên tố p ∈ AssR M nếu và chỉ nếu M chứa
một môđun con đẳng cấu với R/ p . Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tối
tiểu chứa AnnR M và tập các iđêan tối tiểu của AssR M là bằng nhau. Vì
thế ta có công thức tính dim M qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết
của M như sau.
Bổ đề 1.1.4.

dim M = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR M }.
Cho I = R là iđêan của R. Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ nếu

ab ∈ I và a ∈
/ I kéo theo b ∈ I với mọi a, b ∈ R. Chú ý rằng nếu I là

iđêan nguyên sơ thì p = I là iđêan nguyên tố. Trong trường hợp này ta
nói I là iđêan p-nguyên sơ.
Cho L là R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Dãy 0 = L0

L1

L2

...

Lt = L (*) trong đó mỗi Li là môđun con của L được

gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy hợp thành nếu tồn tại dãy
(*) mà giữa Li và Li+1 không thể thêm một môđun con nào khác, với mọi

i = 0, . . . , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành thì mọi dãy môđun con không
5


có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng được thành một dãy hợp thành
và các dãy hợp thành của L có chung độ dài. Trong trường hợp này ta nói

L có độ dài hữu hạn và độ dài của L, kí hiệu là

R (L),

là độ dài của một

dãy hợp thành. Nếu L không có dãy hơp thành thì ta nói L có độ dài vô
hạn, ta kí hiệu

R (L)

= ∞.

Định lý sau cho ta hai bất biến tương đương với chiều Krull của M .
Định lý 1.1.5. [14, Định lý 13.4]. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi
đó

R (M/ q

n

M ) là một đa thức với hệ số hữu tỉ khi n đủ lớn và

dim M = deg

R (M/ q

n

M)

= inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m,

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

< ∞}.

Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn
tại hữu hạn phần tử x1 , . . . , xt thuộc m sao cho m = (x1 , . . . , xt )R. Vì
R (M/mM )

< ∞ nên ta suy ra

R (M/(x1 , . . . , xt )M )

< ∞. Do đó theo

Định lý 1.1.5 ta có dim M ≤ t. Suy ra dim M < ∞.
Định nghĩa 1.1.6. Một hệ gồm d phần tử {x1 , . . . , xd } nằm trong m
được gọi là một hệ tham số của M nếu

R (M/(x1 , . . . , xd )M )

< ∞. Nếu

{x1 , . . . , xd } là một hệ tham số của M thì xi được gọi là một phần tử tham
số của M và tập con i phần tử {x1 , . . . , xi } được gọi là một phần hệ tham
số của M.
Chú ý rằng luôn tồn tại hệ tham số của M theo Định lý 1.1.5. Khi
đó (x1 , . . . , xd ) + AnnR M là iđêan m-nguyên sơ. Mệnh đề sau cho ta một
số tính chất của hệ tham số.
Mệnh đề 1.1.7. Các phát biểu sau là đúng.

6


(i) Nếu {x1 , . . . , xd } là một hệ tham số của M thì {xn1 1 , . . . , xnd d } cũng là
một hệ tham số của M với mọi n1 , . . . , nd ∈ N.
(ii) Cho x ∈ m. Khi đó x là phần tử tham số của M khi và chỉ khi x ∈
/p
với mọi p ∈ AssR M thỏa mãn dim R/ p = d.
Với hai số tự nhiên k ≤ n, ta đặt

n
k

là tổ hợp chập k của n phần

tử.
Định nghĩa 1.1.8. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số của M. Đặt
q = (x1 , . . . , xd ). Khi đó tồn tại các số nguyên e0 , e1 , . . . , en với e0 > 0 sao
cho với n đủ lớn ta có.
R (M/ q

n

M ) = e0

n+d
n+d−1
+ e1
+ . . . + en .
d
d−1

Ta gọi e0 là số bội của M ứng với x và kí hiệu là e(x, M ).

