Tải bản đầy đủ

Tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------------------

NGUYỄN THỊ HÀ

TÍNH DUY NHẤT
CỦA HÀM m

- ĐIỀU HÒA DƯỚI

TRONG CÁC LỚP CEGRELL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2019

1


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------------

NGUYỄN THỊ HÀ

TÍNH DUY NHẤT
CỦA HÀM m

- ĐIỀU HÒA DƯỚI

TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019
2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả

Nguyễn Thị Hà

Xác nhận của

Xác nhận của


Khoa chuyên môn

Người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Nguyên An

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2019
Tác giả

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2

3. Phương pháp nghiên cứu

2

4. Bố cục luận văn

2

Chương 1. CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM

m-

ĐIỀU HÒA
4

DƯỚI
1.1. Hàm điều hòa dưới

4

1.2. Hàm m - điều hòa dưới và toán tử Hessian phức

5

1.3. Các lớp Cegrell đối với các hàm m - điều hòa dưới

9

Chương 2. TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI
TRONG CÁC LỚP CEGRELL

14

2.1. Tính chất của toán tử Hessian phức

14

2.2. Tích phân từng phần
2.3. Nguyên

18

lý so sánh trong các lớp Emp (W)

2.4. Tính duy nhất của hàm

m-

điều hòa dưới trong các lớp Cegrell

2.5. Một vài áp dụng

KẾT LUẬN

22
28
34
37
38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho W là một miền trong C n , u là một hàm điều hòa dưới xác định
trên W, u ¹ ¥ và m là số nguyên: 1 £ m £ n . Ta nói rằng u là một hàm

ˆ , thì bất đẳng thức
m - điều hòa dưới nếu với mỗi h1,..., hm - 1 trong G
m
dd cu Ù h1 Ù ...hm - 1 Ù wn - m ³ 0
xảy ra theo nghĩa dòng, trong đó

ˆ = h Î C : h Ù wn - m ³ 0,..., hm Ù wn - m ,
G
m
(1,1)

{

}

w = dd c | z |2 là dạng Kahler trong C n và C (1,1) là không gian các

(1,1) - dạng với hệ số hằng.

Lớp các hàm m - điều hòa dưới được S.Y. Li giới thiệu lần đầu tiên
vào năm 2004 ([10]). Sau đó, năm 2005, Z. Blocki ([2]) đã nghiên cứu miền
xác định của toán tử Hessian (dd cu )m Ù wn - m . Blocki đã chứng minh sự tồn
tại của nghiệm liên tục của bài toán Dirchlet thuần nhất trong hình cầu đơn vị
của C n . Gần đây, L.H. Chinh ([6]) dựa theo các lớp Cegrell đã mở rộng các
lớp năng lượng hữu hạn cho các hàm m - điều hòa dưới.
Mục đích của luận văn này là chứng minh các điều kiện đủ cho tính
duy nhất của hàm m - điều hòa dưới. Vì hai hàm đa điều hòa dưới có thể
bằng nhau trên một tập mở của một miền mà không nhất thiết trùng nhau
(chẳng hạn u º 0 và v(z ) = max(log | z |, 0) ), nên một cách tự nhiên có thể
đặt thêm các giả thiết trên các độ đo Hessian của u, v để đảm bảo rằng u º v
trên toàn bộ W. Kết quả đầu tiên theo hướng này là Định lý của Bloom và
Levenbeng về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực
đại. Định lý này cũng tìm thấy áp dụng trong một số bài toán về thuyết đa thế
vị có trọng (xem [3]). Các kết quả tiếp theo, chúng ta chú ý đến

iv


Định lý 0.1. ([4]) Giả sử K Ì C n là một tập compact và lồi đa thức. W là
một miền bị chặn chứa K . u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trong

W, thỏa mãn u £ v trên W. u = v trên một lân cận liên thông của ¶ W , v
liên tục và thỏa mãn (dd cv )n = 0 trên W\ K . Khi đó u = v trên W\ K .
Định lý 0.2. ([7]) Giả sử W là một miền siêu lồi bị chặn trong C n . K Ì W là
một tập lồi chỉnh hình compact của W. u 1, u 2 là các hàm đa điều hòa dưới âm
sao cho các điều kiện sau xảy ra:

a ) lim u1(z ) = lim u 2(z ) = 0;
z® ¶W

z® ¶W

b) (dd cu1)n £ (dd cu 2 )n trên W\ K và ò (dd cu 2 )n < ¥ ;
K

c) u1 < u 2 trên W\ K ;
d)

ò (dd u )
c

n

1

K

£

ò (dd u )
c

n

2

K

Khi đó u 1 = u 2 trên W\ K .
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày việc tổng quát hóa hai kết
quả trên đối với lớp các hàm m - điều hòa dưới. Do đó chúng tôi chọn đề tài:
“Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell”.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm
m - điều hoà dưới và tính duy nhất của hàm m - điều hoà dưới trong các lớp

Cegrell.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 38 trang, được viết dựa trên các tài liệu [1], [6] và [8],

v


trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan một số kết quả về các tính chất của hàm điều
hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian. Một số kết quả về các
lớp Cegrell của hàm m - điều hoà dưới
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về tính
duy nhất của hàm m - điều hoà dưới trong các lớp Cegrell và áp dụng.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

vi


CHƯƠNG 1
CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m

-

ĐIỀU HÒA DƯỚI

1.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử W là tập mở trong £ . Hàm u : W®

é- ¥ , + ¥
êë

)

gọi là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao
cho với mọi 0 £ r £ d ta có
u ( w) £

1
2p

ò

2p

u ( w + re it )dt .

