Tải bản đầy đủ (.pdf) (136 trang)

Truyền và dẫn sóng quang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.59 MB, 136 trang )

ĐẠI HỌC QUỌC GIA HÀ NỘI
KHOA CÔNG NGHỆ

Bộ GIÁO TRÌNH

KHIHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUANG TỬ

TRIỊYÊN VÀ DẪN
SÓNG QUANG
Ngư(fi du-h

P H A M V À N T H IỀ U

DỊcịíị^Ịch tù nguyên bán tiêng Anh Quantum Eiectronics của AmnonYariv )

HÀ N Ô I - 2001


2.3

Các tần số cộng hưỏng

56

2.4

Tổn hao trong các buồng cộng hưởng quang học

59

2.5



Các buồng cộng hưởng quaug học không ổn định

62

Tài liệu th a m k h ả o

66

B ài tậ p

67

C hương 3. QUANG HỌC SÓNG ĐƯỢC DẪN v à s ự TRƯYỀN
SÓNG TRONG CÁC SỢ l QUANG HỌC
3.0

Mở đầu

70

3.1

Các mode của ống dẫn sóng

72

3.2

Các đặc trưng mode của ống dẫn sóng phẳng


74

3.3

Liên kết giữa các mode được dần

79

3.4

Ong dẫn sóng tuần hoàn - Các laser có hổi dưỡng phân bô

81

3.Õ

Các nghiệm mode liên kết

85

3.6 Laser có hồi dưỡng phâu bố

90

3.7 Biến điệu và liên kết mode trong các ống dẫn sóng điện môi nhò
hiệu ứng điện quang

1(X


3.8 Liên kết hướng - Các siêu mode

lOỈ

3.9 Các niode riêng của hệ ống dẫn sóng đưỢc liêu kết (siêu mode)

11(

3.10 Sự truyền sóng trong sỢi qiiang học

12:

Tài lỉệu th a m k h ả o

13 ;

Tài liệu th a m k h ả o b ổ s u n g

13;

Bài tậ p

13ị


CHƯƠNG 1

S ự TRUYỂN CÁC CHÙM QUANG HỌC TRONG CÁC
MÔI TRƯỜNG ĐỒNG TÍNH VÀ TựA THẤU KÍNH


1.0. MỞ ĐẨU
Trưốc hết chúng ta hãy xét sự truyền của tia sáng qua các môi trưòng quang
học khác nhau. Những môi trưòng này bao gồm các vật liệu đồng tinh và đẳng
hướng, các thấu kúih mỏiig, các lưõng chất điện môi, các gương cong và các
môi trưòng có chiết su ất hoặc hệ số tăng ích (khuếch đại) biến thiên như hàm
bậc hai. Vì theo địiiii nghĩa, các tia đều vuông góc vối m ặt sóng áiứi sáng, nên
việc hiểu rõ hành trạng của các tia giúp ta có thể theo dõi điíỢc sự tiến hoá
của các sóng quang học phức khi truyều qua các phần tử quang học khác
nhau. Chúng ta sẽ thấy rằng sự truyền tia (hoặc phản xạ nó) qua những phần
tử này có thể mô tả bởi các ma trận 2 x 2 đdn giản. Hđn thê Iiữa, những ma
trậ n đó CÒII mô tả đitợc sự tiến hoá của các chùm Gauss, chẳng hạn lứiií
lứiững chùm dặc trưng của output các laser và những chùm tồn tại bên trong
cac buồiig cộug hưởng quang học gương cầu. Nửa sau của chương này sẽ dành
để khảo sát chùm Gauss. Việc hiểu rõ hành trạng ciia các chùm Gauss và các
vân đề liên quan chặt chẽ với nó vể các buồng cộng hưỏng quang học có lẽ là
yêu cầu tiên quyết duy n h ất và quan trọng Iihât để làm việc trong lĩnh vực
điện tử học lượng tử
1.1. ỐNG

d Ẫn s ó n g t h ấ u k í n h

Xét tia bàiig trục' đi qua một thấu kính mỏng tiêu cự / như được núnh họa
trên Hình 1.1. Lấy trục đối xứng tn i là trục z và ký hiệu khoảng cách từ tia
đến trục là r và độ dốc dr/dz của nó là r’, ta có thể liên hệ tia đi ra (r^„ r'„,) vối
tia đi vào (r„, r ' j bằng các hệ thức sau

Tia bàng trục (paraxial) là tia mà độ lệch góc của nó đối với trục đối xứng { trục z)
là đủ nhỏ sao cho có thể xem 8Ìn và tang của góc đó xấp xỉ bằng góc ấy.