1.2. Đầy đủ theo tôpô m-adic và Đối ngẫu Matlis
Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là Rmôđun không nhất thiết hữu hạn sinh. Mục tiêu của tiết này là nhắc lại
khái niệm vành đầy đủ R của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về
hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := Hom(−, E(R/m)). Nội dung tiết này
tham khảo trong [4, Chương 10].
Định nghĩa 1.2.1. Một dãy (xn ) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy theo
tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N để xn − xm ∈ mk ,
với mọi m, n ≥ n0 . Dãy (xn ) ⊂ R được gọi là dãy không nếu với mỗi

k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk , với mọi n ≥ n0 .
Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai
dãy Cauchy (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) là dãy
không. Kí hiệu R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý
7


rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng

(xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ
thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế chúng là
các phép toán trên R và cùng với phép toán này R làm thành một vành
Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất m. Vành R vừa xây dựng
được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R.
Một dãy (zn ) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với
mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho zn − zm ∈ mk M, với mọi

m, n ≥ n0 . Dãy (zn ) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước
tồn tại n0 ∈ N sao cho zn ∈ mk , với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ
tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (zn ), (tn )
được gọi là tương đương nếu dãy (zn − tn ) là dãy không. Kí hiệu M là tập
các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng tổng của hai dãy
Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một phần tử thuộc R với
một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (zn ) + (tn ) = (zn + tn )
và quy tắc nhân vô hướng a(zn ) = (azn ) với a ∈ R, không phụ thuộc vào
cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán
trên M và cùng với phép toán này M làm thành một R-môđun và được
gọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành R.
Ví dụ 1.2.2. Cho k là một trường, k[x] là một vành đa thức một biến
trên k. Vành S = k[x] không là vành địa phương. Chọn P = (x)S là iđêan
cực đại của S. Do đó vành địa phương hóa R = SP là vành địa phương với
iđêan tối đại là m = (x)R. Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic
của R là k[[x]].
Định nghĩa 1.2.3. Cho L = 0 là một R-môđun, một R-môđun E được
gọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđun
con khác không N của E luôn có N ∩ L = 0. Một R-môđun E được gọi
là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của
8


L. Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, nếu E và E
là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E sao cho

f (x) = x, với mọi x ∈ L. Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là E(L).
Một giải nội xạ của L là một dãy khớp

0 → L → E0 → E1 → E2 → . . .
trong đó mỗi Ei là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải
nội xạ.
Định nghĩa 1.2.4. Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư

R/m của R. Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các R-môđun
đến chính nó. Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính và khớp trái.
Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi R-môđun L, ta
gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L.
Xét µL : L → DD(L) = HomR (HomR (L, E), E) là đồng cấu cho
bởi (µL (x))(f ) = f (x), với mỗi x ∈ L, với mọi f ∈ HomR (L, E). Ta có µL
là đơn cấu. Thật vậy, giả sử 0 = x ∈ L. Xét R-đồng cấu f : Rx → R/m
xác định bởi f (rx) = r + m với mọi r ∈ R. Khi đó f (x) = 1 + m = 0. Xét
đơn cấu nhúng i : R/m → E. Do E là bao nội xạ nên tồn tại f : L → E
sao cho f = f j = if , trong đó j là đơn cấu nhúng từ Rx → L. Vì thế

f (x) = f j(x) = if (x) = f (x) = 0.
Suy ra µL (x)(f ) = 0. Vậy µL là đơn cấu.
Bổ đề 1.2.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Các phát biểu sau là
đúng.
(i) AnnR L = AnnR D(L);
(ii) Nếu

R (L)

< ∞ thì D(L) ∼
= L;
9


(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin;
(iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun Noether.