0

Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) .
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Wlà tập mở trong £ , u, v Î SH (W) . Khi đó:
(i ) m ax(u, v ) là hàm điều hòa dưới trên W.
(ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu
u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) .

Định lý 1.1.3 Giả sử Wlà miền bị chặn trong £ , u Î SH (W) . Khi đó:
(i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên W thì u là hằng số trên W.
(ii ) Nếu lim sup u (z ) £ 0 " V Î ¶ W thì u £ 0 trên W.
z® V

Định lý 1.1.4. Giả sử W là tập mở trong £ và u là hàm nửa liên tục trên
trên W. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
(i ) u là hàm điều hòa dưới trên W.

(ii ) Với mọi w Î W, tồn tại d > 0 sao cho D ( w, d > 0) Ì W và với mọi
0 £ r < d, 0 £ t < 2p ta có

u ( w + re it ) £

1
2p

ò

2p

0

d2 - r 2
u ( w + de i q )d q.
2
2
d - 2drcos(q - t ) + r

vii


{

}

trong đó D( w, d > 0) = z Î W: z - w £ d là đĩa đóng tâm w bán kính d.
(iii ) Với mọi miền D compact tương đối trong

W và h là hàm điều hòa trên

trên D, liên tục trên D thỏa mãn

lim sup(u - h )(z ) £ 0 ( V Î ¶ D )
z® V

ta có u £ h trên D.
Định lý 1.1.5. Giả sử {un } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở

Wtrên £ và u = lim un . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W.
n® ¥

1.2. Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian phức
Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong £ n và W là một miền
m - siêu lồi bị chặn trong £ n , tức là tồn tại một hàm m - điều hòa dưới liên

tục f : W® ¡

-

sao cho {f < c} Ð W,  với mỗi c < 0 .

Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a trong £ n với các ma trận Hermitian [ a jk ]
bởi a =

i
p

å

a jk dz j Ù dz k . Khi đó dạng K¨ahler chính tắc b   được kết

j ,k

hợp với ma trận đồng nhất I . Ta có

( )a
n
k

k

Ù b n - k = S±k (A )b n .

Định nghĩa 1.2.1. C ho a là (1,1) - dạng thực trên W . Ta nói rằng a là m dương tại một điểm cho trước P Î W nếu tại điểm này ta có:
a j  Ù b n - j   ³ 0,  " j  = 1,..., k .
a gọi là m - dương nếu nó là m - dương tại mọi điểm thuộc W.

Cho T là một dòng song bậc (n - k, n - k )(k £ m ) . Khi đó T
được gọi là m - dương nếu a 1 Ù .... Ù a k ÙT ³ 0 , với mọi (1,1) - dạng
m - dương a 1 , ..., a k .

Định nghĩa 1.2.2. Hàm u : W® ¡ È {- ¥

viii

}

được gọi là m - điều hòa


dưới nếu nó là hàm điều hòa dưới và ddcu Ù a 1.... Ù a m - 1 Ù b n - m ³ 0,
với mỗi (1,1) - dạng m - dương a 1,..., a m - 1 .
Ký hiệu SH m (W) là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới trên W, SH m- (W)
là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới âm trên W . Các hàm m - điều hòa
dưới có các tính chất cơ bản sau đây:
Mệnh đề 1.2.3. ([3]) Cho W là tập mở trong C n . Khi đó ta có:

a ) PSH (W) = SH n (W) Ì SH n - 1(W) Ì ... Ì SH 1(W) = SH (W)
b) Nếu u là là hàm C 2 - trơn thì nó là m - điều hòa dưới khi và chỉ khi

ˆ theo từng điểm.
dạng dd cu thuộc G
m
c) Nếu u , v Î SH m (W) và a , b > 0 thì a u + b v Î SH m (W) .
d ) Nếu u , v Î SH m (W) thì max(u, v ) Î SH m (W) .
e) Cho {u a }

aÎ A

là họ các hàm m - điều hòa dưới trên W, bị chặn đều địa

phương. Khi đó (sup a Î A u a )* Î SH m (W) . Ở đây u * là chính qui hóa trên của
u , tức là u *(z ) = lim u ( x) .
x® z

¥

{ }

f ) Nếu u j

j=1

là dãy giảm các hàm m - điều hòa dưới thì u = lim j ® + ¥ u j

cũng là hàm m - điều hòa dưới.