Phương trình đầu tiên trong (1.1-]) suy ra từ định nghĩa của thấu kíxih mỏng
và phương trình thứ hai có thể rú t ra tìí vệc xét tia đi qua quang tâm (líhôiig
bị lệch) có độ dốc bằng r'„ như được cho trên hliih vẽ.

Hinh 1.1 Sự truyền của tia sáng qua thấu kính mỏng
Bằng cách biểu diễn tia tại vị trí z bất kỳ của nó trên trục dưối dạng một ma
trận cột
r(z)
r'(z)
và dùng cac quy tác lủiân ma trậ n {xem TLTK fl-3]). ta có thể viết iại (1.1-1)
Iihư sau
ỉ 1

OỊ Í1

1 -1 //

I |r

ỏ đây / > 0 nếu th ấ u kíiứi là hội tụ và là àiTi nếvi th ấ u kíiih là phâu kỳ.

Ma trận tia đối với một sô Phần tử quang học được cho trong Bảng 1.1
Đe làm ví dụ, ta hãy xét sự truyền của tia qua một môi trường đồng tính có
chiểu dài d và tiếp sau đi qua một thấu kínli mỏng có tiêu cự /. Điều Iiày
tương ứng vối sự truyền giữa các m ặt phẳng n và n + 1 trong Hình 1.2. Vì tác


dụng của phần môi triíòng chỉ đơn giản làm tăug r một lượng d.r’, nên dùng
(1.1-2) ta có th ể liên hệ tia ra (ở n + 1) và tia vào ( ở n) bỏi
1


1 //

d

rn.

( 1 -d /y )

ỈV.a trậ n này tương ứng vói tích ma trận của thấu kínli mỏng vàma trậ n của
phần môi trưòng có chiểu dài L đưỢc cho trong Bảug 1.1,
Bây giờ chúng ta có thể khảo sát sự truyển ánh sáng qua một hệ thấu kmh
scrig tu ần hoàn (biperiodic) tạo bởi các th ấu kính /i và /2 cách nhau một
kùoảng bằng d, như được cho trên Hùih 1.2. Trong chương sau chúng ta sẽ
cLứng minh rằng sự truyền sóng này tương đưdng vối bài toán truyền chùm
Gaiiss trong một buồng cộng hvíỏng với các gương cầu cóbán kính cong bằng
R = 2 /1 và R2 = 2 /2 đặt cách Iihau một khoảng là d.
BA.NG 1.1 Các ina trận tia đôĩ với một



linh kiện qiuing h(K- và

mỗi triứĩĩiịĩ th lứtng gặp

Ra
r ) M ội Irườiig đ ổ n g

1


VAo



tính:

[ 0

d
1

1

C liié u d ài d

(

2 ) Thấu kính miHig:

^ .

Vào

ư

• ■ 'I



Tiổu cự /

(/> 0

/

hót t u . f < 0

f)hàn kỳ}

Ra

(?) Lưởngchất
jnang (iiộn mỏi:
Chiết suấl n ,, n,-

Vào

ri
1

0

0
‘2 J


Ra

Vào

(4) Lưỡng chÉ cáu

điện iTKii:

1

0

n, - n, 1

n,

Dị

Bííii kính R

(5) Gưrnig cẩu;

Ra

Bán kính cong K

(6) Môi ưường

1
r-2
_R

Vào

' /í


R



J



‘1Ỉ.I

cos

cóiig tua ehièì suất là

01
,
J

'k

/' ỉ—■■\
sin

k
hàm bậc hai

\

^
I


k,

.
sin

cos

i

í
1.''