1.3. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại
Trong tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I là iđêan
của R và L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh). Mục đích của
tiết này là trình bày các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa
phương phục vụ cho chương sau. Các kiến thức và thuật ngữ ở đây được
tham khảo từ cuốn sách của Brodmann-Sharp [4].
Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI (L) = ∪n≥0 (0 :L I n ).
Chú ý rằng ΓI (L) là môđun con của L. Nếu f : L → L là đồng cấu các

R-môđun thì f ∗ : ΓI (L) → ΓI (L ) cho bởi f ∗ (x) = f (x) cũng là đồng
cấu. Do đó ta có hàm tử ΓI (−) từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù

R-môđun. Rõ ràng, ΓI (−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái và ta gọi nó là
hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 1.3.2. Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I -xoắn ΓI (−)
ứng với R-môđun L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n
của L với giá I, và được kí hiệu bởi HIn (L). Cụ thể để tính HIi (L) ta lấy
u

α

u

0
1
0→L→
− E0 −

E1 −

E2 → . . .

là một giải nội xạ tùy ý của L, sau đó tác động hàm tử ΓI (−) ta được đối
phức
u∗

u∗

1
0
0 → Γ(E0 ) −

Γ(E1 ) −

Γ(E2 ) → . . .

Khi đó HIi (L) = Ker u∗i / Im u∗i−1 là môđun đối đồng điều thứ i của đối
phức trên. Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.
Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I -xoắn nếu L = ΓI (L). Sau
đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
10


Mệnh đề 1.3.3. Các phát biểu sau đây là đúng:
(i) HI0 (L) ∼
= ΓI (L);
(ii) Nếu L là nội xạ thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1;
(iii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i ≥ 1;
(iv) HIi (L) là môđun I -xoắn với mọi I;
(v) HIj (HIi (L)) = 0 với mọi j > 0;
(vi) Nếu 0 → L → L → L → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn
tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : HIn (L ) → HIn+1 (L ) gọi
là đồng cấu nối, sao cho ta có dãy khớp dài:
δ

0
→ ΓI (L ) → ΓI (L) → ΓI (L”) −

HI1 (L ) → HI1 (L) → HI1 (L )

δ

1


HI2 (L ) → HI2 (L) → . . .

Một kết quả rất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là
Định lý triệt tiêu của Grothendieck.
Định lý 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của

R. Khi đó HIi (M ) = 0 với mọi i > dim M.
Ví dụ 1.3.5. Cho R = Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđun
hữu hạn sinh với dim = 0 và I = 12Z. Ta có HI0 (M ) = M và theo Định
lý triệt tiêu của Grothendieck thì HIi (M ) = 0 với mọi i > 0.
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn
sinh nhìn chung không Artin. Sau đây là một kết quả về tính Artin của
môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, chứng minh bởi I. G.
Macdonald và R. Y. Sharp.
Định lý 1.3.6. (Xem [4, Định lý 7.1.3]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.
11


1.4. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng
Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm và một số kết quả thường
sử dụng trong chương 2 về lớp môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng. Trước hết ta nhắc lại khái niệm độ sâu của môđun.
Định nghĩa 1.4.1. (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không là
ước của không đối với M nếu 0 :M x = 0, tức là xm = 0 kéo theo

m = 0 với mọi m ∈ M.
(ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính quy nếu ta có 0 :M x = 0
và M = xM, tức là x không là ước của không đối với M và xM = M.
(iii) Một dãy các phần tử (x1 , . . . , xk ) trong vành R được gọi là M -dãy
chính quy hay M -dãy nếu xi là M/(x1 , . . . , xi−1 )-chính quy với mọi

i = 1, . . . , k, tức là M = (x1 , . . . , xk )M và
((x1 , . . . , xi−1 )M :M xi ) = (x1 , . . . , xi−1 )M với mọi i = 1, . . . , k.
Ví dụ 1.4.2. Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức ba
biến x, y, z trên một trường k. Khi đó x, y, z là R-dãy vì R = (x, y, z)R,
và ta có

(0 :R x) = 0, (0 :R/xR y) = 0, (0 :R/(x,y)R z) = 0.
Định nghĩa 1.4.3. Một M -dãy (x1 , . . . , xk ) các phần tử trong I được gọi
là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho

(x1 , . . . , xk , y) là M -dãy.
Mệnh đề 1.4.4. Giả sử M = IM. Khi đó mỗi M -dãy trong I đều mở
rộng được thành M -dãy tối đại trong I và hai M -dãy tối đại trong I có
chung độ dài.
Định nghĩa 1.4.5. Độ dài của một M -dãy chính quy tối đại trong I được
gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ). Độ sâu của
12


M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi là độ sâu
của M.
Ta luôn có bất đẳng thức depth M ≤ dim M. Từ đó, ta có định
nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau
Định nghĩa 1.4.6. M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M = 0
và depth M = dim M. Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó
thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay.
Một trong những ví dụ quan trọng về vành Cohen-Macaulay là vành

K[[x1 , . . . , xn ]] các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K.
Vành này có chiều và độ sâu đều là n vì ta có dãy chính quy x1 , . . . , xn
của R = K[[x1 , . . . , xn ]]. Sau đây là một số tính chất của môđun CohenMacaulay.
Mệnh đề 1.4.7. Các khẳng định sau đây là đúng.
(i) Giả sử M là Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/ p = dim M với mọi
p ∈ AssR M.
(ii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là

M -dãy.
Mệnh đề 1.4.8. Các điều kiện sau là tương đương.
(i) M là môđun Cohen-Macaulay.
(ii) M là Cohen-Macaulay.
(iii) M/xM là Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính quy x ∈ m.
(iv) Hmi (M ) = 0 với mọi i = 0, . . . , d − 1.

13


Giả sử e(x, M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ).
Ta luôn có e(x, M ) ≤

R (M/xM ).

Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x là

M -dãy. Từ đó ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.4.9. M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

e(x, M ) =

R (M/xM )

với mọi hệ tham số x.
Định nghĩa 1.4.10. Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng nếu:

supx ( R (M/xM ) − e(x, M )) < ∞,
trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của M.
Định nghĩa 1.4.11. Vành R gọi là vành Cohen-Macaulay suy rộng nếu

R-môđun R là Cohen-Macaulay suy rộng.
Sau đây là một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Định lý 1.4.12. Các phát biểu sau đây là tương đương:
(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii)

i
R (Hm (M ))

< ∞, với mọi i < d.

(iii) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

1.5. Kiểu đa thức
Khái niệm kiểu đa thức được giới thiệu bởi N.T. Cường trong [6].
Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M và n = (n1 , . . . , nd ) là một
bộ gồm d số nguyên dương. Xét hiệu số

IM,x (n) =

n1
nd
R (M/(x1 , . . . , xd )M )
14

− e(xn1 1 , . . . , xnd d ; M )


trong đó e(x, M ) là bội của M ứng với hệ tham số x. Nhìn chung, IM,x (n)
xét như một hàm số với các biến n1 , . . . , nd không là đa thức với n1 , . . . , nd
đủ lớn nhưng nó luôn nhận giá trị không âm và bị chặn trên bởi các đa
thức.
Định nghĩa 1.5.1. Bậc bé nhất của tất cả các đa thức theo biến n chặn
trên hàm số IM,x (n) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x. Bất
biến này được gọi là kiểu đa thức của M và được kí hiệu là p(M ).
Kiểu đa thức của một môđun có thể cho ta biết nhiều thông tin về
cấu trúc của môđun đó. Chẳng hạn, nếu quy ước bậc của đa thức 0 là

−1 thì rõ ràng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M
là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Kiểu đa thức của
một môđun có thể coi là một độ đo tốt để xem môđun đó gần với tính
Cohen-Macaulay như thế nào. Sau đây là một số tính chất cơ bản của kiểu
đa thức p(M ).
Mệnh đề 1.5.2. Các khẳng định sau là đúng.
(i) p(M ) ≤ d − 1.
(ii) Nếu kí hiệu M là đầy đủ m-adic của M thì p(M ) = pR (M ).
Đặt ai (M ) = Ann Hmi (M ) với 0 ≤ i ≤ d − 1. Ta cũng đặt
a(M ) = a0 (M ) . . . ad−1 (M ).
Kí hiệu nCM(M ) = {p ∈ Supp(M ) | Mp không Cohen-Macaulay}. Chú
ý rằng M được gọi là đẳng chiều nếu dim R/ p = dim M với mọi iđêan
nguyên tố tối tiểu p của M . Định lý sau cho ta thấy ý nghĩa của kiểu đa
thức. Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu
15