g ) Cho p ³ 0 là hàm bán kính trơn trong C n , triệt tiêu bên ngoài hình cầu
đơn vị và thỏa mãn
Với

ò

C

n

pdV n = 1 trong đó dV n là độ đo Lebesgue của C n .

u Î SH m (W) , đặt

u e (z ) = (u * r e )(z ) =

ò

u (z - x)r edV n ( x), " z Î We ,

B (0, e )

trong đó r e (z ) =

1
r (z / e) và We = z Î W: d (z , ¶ W) > e .
e 2n

{

ix

}


Khi đó u e Î SH m (We ) Ç C ¥ (We ) và u e ¯ u khi e ¯ 0.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử u1,..., u p Î SH m (W) Ç L¥loc (W). Khi đó toán tử
Hessian phức H m (u1,..., u p ) được định nghĩa bằng qui nạp bởi

(

)

dd cu p Ù ... Ù dd cu1 Ù wn - m = dd c u pdd cu p - 1 Ù ... Ù dd cu1 Ù wn - m .
Nói riêng, nếu u Î SH m (W) Ç L¥loc (W) thì độ đo Borel (dd cu )m Ù wn - m được
xác định tốt và gọi là m - Hessian phức của u.
Đối với các hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u1,¼ , u p  ( p £ m ) ta
có thể định nghĩa bằng quy nạp m -dòng dương đóng.
Bổ đề 1.2.5. Cho u 1, ¼ , u k  (k £ m ) là hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa
phương trong W và T là m - dòng dương đóng song bậc (n - p, n - p)
( p ³ k ) . Khi đó ta có thể định nghĩa bằng qui nạp m -dòng dương đóng

dd cu1 Ùdd cu2 Ù¼ Ùdd cuk ÙT ,
và tích đối xứng, nghĩa là

dd cu1 Ù dd cu2 Ù¼ Ù dd cu p ÙT = dd cu s (1) Ùdd cu s (2) Ù¼ Ùdd cu s ( p) ÙT
đối với mỗi hoán vị  s : {1, ¼ , k } ® {1, ¼ , k }.
Nói riêng, độ đo Hessian của j Î SH m (W) Ç L¥loc được xác định bởi

Hm (u ) = (dd cu1)m b n - m .
Mệnh đề 1.2.6. Cho T là m - dòng dương đóng song bậc (n - 1, n - 1) trên

W. u, v là các hàm m - điều hòa dưới bị chặn trong W sao cho u, v  £ 0 và
lim u(z ) = 0.

z® ¶W

Khi đó

ò

vdd cu ÙT £
W

x

ò

udd cv ÙT .
W


Hơn nữa nếu lim v(z ) = 0, thì ta có đẳng thức
z® ¶W

ò

vdd cu ÙT =
W

ò

dd cv ÙT .
W

Định lý 1.2.7. Cho (u 0j ), ¼ ,(ukj ) là dãy giảm các hàm m - điều hòa dưới
trong W hội tụ đến u 0,¼ , uk Î SH m (W) Ç L¥loc tương ứng. T là m - dòng
dương đóng song bậc (n - p, n - p)( p ³ k ) trên W. Khi đó

u 0j .dd cu1j Ù¼ Ùdd cukj ÙT ® u 0.dd cu1 Ù¼ Ùdd cuk ÙT
yếu theo nghĩa dòng.
¥

{ }

Định lý 1.2.8. Cho dãy u kj

bị chặn đều địa phương các hàm m - điều

j=1

hòa dưới trong W đối với k = 1, 2,¼ , N  £ m và ukj Z   uk   Î SH m (W) Ç L¥loc
hầu khắp nơi khi j ® ¥ với k = 1, 2, ¼ , N . Khi đó

dd cu1j Ù¼ Ùdd cuNj  Ùb n - m ® dd cu1 Ù¼ Ùdd cuN Ù b  n - m .
Hệ quả 1.2.9. Cho u j là một dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm
m - điều hòa dưới trong W hội tụ hầu khắp nơi tới u  Î SH m (W) Ç L¥loc và fi

là dãy đơn điệu bị chặn địa phương của m - hàm nửa liên tục hội tụ hầu
khắp nơi tới hàm f nửa liên tục bị chặn địa phương. Khi đó

fi (dd cu1j )m Ù b  n - m ® f (dd cu )m Ù b  n - m .
Hệ quả 1.2.10. (Nguyên lý so sánh). Giả sử u, v   Î SH m (W) Ç L¥loc sao cho

lim (u (z ) - v(z )) ³ 0. Khi đó

z ® ¶ W 

ò{

(dd cv )m Ù b n - m £

u < v}

ò{

(dd cu )m Ù b  n - m .

u < v}

Hệ quả 1.2.11. Cho Wlà miền bị chặn trong C n và u, v   Î SH m (W) Ç L¥loc sao
cho u £ v trên ¶W và H m (u ) ³ H m (v ) . Khi đó u £ v trong W.

xi


1.3. Các lớp Cegrell đối với hàm m - điều hòa dưới
Định nghĩa 1.3.1. Một miền W bị chặn trong C n được gọi là m - siêu lồi nếu
tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là

{r < c} Ð W với mọi c < 0 .
Từ bây giờ, nếu không có phát biểu khác, ta hiểu W là miền m - siêu lồi bị
chặn trong C n .
Định nghĩa 1.3.2.