Phần giữa các mật phắng I V - 1 và n+1 có thể được xem như ô đơn vị cư sở của dãv
thâu kíiih tuần hoàn. Nếu ta tạm giới hạn chi xét các mặt phảng II - 1, 11+ 1, n + 3,
va k y h iẹ u c h ứ n g n h ư c á c m ạ t p h ã n g s, s +

1, s + 2 , VỚI ủ s =

t h i t ư ( 1. 1- 3 ),

a được
r

//

l

// J


f:

Hinh 1.2 Sự truyển của tia sang qua niột dày các thấu kính song tuần hoàn


hay dưói dạng phương trình
ỉ s . 1 = Ar, + Br',

(1.1-5)

ỏ đây A. B, c, và D là các phần tử ma trận tích ciìa hai ma trậ n vuông trong
(1.1-4) và được cho bỏi
d
A = 1

2 --

B= d

( 1. 1- 6 )

c =-

1

+

1

ư


['- 1 1
D
í\ Ẳ

/

Từ pluíđng trình thứ n h ất t.rong (1.1-5). ta đưỢc

và do đó
rUi =



- Ar,„)

f)ặi phương trìn h thứ hai của (1.1-5) vào (1.1-8) và th ay r , bằng biểu thức (1.17), ta đươc
- ( A + D )r „ + ( A D - B C ) r = 0

Dày là phương trình sai phân mô tả sự tiếu hoá qua ốug dẫn sóng thấu kính.
Dùng (1.1-6), ta có thể chứng minh rằng AD - BC = 1. Do đó ta có thể viết lại
(1.1-9) uhư sau


10

's>3 -

(1.1-10)


+ r, = 0

ở dâv
D) =

b = I (A +

(I.M i:

Phương trình sai phân (1.1-10) là tương đương vỏi phương trình VI phân r" +
Ar = 0 có nghiệm là r±(z) = p exp[± ìy[Ã zj. Do đó, ta có thể thử chọn một
I i g h i ệ m dưối dạug
I-S = p
Thay vào (1.1-10), ta được

và do đó.
e'“ = b ± i V T ^

( 1. 1- 13)

sao cho đốì vói b’ < 1, COS0 = b = Ỳ (A + D).
Nghiệm tổng quát là tổ hỢp tuyến tính cíìa các nghiệm exp(is0) và
exp{-is0) nhưng vì r, là thực nên ta có thể lấy
I's = r,nax sin(s0 + ô)
Trong đó

= r,/sinô và tgô = •00

Điểu kiện đê tia ổn định (tức là tia bị hạn chê) là 0 phải là thực, vì trong
trường hợp này ban kính của chùm sẽ dao động trong khoảng giữa


khi s biến thiên. Theo (1.1-13). điểu kiện cần và đù để 0 thực là

Ta có thê dùng (1. ] -11) để biểu diễn lại (1.1-1 õ) qua các tham sô cvia hệ như
sau
,

.

d

d

/.

.Í2

- 1< 1- -

4

d'

—=— < 1

2 fJ ,


11


hay

/
os

Trái lại, nếu điều kiện hạn chế chùm Ibl < 1 bị vi phạm, ta sẽ nhận được
nghiệm dưới dạng
r. = c e‘“ ’‘ + d
Trong đó e“ = b ±

(1.1-17)

-1 và vì độ lớn của cả exp(a*) iẫn cxp(a') đều lớn hơn

1, nên bán kính của chùm sẽ tăng như một hàm của ( khoảng cách) 8.

1.2.

ỐNG DẪN SÓ NG CHỈ GÓM

m ột loại

THẤU

k ín h

Trường hỢp đcto giản n h ấ t của ốug dẫn sóng thấu kúih là trưòng hợp trong đó
/i = / 2 = /; tức là tấ t cả các th ấu kính là như nhau.
Sự phân tích tình huống này đđn giản hđn nhiều so với trưòng hợp chuổi
thấu kíuh soug tuần hoàn. Nguyên nhân là ỏ chỗ ô đơn vị tuẩn hoàn (tức

phần nhò n h ấ t của chuỗi khi tịnh tiến có thể tạo lại toàn bộ chuỗi) chỉ chứa
m ột th a u k ín h d iiy nhãV Mn tr ộ n (A, R, c , D) ứ n g vối ô <ỉrin \rị

ch o hỏi

ma trậ n vuông trong (1.1-3). Nếu chúng ta lặp lại chửih xác các bước dẫn tới
(1.1-11) - (1.1-14), thì điểu kiện hạn chế chùm bây giờ là
0Sd<4/

(1.2-1)

và bán kứih chùm ỏ th ấu kính thứ n được cho bòi
= rm« sjn (n 0 + S)

c o se = |(A + D) = (l - — )
2/
Vì tinh đơn giản vể m ặt đại 8ố của bài toáa này, ta có thể biểu diễn
s trong (1.2-1) qua các điểu kiện ban đầu To và r'o và a h ận được

(1.2-2)




12

( r . „ y = - i '- - ( r . ’ K ) r .r '.4 d /r .')
4 f -d

(1.2-3.