R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu
hạn môđun nội xạ khác 0.
Định lý 1.5.3. (xem [6, Định lý 4.2]) Giả sử R là thương của một vành
Gorenstein địa phương. Khi đó
(i) p(M ) = dim R/a(M ).
(ii) Nếu M là đẳng chiều thì p(M ) = dim(nCM(M )).

16


Chương 2

Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan
tham số của môđun hữu hạn sinh
Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là một vành Noether
địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L là R-môđun không
nhất thiết hữu hạn sinh. Mục tiêu của chương này là trình bày kết quả
chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh M
khi kiểu đa thức p(M ) ≤ 1 trong bài báo gần đây của P. H. Quý [16].

2.1. Chỉ số khả quy của iđêan tham số trong một môđun Noether
Chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số cho các lớp
môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như D.G. Northcott, S. Goto,
N.T. Cường, P. H. Quý... Trong tiết này chúng ta nhắc lại khái niệm chỉ
số khả quy và trình bày một số kết quả đã biết về chặn đều chỉ số khả quy
cho iđêan tham số.
Định nghĩa 2.1.1. R-môđun con L của M được gọi là môđun con bất khả
quy nếu mỗi cách viết L = L1 ∩ L2 , trong đó L1 , L2 là các R-môđun con
của M đều kéo theo L = L1 hoặc L = L2 .

17


Năm 1921, E. Noether đã chứng minh kết quả về số thành phần bất
khả quy xuất hiện trong phân tích thành giao không thừa các iđêan bất
khả quy của vành Noether. Kết quả này dễ dàng mở rộng cho môđun.
Định lý 2.1.2. Mỗi R-môđun con L của M đều viết được thành giao hữu
hạn không thừa các môđun con bất khả quy của M. Số thành phần bất khả
quy xuất hiện trong mỗi phân tích bất khả quy không thừa là không đổi,
tức là chỉ phụ thuộc vào L, không phụ thuộc vào phân tích.
Định nghĩa 2.1.3. Số môđun con bất khả quy của M xuất hiện trong
một phân tích bất khả quy không thừa của L được gọi là chỉ số khả quy
của L trong M và được kí hiệu là irM (L). Nếu q là iđêan tham số của M
thì irM (q M ) được gọi là chỉ số khả quy của q trong M.
Nhận xét 2.1.4. Với mỗi R-môđun L, ta kí hiệu Soc(L) là tổng tất cả
các môđun con đơn của L. Vì R là vành địa phương và mỗi môđun đơn
đều đẳng cấu với trường thặng dư k = R/m nên dễ dàng chứng minh được
Soc(L) = (0 :L m) ∼
= Hom(R/m, L). Vì thế, Soc(L) là một k -không gian
véctơ hữu hạn chiều.
Tiếp theo ta xây dựng công thức tính irM (L) khi

R (M/L)

< ∞.

Bổ đề 2.1.5. Cho M là R-môđun có độ dài hữu hạn và N là môđun con
của M. Khi đó N ∩ Soc(M ) = 0 nếu và chỉ nếu N = 0.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần.
Giả sử tồn tại 0M = x ∈ N. Do

R (M )

< ∞ nên M là môđun Artin. Do

đó dãy giảm sau sẽ dừng
mx ⊇ m2 x ⊇ m3 x ⊇ . . .
Suy ra tồn tại số tự nhiên n sao cho mn x = mn+1 x. Theo Bổ đề Nakayama
ta có mn x = 0. Gọi n là số nhỏ nhất thỏa mãn mn x = 0 và mn−1 x = 0.
18