{

Em0 (W) = j Î SH m- (W) Ç L¥loc (W) : lim j (z ) = 0 &ò H m (j ) < + ¥
z® ¶W

W

}.

Emp (W) = {j Î SH m (W) : $ (j j )  Î Em0 (W), j j ] j trên W và

}

sup j ò (- j j ) p H m (j j ) <  + ¥ , p > 0 .
W

Ngoài ra, nếu

ò

H m (j j ) <  + ¥

W

thì theo định nghĩa j Î Fmp (W).

Định nghĩa 1.3.3.

{

Em (W) = j  Î SH m- (W) : với mỗi z 0 Î  W đều $ lân cận U Ì  W của z 0 và

}.
) <  + ¥ }.

$ (j j ) Î Em0 (W) , j j ] j trong U và sup j ò H m (j j ) <  + ¥
W

{

F m (W) = j  Î SH m- (W) : $ (j j ) Î Em0 (W), j

j

] j & sup j ò H m (j
W

j

Định lý 1.3.4. Lớp Em (W) là lớp con lớn nhất của SH m- (W) thỏa mãn:
i ) Nếu  u  Î  Em (W) ,  v Î SH m- (W) thì max(u, v ) Î Em (W) .

ii ) Nếu  u  Î  Em (W) ,  j j  Î S H m- (W) Ç L¥loc , u j ¯ u,  khi đó H m (u j ) hội tụ yếu.

Chứng minh. Dễ kiểm tra Em (W) thỏa mãn điều kiện i ) .
Giả sử  u  Î  Em (W) ,  u j  Î SH m- (W) Ç L¥loc , u j ¯ u. Cố định hàm kiểm tra

c với giá compact K Ð W và h   Î  Em0 (W) . Với mỗi j ta lấy n j sao cho

xii


u j ³ n j .h trong một lân cận của K . Đặt j



= max(u j , n j .h ) Î  Em0 (W) , ta

thấy j j ¯ u Î Em (W) , và H m (j j ) là hội tụ yếu đến H m (u ) theo định nghĩa
của Em (W). Chú ý u j = j

gần K , kéo theo

j

ò

c H m (u j ) ®

W

ò

c H m (u ) .

W

Bây giờ, giả sử K Ì SHm- (W) thử lại (i) và (ii). Lấy u Î K . Ta cần chứng
minh  u  Î  Em (W) . Lấy dãy u j Î  Em0 (W) Ç C (W) sao cho u j ¯ u trên W. Điều
này có thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục. Xét
tập compact tương đối B Ð   W và với mỗi j đặt

{

}

h j = sup  v Î SH m- (W) / v £ u j   trên   B   .

Khi đó,  h j  Î Em0 (W) và suppH m (h j ) Ì B với " j . Hơn nữa h j ¯ u trên B và

sup ò H m (h j ) = sup ò H m (h j ) < + ¥
W

j

j

B

vì H m (h j ) hội tụ yếu theo (ii)

W.

Định nghĩa 1.3.5. p - năng lượng ( p > 0) của  j  Î Em0 (W) được xác định bởi

ò

e p (j )  =

 (- j ) p H m (j ) .

W

Bổ đề 1.3.6. Giả sử  u, v1,¼ , vm Î Em0 (W) và   p ³ 1 . Khi đó ta có
 ò (- u ) dd v1 Ù¼ Ù dd vm Ù b
p

c

c

n- m

W

£  D j ,p (e p (u ) )

p
m+ p

e p (v1 )

ở đó Dj ,1 = 1 và với mỗi p > 1 , ta có D j ,1 = p

1
m+ p

¼ e p (vm )

pa ( p,m )/ (p - 1)

, ở đó

a ( p, m ) = (p + 2)(( p + 1) / p)m - 2 - p - 1 .
Chứng minh. Với u, v1,¼ , vm Î Em0 (W) , đặt
F (u, v1, ¼ , vm ) =

ò

(- u )p dd cv1 Ù¼ Ù dd cvm Ù b n - m .

W

Theo Định lý 4.1 [11] chỉ cần chứng minh

xiii

1
m+ p

(1.1),


F (u, v1, ¼ , vm - 1 ) £ a( p)F (u, v1, ¼ , vm )
trong đó a( p) = 1  nếu p = 1  và a( p) = p

p
p- 1

p
p+ 1

F (u, v1, ¼ , vm )

1
p+ 1

(1.2)

  nếu p > 1.