(1.2^)

Việc rú t ra hai phương trình trên xin dàiih lại cho bạn đọc iihư một bãi tập.
Điều kiện ổn đúih có thể được chímg minh bằng thực nghiệm bằng eacb
theo dõi hành trạng của chùm laser đưỢc chiếu xiên trục qua một chuòi các
th ấu kíuh đặt cách đều nhau. Người ta dễ dàng thấy rằug chùm sẽ “ thoát”
rấ t nhauh ra khỏi hệ nếu điều kiện (1.2-1) bị vi phạm
1.3. S ự TRUYỀN T L \ SÁNG GIỬA CÁC GƯƠNG
Một ílng dụng quan trọng khác của hình thức luận vừa trình bày ở mục trêii
liên quau tối việc nảy qua lại của tia sáug giữa hai gương cong. Vì sự phản xạ
trên gvíơng có bán kúili cong R tương đưđng vói việc truyền qua một thấu kinh
có tiêu cự / = R/2, trừ diều là tia sáug bị h ấ t trồ lại, nên ta có thể sừ dụng h'mh
thức luận ỏ niục trưóc để mô tả sự tniyền tia sáng giữa hai gương coug có ban
kính cong tưdng ứng là R, và R, và đặt cach nhau niột khoảng bằng d. Giả sử
ta xét trường hdp đdn giản trong đó tia sáng đi vào hệ hai gươiig đối xứug như
trên Hình 1.3a. Vì các toạ độ

X

và y của tia là các biến độc lập. theo (1.1-12) ta

có thể biểu diễn chúng dưối dạng
sin(n0 + ô^)
(1 .3 -1 )
yn =

s in ( n e + ô ,)

Trong đó u đvíỢc gọi là tham số tia ngay sau lần pỊiản xạ thứ n. Theo (1.3-1)

thì qũy tích của các điểm x„, y„ trên gương đã cho là một hìuh elip-


13
-* ---J ^ R-----►

(bì

íỉin h 1.3 (a) Đương đi của tia sáng được chiếu vào khoảng không gian
giữa hai gương và nằm trong mặt phẳng hình vẽ. (b) Tia tái hồi trong cấu
hình gương đồng tiêu đốỉ xímg lập lại đường đi cũ sau hai chu trình

Các tia t á i hồi
Nếu 9 trong (1.3-1) thoả mãii điều kiện
(1.3-2)

2vO = 2/71

Irong đo V va / ]à các số uguyên, th ì tia sẽ quay trở về điểm x u ất p h á t sau

điing V chu trìn h và sẽ tiếp tục vạch lại bức trau h cũ trên các gương. Ví dụ, ta
x ét Irưòug hợp đơu giản vóỉ / = 1, V = 2 sao cho 0 = 7t/2 và tìí (1.2-2) ta nhận
điíỢc d = 2 / = R; tức là nếu các gương đặt cách nhau một khoảng đúiig bằng
ban kinh cong !•{ cua chung, thi tia se tai hỏi va vạch lại dường đi cũ auu Lrọii
hai chii trìu h (V - 2). T ình h u ốn g K

d đươc Roi là cáu h ình đồng tiêii đối

xứng. VI hai gương có chung tiêu điểm (/ - R/2). Điểu này sẽ đưỢc x ét chi tiết
troug chương saii. Bức tranh tia ứng vói trưòng hợp


V

- 2 điídc minh hoạ trên

Hình 1.3b.
1.4. CÁC TIA TRONG MÒI TRƯỜNG TựA THAU KÍNH
Tính chất v ậ t lý cơ bản của các thấu kính (ián tới tác dụng làm tụ tiên các tia
sang của chúng, đó là quang lộ qua th ấ u kíuh n(r, z)dz ( ỏ đây n là chiêt suat

ciia môi trường) là một hàm bậc hai của khoảng cách r tính từ trục z. Dung
quang học tia, ta giải thích tính chất này là do sự thay đổi độ dôc của tia như
trong (1.1-1). Chíoli tính chất uày cũng được biểu diễn bằng cách liên hệ biên
độ phức của trưòng áiứi sáng tối
y) ở ngay bên phải của một thấu kính
mỏiig lý tưởng vối trường Ej (x,y) ỏ ngay bên trái thấu kính đó bơi hệ thưc


14

( xem TLTK [7])
.. x ’ +

ER(x,y) = E,.(x,y) exp(+ ik

)

( 1.4 - 1)

Trong đó / là tiêu cự và k = 27rn/x (X = bưốc sóng trong chân không).