Khi đó, m(mn−1 x) = 0, suy ra mn−1 x ⊆ Soc(M ). Do đó

0 = mn−1 x ⊆ N ∩ Soc(M ) = 0.
Điều này vô lý. Do vậy N = 0.
Bổ đề 2.1.6. Cho N1 , N2 , . . . , Ns là các môđun con của R-môđun M có độ
dài hữu hạn. Đặt Hi = Ni ∩Soc(M ), i = 1, s. Khi đó H1 ∩H2 ∩. . .∩Hs = 0
nếu và chỉ nếu N1 ∩ N2 ∩ . . . ∩ Ns = 0.
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.5 cho môđun con N = N1 ∩ N2 ∩ . . . ∩ Ns ,
ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.7. Giả sử L là môđun con của M sao cho (M/L) < ∞. Khi
đó chỉ số khả quy của môđun con L trong M được cho bởi công thức

irM (L) = dimk Hom(k; M/L) = dimk Soc(M/L).
Chứng minh. Do irM (L) = irR (0M/L ; M/L) nên ta chỉ cần chứng minh

irM (0) = dimk Soc(M ) trong trường hợp (M ) < ∞.
Giả sử dimk Soc(M ) = n và {e1 , . . . , en } là một cơ sở của Soc(M ).
Gọi Ni là môđun con tối đại của M không chứa ei với i = 1, . . . , n. Đặt

Hi = Ni ∩ Soc(M ). Khi đó Hi ⊂ Ni và Ni là môđun con bất khả quy
của M. Thật vậy, nếu tồn tại các môđun con U, V của M chứa thực sự

Ni và U ∩ V = Ni thì do Ni là môđun con tối đại không chứa ei nên
ei ∈ U, V. Suy ra ei ∈ U ∩ V = Ni , điều này là vô lý. Mặt khác, ta có
H1 ∩ . . . ∩ Hn = 0M . Từ Hi = Ni ∩ Soc(M ), Theo Bổ đề 2.1.6 ta suy ra
N1 ∩ . . . ∩ Nn = 0M là một phân tích bất khả quy không thừa của 0M .
Vậy irM (0) = dimk Soc(M ).
Hệ quả 2.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và q là iđêan tham số
của M. Khi đó chỉ số khả quy của q trong M được cho bởi công thức

irM (q M ) = dimk Hom(k; M/ q M ) = dimk Soc(M/ q M ).
19


Trong trường hợp vành R không địa phương và độ dài của M/L
không nhất thiết hữu hạn, chỉ số khả quy irM (L) được tính theo công
thức sau.
Mệnh đề 2.1.9. [8, Bổ đề 2.3] Với mỗi p ∈ Spec(R), kí hiệu k(p) =

Rp / p Rp . Khi đó ta có
irM (L) =

dimk(p) Soc(M/L)p .
p∈AssR (M/L)

Sau đây là một số kết quả đã biết về chặn đều cho chỉ số khả quy của
iđêan tham số. Trước hết là kết quả của D. G. Northcott [15] khẳng định
rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay, tức là p(M ) = −1, thì irM (q M )
là một bất biến của M. Bất biến này được gọi là kiểu Cohen-Macaulay của

M. Trong [11], S. Endo và M. Narita đã đưa ra phản ví dụ chứng tỏ chiều
ngược lại của kết quả này nhìn chung không đúng. Trong trường hợp M
là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, S. Goto và N. Suzuki [13] đã chứng
minh được irM (q M ) có chặn trên cho bởi công thức sau.
Định lý 2.1.10. Giả sử M là Cohen-Macaulay suy rộng, tức là p(M ) ≤ 0.
Khi đó
d−1

irM (q M ) ≤
j=0

d
j

j
R (Hm (M ))

+ dimk Soc Hmd (M )

với mọi iđêan tham số q của M. Ngoài ra, tồn tại số nguyên n ≥ 0 sao
cho

d

irM (q M ) =
j=0

d
dimk Soc Hmj (M )
j

với mọi iđêan tham số q chứa trong mn .

20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×