Đặt T = dd cv1 Ù¼ Ùdd cvm - 1 Ù b n - m .  Khi p = 1 , (1.2) trở thành

ò

1
2

1
2

(- u )dd v ÙT £ ( ò (- u )dd u ÙT ) ( ò (- v )dd v ÙT ) ,
c

c

W

c

W

W

đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong trường hợp p > 1 , lặp lại phép
chứng minh của Mệnh đề 1.2.6, ta nhận được

ò

(- u ) p dd cv ÙT £ p ò (- u ) p - 1(- v )dd cu ÙT .

W

W

Theo bất đẳng thức Holder ta nhận được
 ò (- u ) dd v ÙT £ p( ò (- u ) dd u ÙT )
p

c

p

W

c

p- 1
p

W

1
p

( ò (- v ) dd u ÙT ) . (1.3)
p

c

W

Bằng cách thay đổi u và v ta được
1
p

 ò (- v ) dd u ÙT £ p( ò (- u ) dd v ÙT ) ( ò (- v ) dd v ÙT )
p

c

p

W

c

W

p

c

p- 1
p

. (1.4)

W

Kết hợp (1.3) và (1.4) ta có điều phải chứng minh.

W

Bổ đề 1.3.7. Cho  u, v  Î Em0 (W) và 0 < p < 1. Nếu T là m - dòng dương đóng
có dạng T = dd cv1 Ù¼ Ùdd cvm - k Ù b n - m , ở đó u j Î SH m (W) Ç L¥loc , thì

ò

(- u )p (dd cv )k ÙT £ 2ò (- u ) p (dd cu )k ÙT + 2ò (- v ) p (dd cv )k ÙT .

W

W

Chứng minh. Đặt c (t ) = - (- t ) p : ¡

W

-

® ¡

-

và chú ý rằng

c ¢(2t ) £ c ¢(t ), " t < 0 .

Khi đó
0

ò

(- c ) o u (dd v ) ÙT =
c

W

k

ò c ¢(t )(dd v )
c

- ¥

xiv

k

ÙT (u < t )dt


0

£ 2 ò c ¢(t )(dd cv )k ÙT (u < 2t )dt .
- ¥

Vì (u < 2t ) Ì (u < v + t ) È (v < t ), nên ta được
0

  ò (- c ) o u (dd v ) ÙT £ 2 ò c ¢(t )(dd cv )k ÙT (u < v + 2t )dt +
c

k

W

- ¥

+ 2ò (- c ) o v(dd cv )k ÙT .
W

Theo nguyên lý so sánh ta nhận được
(dd cv )k ÙT (u < v + t ) £ (dd cu )k ÙT (u < v + t ).

Từ đó và chú ý (u < v + t ) Ì (v < t ) suy ra điều phải chứng minh.

W

Mệnh đề 1.3.8. Giả sử 0 < p < 1 . Khi đó tồn tại C p > 0 sao cho


ò

(- j 0 )p ÙT dd cj 1 Ù ¼ Ù dd cj

W

với mọi 0 ³ j 0,¼ , j

m

Ù b n - m £ C p . max e p (j j ),
0£ j £ m

Î Em0 (W) .

m

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 1.3.7 với u = j 0, v = j 1  và

T
  = dd cj 2 Ù¼ Ùdd cj

m

Ù b n - m ta có đánh giá sau đây

 ò (- j 0 )p dd cj 1 ÙT £ 2ò (- j 0 )p dd cj 0 ÙT  + 2ò (- 1)p dd cj 1 ÙT
W

W

(1.5)

W

m

Tiếp theo, ta giả sử j

0

= j 1 . Đặt u = e å j i , trong đó e > 0 khá bé.
i= 1

Chú ý rằng

(dd cu )m Ù b n - m ³ emdd cj 1 Ù¼ Ùdd cj

ò

Điều này là đủ để điều chỉnh

m

Ù bn- m .

(- j i )p H m (u ), 1 £ i £ m . Sử dụng Bổ đề

W

1.3.7 ta được

ò

(1.6)

p

(- j i ) H m (u ) £ 2ep (j i ) + 2ep (u ) ,

W

xv


trong đó e p (u ) =

p

ò (- u ) H
W

m

(u ) .

Do tính chất dưới cộng tính và tính thuần nhất của t ® t p , ta có
m

e p (u ) £ e

p

å ò
j=1

(- j j )p H m (u )

W

từ đó
m

2
 å ò (- j i ) H m (u ) £
W
1 - 2m e p
i= 1
p

m

å e (- j
p

i

).

(1.7)

i= 1

Từ (1.5), (1.6) và (1.7) ta nhận được
 ò (- j 0 )p dd cj 1 Ù ¼ Ù dd cj
W

m

Ù b n- m £

từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.