Do đó, tác dụng của thấu kính là gây ra một độ dịch pha k(x^ + y^)/2/ tăng
bậc hai theo khoảng cách tính từ trục. Tiêp theo, ta xét một trường hợp có
quan hệ rất m ật thiêt vói những diều nói ỏ trên, đó là trường hợp niôi trưòug
có chiết suất n biến thiên theo quy luật^

n(x,y) = n „ [ ] - - ^ ( x ’+y-)]
2k

(Ị 4_2)

Trong đó kí là hằng số. Vì sự trễ pha của sóng truyền qua phần môi trưòiig áj
chieu dài dz và chiêt su ât n bằng 2nn dzA, ta suy ra ngay rằng lốp lìỉôi trưòiig
mỏng được mô tả bỏi (1.4-2) sẽ tác dụng như một thấu kính mòng vì cũag
như trong (1.4-1) ở đây nó cũng dẫn tói độ dịch pha tỷ lệ với (x' + y"). H ành
trạng của tia sáng trong trưòug hợp này được mô tả bỏi phương trình vi phân
áp dụng cho sự truyều tia trong môi trường đồng tíiứi vể m ặt quang học ( xem
TLTK [8])
d

dr

„ .4 -3 1

Trong đó s là khoảng cách dọc theo tia tính từ một điểm cố định nào đó trêu
tia và r là vectd vị trí của điểm ở s. Đôi vối các tia bàng trục, ta có th ể thay
d jd s băug d/dz và dùng (6.4-2) ta được phương trình gầu đúng sau
d^r

+


-k,

=0

(1.4-4)

Tại m ặt phăng vào z = 0. tia có bán kính r,‘o và độ dốc r'o, ta có thể viết ugay
nghiệm của (1.4-4) như sau

“ Ptiương trình (1.4-2) có thê được xem như chúa hai sớ hạng trong khai ứiển Taylor cùa n(x V)
trong truờng hợp đới xứng xuyôn tâm.


15

r(/.) = cos (

)r„ + 1-— sin (

z )r'o

(1.4-5)
r’(z) = -

f -y

sao cho môi trưòiig tựa th ấu kính vối cỉúếu dài ỉ có th ể được mô tả bởi ma trận
tia sau
A = cos ( y / ^ k I)


B = ^JkJk'^ sin / k , /k /)
( 1. 4 - 6 )

c = - -yỊk^ /k sin( ^ k , /k /)

D= A

Nghĩa là. tia sẽ dao động tới lui ngang qua trục, như đưỢc miiih hoạ trên Hình
1.4, Lốp môi trương có chiết suất như hàm bậc hai có tác dụng uiiư một th ấu
kính. Dùng (1.4-5). có thể chứng minh bằng điều này bằug cách chứng tò rằng
inột họ các tia sáng song song đi vào ở z = 0 vdi bán kính khác nhau khi ió ra ỏ
2

= / sẽ hội tụ về niột tiên đieni chuiig tại khoảng cách
1

k

-c o tg

■?/

(1.4-7)

tính từ m ăt phẲng đi ra của tia Thừa sô 11, là để tính đến khúc xạ ỏ biêu, Iiếii
ta xem niôi triíòug ò vùng 2 > / có chiết suất 1 1 “' 1. và góc tới là uhỏ. Việc rú t
ra công thức (1.4-7) chúng tôi dành cho độc giả như niột bài tập.

Hình 1.4 Đương đi cúa tia sáng trong mội trường có chiết suất
biến thién như hàm bặc hai



16

Phương trình (1.4-5) áp dụng cho môi trưòng hội tụ vdi kị > 0. Trong nôi
trường có k, < 0 - tức là môi trưòng tixsng đó chiết suất tăng theo khoảng cá’:h
tính từ trục - các nghiệm bây giò sẽ là

r(z) = ch

t'(z)

=

In +

sh

Ĩ0 + ch
V

sao cho r(z) táng theo khoảng cách và cuối cùng thoát ra khỏi hệ. Một lóp cia
môi trường như vậy tác dụng như một th ấu kính phân kỷ. Dưói đây là cèc
tình huống vật lý gây ra sự biến thiên của chiết suất như hàm bậc hai.
1. Sự truyền của chùm laser có con tua cường độ dạng Gauss trong một mii
trường hap th ụ yếu. Do 8ự phụ thuộc của n vào nliiệt độ, nên sự nóng lẻa
do hấp thụ sẽ làm xuất hiện một contua chiết suất (TLTK [10]). Nêu diừcT
< 0, như trong trường hợp của đa số các vật liệu, chiết su ất sẽ là nhỏ a h ấ t ỏ
trên trục vì tại đó sự nóng lêu do hấp thụ là mạnỉi nhất. Điểu này tưdr.g
ứiig với k2 < 0 trong (1.4-2) và tia sẽ loe ra theo khoảng cách z. Nếu dn/dT >

0. uhư Lroxig iHỘt »ố thủy tm h pha chi CrLTK 11UJ). thì chùm tia 8ẻ hội tụ.
2. Sự hấp thụ ánh sáng bơm trong các thanh laser rắn, chẳug hạn như ru b '
sẽ làni cho n(r) giảm theo r (đối vối dn/dT > 0) và do đó làm cho thanh lastr
được bơm có tác dụng như một thấu kính.
3 . Các ống dẫn sóng điện môi được tạo bằng cách kẹp một lóp có chiết su ấ t ti
giữa hai lớp có chiêt su at Dĩ > 0 .1. Tình huông này sẽ được xem xét tiếp ò
Chương 3.
4.

Cac 8Ợ1 quang học được tạo bảng cách sơn phủ lên một 8Ợi quang học mảna
(bán kíah 80 được vổi vối X) có chiết su ất n, bằng một lóp vỏ có chiết su ất
< n,. Các sợi quang học như vậy được sử dụng như các ống dẫn sáng.

5. Các ống dẫn sóng tạo bởi các th anh tựa thủy tinh hoặc sỢi quang học vci
bán kính lớn so vối X và có chiết suất giảm khi r tăng (TLTK [11,12]). Các
ống dẫn sóng này có thể được dùng để truyển đồng thòi nliiều chùm lastT
được phóug vào Ống dẫn sóng dưối những góc khác nhau. Từ (1.4-5) suy n
rằng khi ló ra, mỗi chùm sẽ truyền dọc theo một hưống duy n h ất và do dó
dễ dàng tách được riêng ra. Hơn nữa, vì những tùih chất của th ấu kính đi


17

đvíỢc thảo luận ỏ trên, ống dẫn sóng loại này còn có th ể đưỢc dùng để

truyển thông tin ảnh quang học theo cách rất giống như việc truyền ảnh
bởi các hệ nhiều th ấu kính tới m ặt phẳng ảnh của camera. Những tính
chất đó của các ống dẫn sóng nhir vậy sẽ được xem xét tiếp trong Mục 1.10.
1.5 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TRONG MỎI TRƯỜNG
BIẾN TH IỂN NHƯ HÀM BẬC HAI




CH lẾT SUẤT

Các chùm quang học được gặp phổ biến nhất là những chùm trong đó phân bô
cường độ tại mặt phẳng vuông góc với phươiig truyền có dạng Gauss, Để n ít
ra nhữiig đặc tính của chúng, ta sẽ xuất phát từ các phưđug trình Maxvveỉl
trong một môi trường đẳng hưống và không có điện tích. ____________
ìl U^-(: ỉ í ,\ .si )i
::-;ưOi'r í-''';

VX H =E
V

X

K=

- |i

ôt
ĨM
Pl

i. A <

I
I


T’ \ V- ' ',1ĩ Ịi ?bT "i vNT

J

JXả-ì)
ị Đ A ! H O C Q M Ố C G ỈA H À N Ộ I
tam
ĩìN ih ư v iệ n

V .{tK ) = 0
V - G O /

0 2 3 330

l.ày rot của phương trìiih thứ hai trong (1.5-1) và thay phiíơiig trìiib thứ nhất
vào, ta điíọc

v-t

- ^8—
ri

= - V ( - K . Vr.)
f-

( 1- 5- 2)