4m

max e (j
1£ i £ m c
em éê1 - 2m e p ù
ú
ë
û

i

),
W

xvi


CHƯƠNG 2

TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI
TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày việc tổng quát hóa Định lí 01
và Định lí 02 đối với lớp các hàm m - điều hòa dưới. Khó khăn ở đây là hạn
chế của hàm m - điều hòa dưới trên các đa tạp phức không nhất thiết phải là
điều hòa dưới trên đa tạp với số chiều thấp hơn. Để hoàn thành việc tổng quát
hóa, chúng tôi sử dụng nguyên lý so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới (Bổ
đề 2.4.5). Công cụ này cho phép làm yếu giả thiết đã cho trong Định lí 0.2 về
tính lồi chỉnh hình của K (xem Định lí 2.5.3) thành tính lồi phân hình. Tương
tự, chúng tôi chứng minh Định lý 2.5.4 và phát biểu tương tự Định lí 0.1 đối
với các hàm m - điều hòa dưới u, v trùng nhau trong một lân cận của W\ K
và compact K có thể giao nhau với biên ¶ W. Cuối chương là hai ứng dụng
của các định lý chính vào bài toán của miền hội tụ yếu đối với các dãy các
hàm m - điều hòa dưới.
2.1. Tính chất của toán tử Hessian phức
Trong phần này ta chứng minh toán tử Hessian phức H m (u ) được xác
định tốt với mọi u Î Em (W) U Emp (W) .
p> 0

Bổ đề 2.1.1. C 0¥ (W) Ì Em0 (W) Ç C (W) - Em0 (W) Ç C (W) .
Chứng minh. Cố định c  Î C
  0¥ (W) và 0 > y Î Em0 (W) . Chọn A > 0 đủ lớn sao
cho c + A | z |2 là hàm đa điều hòa dưới. Lấy a  , b Î R sao cho

a < inf c < supW(| c | + A | z |2 ) < b.
Xét j 1 = max(c + A | z |2 - b, B y ) và j 2 = max(A | z |2 - b, B y ) , ở đó B
đủ lớn sao cho B y < a - b trong suppc .

xvii


Dễ kiểm tra j 1, j 2 Î Em0 (W) và c = j 1 - j 2 . Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.2. Giả sử u p Î Em0 (W), p = 1,¼ , m và (gjp ) j Ì Em0 (W) sao cho

gjp ¯ u p , " p . Khi đó dãy các độ đo dd cg1j Ù dd cgj2 Ù¼ Ù dd cgmj Ù b n - m hội tụ
yếu đến độ đo Radon dương dd cu 1 Ù ¼ Ù dd cu m Ù b n - m , giới hạn yếu này
không phụ thuộc vào việc chọn dãy (g jp )
Chứng minh. Trước tiên, giả sử sup j ò H m (g jp ) < + ¥ . Khi đó với mỗi
W

h Î Em0 (W),

ò

hdd cg1j Ù dd cg j2 Ù¼ Ù dd cg mj Ù b n - m là dãy giảm. Hơn nữa

W

ò

hH m (g jp ) ³

W

(inf h )sup ò
W

H m (g jp ) > - ¥ .

W

Do đó

ò

hdd cg1j Ù dd cg j2 Ù¼ Ù dd cg mj Ù b n - m tồn tại với mọi h Î Em0 (W) .

W

Suy ra dd cg1j Ù dd cgj2 Ù¼ Ù dd cgmj Ù b n - m là dãy hội tụ yếu.
Bây giờ giả sử (v jp ) j là dãy khác cũng giảm tới u p , p = 1, ¼ m . Ta có
 ò hdd cv 1j Ù dd cv j2 Ù¼ Ù dd cv mj Ù b n - m =
W

 =
 ³

ò
ò

v 1jdd ch Ù dd cv j2 Ù ¼ Ù dd cv mj Ù b n - m

W

u 1dd ch Ù dd cv j2 Ù¼ Ù dd cv mj Ù b n - m

W

 = lim

s1 ® + ¥

 = lim

s1 ® + ¥

 ³

ò

ò

gs1 dd ch Ù dd cv j2 Ù ¼ Ù dd cv mj Ù b n - m

W

1

v j2dd ch Ù dd c gs1 Ù ¼ Ù dd cv mj Ù b n - m ³ . ..

W

1

lim lim ¼ lim

s1 ® + ¥ s 2 ® + ¥

 = lim

s® + ¥

ò

sm ® + ¥

ò

h jdd c gs1 Ù dd c gs2 Ù ¼ Ù dd c gsm Ù b n - m

W

1

2

hdd cgs1 Ù dd cgs2 Ù ¼ Ù dd cgsm Ù b n - m .

W

xviii

m


Từ điều này ta kết luận lim

j® + ¥

ò

hdd cv 1j Ù dd cv j2 Ù ¼ Ù dd cv mj Ù b n - m tồn tại

W

và giới hạn này không bé hơn lim

j® + ¥

ò

dd cg1j Ù dd cg j2 Ù ¼ Ù dd cg mj Ù b n - m .