ở (láy ta đã dùng liãiig đẳng tliííc V X V X K = V(V. K) V ’K. Nêu ta giả thiết
các dại lượng tníòng biêii thiên Iih\< E (x. V, /, t) = Re[K(x. y, t)e"”'] v à bò
qua vè phải của (1.5-2) , thì

V-E + k-(r)K = 0

(1.5-3)

Vơi

k‘(r) = 0)‘|.ie (r)[l - iơ (r)/(oe(r)]

(1.5-4)

’ Sự bõ qiia này là hợp lý khi sự thay đổi tý đối của E trong một bước sóng quang học
la nhỏ.


18

trong đó ta đã tính đến sự phụ thuộc khả dĩ của e vào vỊ trí r. Chúng ta cũng
đã xem k như niột số phức để tínli đến tổn hao (ơ > 0) hoặc khuếch đại (ơ < 0)
trong môi trườiig"'.
Chúng ta giói h ạn chỉ xét triíòng hỢp trong đó k“{r) có dạng
k-(r) = k’ - k k /

(1.5-5)

Trong đó, theo (1.5-4),
Ir = k‘(0) = 0)" ^e(O) 1 -i■ ơ(0)
(oe(0)
và k, là một hằng sô nào dó. Hơn nữa, ta giả sử rằng ughiệm có sự phụ thuộc
ngang chỉ vào r = -y/x^Tỹ^ sao cho trong (1.Õ-3) ta có thể thay V* bằng


ởi^

dx^

r cV

dỉ?

1.5-6)

Loại truyén nià ta xét ở đây là là loại truyền của sóng gần phảug trong
đó dòng nàng lượng truyền chú yếu dọc theo một phương duy nhất (ví dụ
phương z) cho nên ta chỉ cần xét một th à n h phần Iigang E. Lấy E có dạng
E - \ị/(x, y, z)e

(1.5-7)

từ (1.Õ-3) và (1.5-5) và sau một vài biên đổi đơn giản, ta được
V,^ V|/ - 2ikv|;' - k k ,r\/ = 0

(1.5-8)

ở đây vị;' - dyựlờí và ta giả thiết rằng sự biến th iên dọc là đủ chậm để kvị/' »
Vị/" « kV-

Tiếp theo, ta lấy \ự dưới dạng
Vị/ = exp{ -i[P(z) + LQ(z)r^]}

=


(1.5-9)

Neu k là phức ( chăng hạn kr + ikị) thì các sóng điện từ chạy có dạng exp [i(o)t - kz)]
exp [kịZ + i(cot-krZ)].


19

rồi thay vào (1.5-8) và dùng (1.Õ-6), ta được
-QV - 2iQ - krQ ' - 2kP' - k k ,r = 0

(1.5-10)

Nếu íl.õ-10) đúng với mọi r. thì hệ số của các hìy thừa khác n h au ciia r sẽ đều
phải bằug không. Điểu này dẫn tới (TLTK [7])
Q ' + kQ' + k k , = 0
(1.5-11)

k

Như vậy. plutóng trìiih sóng (1.Õ-3) đưỢc qviy về (1.5-11)

1.6. CHÙM GAUSS TRONG MỘT MÒI TRƯỜNG D ổ N G TÍNH
Nêu inôi trường là đồug tíiih. theo (1.5-5), ta có thể đặt kọ = 0 và ( l.õ - ll) trở
thành

Q ' + kQ' = 0

(l.ò -l)


Báng rach điía vào hàni s(z) sao cho
Q = k^'
s

(l.b-2)

t ừ (1.6-1). ta nhạn ngay được
s” = 0
ti'íc l à ,

s' = a s = az + b

ÌKiy dùng (1.6-2). ta có;
Q(z) = k - - ^ -

az t b

(1.6-3)

vói a và b là các hằng số tùy ý. Ta sẽ thây thuặii tiện liơii. nếu dùng tham sô q


20

27tn

(1.6-4)

Q(z) “ XỌ(z)
Khi đó ta có thể viết lại (1.6-3) dưối dạng

q

=z+

qo

(1.6-5)