W

Bằng cách hoán vị g jp  và v jp ta nhận được đẳng thức.
Vấn đề còn lại là bỏ đi giả thiết sup j ò H m (g jp ) < + ¥ . Không mất tính tổng
W

quát ta giả sử g jp  liên tục. Cho K là tập con compact của W. Phủ K bởi Wq ,

q = 1,¼ , N và cố định (h jpq ) j , p = 1, ¼ , m  ;q = 1, ¼ , N   là dãy hội tụ tới u p
trong W q như trong định nghĩa của Em (W).
N

Đặt wjp =

å

h jpq . Ta có thể xắp xếp lại dãy h jpq sao cho w jp £ gjp trên

UW

q

.

q

j=1

Dễ thấy w jp Î Em0 (W) và sup ò H m (w jp ) < + ¥ . Đặt v jp = max( gjp , w jp ) ,
W

j

ta được sup ò H m (v jp ) < + ¥ và v jp = gjp gần K .
j

W

W

Hệ quả 2.1.3. Giả sử u 1, ¼ , u m Î F m (W) và u1j ,¼ , umj Î Em0 (W) Ç C (W)
giảm tới u 1, ¼ , u m tương ứng sao cho
sup j , p ò H m (u jp ) < + ¥ .
W

Khi đó với mỗi j Î Em0 (W) Ç C (W) ta có
lim

j® + ¥

ò

j dd cu1j Ù ¼ Ù dd cu mj Ù b n - m =

W

ò

j dd cu 1 Ù ¼ Ù dd cu m Ù b n - m .

W

Chứng minh: Ta có

sup ò dd cu1j Ù¼ Ù dd cumj Ù b n - m < + ¥
j

(2.1).

W

Cố định e > 0 đủ bé và xét j

e

= max(j , e). Hàm j - j

compact trong W. Từ Định lý 2.1.2 suy ra

xix

e

là liên tục với giá


lim

j® + ¥

ò

(j - j e ) dd cu 1j Ù ¼ Ù dd cu mj Ù b n - m =

W

Chú ý rằng j

e

ò

(j - j e )dd cu 1 Ù ¼ Ù dd cu m Ù b n - m .

W

£ e. Sử dụng (2.1) ta được kết quả cần chứng minh.

W

Hệ quả 2.1.4. Giả sử (u j ) Ì Em0 (W) giảm tới u sao cho
sup j ò H m (u j ) < + ¥ .
W

Khi đó với mỗi h Î Em0 (W) ta có

hH m (u j ) ® hH m (u ).
Chứng minh. Với mỗi hàm test c , hàm hc là nửa liên tục trên. Như vậy,
lim inf ò (- h )c H m (u j ) ³

j® + ¥

W

ò

(- h )c H m (u ) . 

W

Cho Q là điểm tụ tuỳ ý của dãy (- h )H m (u j ) . Theo bất đẳng thức trên suy ra
Q ³ (- h )H m (u ) . Hơn nữa, từ Hệ quả 2.1.3 suy ra dãy

tới

ò (- h )H
W

m

ò

(- h )H m (u j ) tăng

W

(u ). Điều này kéo theo khối lượng toàn phần của Q bé hơn

hoặc bằng khối lượng toàn phần của (- h )H m (u ) do đó các độ đo này bằng
nhau.

W

Định lý 2.1.5. Cho u 1,¼ , u m Î Emp (W), p > 0 và (gij ) j Ì Em0 (W) sao cho

gij ¯ u j , " i = 1,..., m và supi , jep (gij ) < + ¥ . Khi đó dãy độ đo
dd cg1j Ù dd cgj2 Ù¼ Ù dd cgmj Ù b n - m hội tụ yếu đến một độ đo Radon dương
mà không phụ thuộc vào cách chọn dãy (gij ).
Khi đó ta định nghĩa dd cg1j Ù dd cgj2 Ù¼ Ù dd cgmj Ù b n - m là giới hạn yếu đó.
Chứng minh. Cố định h Î Em0 (W) . Khi đó
  ò hdd cg1j Ù dd cg j2 Ù ¼ Ù dd cg mj Ù b n - m
W

là giảm. Từ Bổ đề 1.3.6 và Mệnh đề 1.3.8 ta nhận được

xx


sup j ò (- h )dd cg1j Ù dd cg 2j Ù¼ Ù dd cg mj Ù b n - m < + ¥ .
W

Như vậy giới hạn lim j ò hdd cg1j Ù dd cg j2 Ù¼ Ù dd cg mj Ù b n - m

tồn tại với

W

mỗi h Î Em0 (W) . Điều này kéo theo sự hội tụ của dãy

dd cg1j Ù dd cgj2 Ù¼ Ù dd cgmj Ù b n - m
theo Bổ đề 2.1.1. Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của
Định lý 2.1.2.

W

2.2. Tích phân từng phần
Từ Định lý 2.1.2 và Hệ quả 2.1.3 ta chứng minh công thức tích phân từng
phần của hàm trong các lớp Emp (W), p > 0 và F m (W).
Định lý 2.2.1.Giả sử u, v, j 1,¼ j
Khi đó

ò

udd cv ÙT =
W

ò

vdd cu ÙT .
W

Chứng minh. Cho u j , v j , j 1j , ¼ j
u , v, j 1, ¼ j

m- 1

Î Fm và T = dd cj 1 Ù¼ Ù dd cj p Ù b n - m - 1.

p

j
m- 1

là các dãy trong Em0 (W) Ç C (W) giảm tới

tương ứng sao cho khối lượng toàn phần bị chặn đều:

sup j ò dd cu j ÙT j < + ¥ , sup j ò dd cv j ÙT j < + ¥ ,
W

W

trong đó T j = dd cj 1j Ù¼ Ù dd cj

j
m- 1

Ù b n- m .

Từ Định lý 2.1.2 suy ra dd cu j ÙT j ® dd cu ÙT j . Với mỗi  k Î ¥   cố định và

j > k tuỳ ý ta có

ò

vkdd cu k ÙT k ³

W

Khi đó dãy các số thực

ò

vkdd cu j ÙT j ³

W

ò

v jdd cu j ÙT j .

W

v jdd cu j ÙT giảm tới a Î R È {- ¥

W

Cho j ® + ¥ ta nhận được

ò

ò

ò

} nào đó.

vkdd cu ÙT ³ a, từ đó ta thu được

W

vdd cu ÙT ³ a . Với mỗi k cố định ta cũng có

W

xxi


ò

vdd cu ÙT £
W

ò

W

ò

W k

 £

Suy ra

ò vdd u ÙT

vkdd cu ÙT = lim

j® + ¥

ò

vkdd cu j ÙT j

W

v dd cu k ÙT k

= a, ta có điều phải chứng minh.

c

W

W

Ta có kết quả sau đối với các lớp Emp (W), p > 0 nhờ lập luận tương tự.
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử u, v Î Emp (W), p > 0 và T là m - dòng dương đóng có
dạng T = dd cj 1 Ù¼ Ùdd cj

ò

m- 1

Ù b n - m , trong đó j j Î Emp (W), " j . Khi đó

udd cv ÙT =
W

ò

vdd cu ÙT .
W

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.3

a ) Nếu u , v Î F m (W) và j Î SH m- (W) sao cho u £ v thì

ò j (dd u )
c

m

Ù wn - m £

W

ò j (dd v )
c

m

Ù wn - m

W

b) Nếu u Î F m (W) và {u j } Ì F m (W) sao cho u j ] u khi j Z ¥ thì
lim ò j dd cu j

(

j® ¥

m

)

Ù wn - m =

W

c
ò j dd u

(

m

)

Ù wn - m với j Î Em0 (W).

W

c) Nếu {u j } Ì F m (W) sao cho u j ] u khi j Z ¥ và
lim inf ò j dd cu j

(

j® ¥

m

)

Ù wn - m > - ¥ với j Î SH m- (W) nào đó, thì u Î Em (W).

W

Hơn nữa, nếu sup W j < 0 thì u Î F m (W) .
Chứng minh.
a) Trước tiên giả sử j Î Em0 (W) . Ta có
c
ò j dd u

(

W

m

)

Ù wn - m =

c
c
ò udd j Ù dd u

(

W

xxii

m- 1

)

Ù wn - m


£

c
c
ò vdd j Ù dd u

(

m- 1

)

Ù wn - m

W

=

c
c
ò j dd j Ù dd u

(

m- 1

)

Ù wn - m

W

=

c
c
c
ò udd j dd v Ù dd u

(

m- 2

)

Ù wn - m

W

£

2

m- 2

c
c
ò j dd v Ù dd u

(

) (

)

Ù wn - m

W

£ ... £

c
ò j dd v

(

m

)

Ù wn - m .

W

Giả sử u Î SH m- (W) . Theo định lý xấp xỉ của Cegrell (Định lý 2.1 trong [5])
đối với hàm m - điều hòa dưới ta có thể chọn một dãy {j

j



Em0 (W) sao cho

j j ] j khi j Z ¥ . Khi đó ta có
c
ò j dd u

(

m

)

Ù wn - m = lim ò j
j® ¥

W

m

(dd u )
c

j

Ù wn - m

W

£ limsup ò j
j® ¥

=

(

dd cv

j

m

)

Ù wn - m

W

c
ò j dd v

(

m

)

Ù wn - m .

W

b) Đặt v j = max(u j , - j ) . Dễ thấy rằng v j Î SH m- (W) Ç L¥ (W), u j £ v j và

v j ] u khi j Z ¥ . Theo Định lý 3.5 trong [6], ta có (dd cv j )m Ù wn - m hội tụ
yếu tới (dd cu )m Ù wn - m . Hơn nữa, vì j nửa liên tục trên, nên theo (a) ta có
c
ò j dd u

(

W

m

)

Ù wn - m £ lim inf ò j dd cu j

(

j® ¥

Ù wn - m

W

£ lim sup ò j dd cu j

(

j® ¥

m

)

W

xxiii

m

)

Ù wn - m


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×