Từ (1.5-11) và (1.6-4), ta có

q

z+qo

suy ra
P(z) = - i In 1 +
V

( 1.6- 6)
^0 J

trong đó hằng sô' tích phân tùy ý được chọn bằng không®.
Đ ặt (1.6-5) và (1.6-6) vào (1.5-9), ta có
/
“ '
k
V|/ = e x p ■- i - i In 1 + " + ----y
*ìo > 2 (q o + z )
_


J'

(1.6-7)

Ta lây hăng sô tích phân Qo là th u ần ảo và viết lại nó qua hằng số mói Cừo như
sau

qo=i

Ằ =

2nn

: 1-6- 8)

Việc chọn qo là th u àn ảo, như ta sẽ thây, dẫn đên các sóng có ý nghĩa vật lý
cụ thể là niật độ năng lượng của chúng sẽ chỉ giói hạn ỏ gần trục z. Vói cách
vừa thay thẻ ở trên, ta hây xét đồng thòi hai thừa số trong (1.6-7). Thừa số
thứ n h ất trỏ thành

thơi gian có thê chọn tùy ý, nên pha này có thể lấy bằng không.

nghiệm (1.5-7) Vì gõc


21

exp

-In


exp i tg'

7tC0> j

1+

>.z

(1.6-9)

nOon y

\
Trong đó ta đã dùng ln(a + ib) = In Va^ +b^ + i tg '(b/a). Thay (1.6-8) vào 3ố
hạng thứ hai trong (1.6-7) rồi tách riêng phần thực và phần ảo, ta được

exp

-ik r'
2 (q „ + z )

-r'

1= exp

ikr'
2~

(ở


r_x2_;
1+

2 z 1 4-

f Ttcoỉn^

1 ^

,7K oỊn^

2

( 1.6 - 10)

;

Nêu ta định nghĩa các tham sô sau

ca'(z) = w ^[l + ( - ^ ) ' ] = « ỏ ( l +

KCOgiì

Xz
Tư.

T|(z) = t g '

Tiíoổn ,


( 1 .6 - in

zị

( 1. 6 -

z

= tg

z

12 )

(1.6-13)

_ ntoổn

ta có thể kết hỢp (1.6-9) và (1.6-10) trong (1.6-7) và khi nhó rằug E(x, y, z) =
V|/(x, y, z) exp(-ikz) . ta được

. k r'
E(x, y, z) = Eo - ^ e x p ^ - i[kz - Ti(z)]- i
2q(z)

(1.6-14)
o(z)



2R (z)


sao cho nếu ta dùng (1.5-9) và (1.5-4)
1
q(z)

ì
R(z)

Đây là kết quả cơ bản của chúng ta.

.
X
'W ( z )

sỏ dĩ

(1.6-14a)

ta gọi nó là cơ bản vì ta đã loại đi

nhưng nghiệm phức tạp hơn của (1.5-3) ( tức là những nghiệm biến tliiên thecả góc phưdng vị) bằng cách giói h ạ u x ét sự p h ụ thuộc ugang chỉ vào r = ( x^ +
. Những mode bậc cao hơn sẽ được xét riêng.
Tham số(ữịz), trong công thức (1.6-14) theo (1.6-11). là khoảng cách r tại đo
biên độ trường giảm đi e lần so vối giá trị của nó ỏ trên trục. Do đó ta sẽ gọi uó
là “kích thưóc vêt” của chìưn. Tham số cOo là kích thưốc vết cực tiểu, đó là kích
thước vết tại m ặt phăng z = 0. Tham số R trong (1.6-14) là bán kính cong của

của các m ặt sóng rất gần vói m ặt cầu« tại z. Ta có thể chứng minh kết luậi)
nay băng cach rú t ra bán kính cong của các niặt đồng pha (m ặt đầu sóng) hay
đdn giảu hơn. bằng cách xét dạng của một sóng cầu được p h át ra từ một
nguồn điểm đặt tại z = 0. Nó được cho bỏi

E oc l e " ^ = — e x p ( - ik V x ^ T ^ ^ + z ^ )

(1.6-15)
^ - ^ e x p ( ikz

^

ik

2R

vì z bằng R - ban kùih cong của m ặt sóng cầu. So sánh (1.6-15) vói (1.6-14). ta
uhận ra ngay R cũng là ban kính cong của chùm Gauss. Quy ưốc về dấu đối
với K cũng giống như trong Bảiig 1.1. tức là, R(z) là âm nếu tâm cong a z' > z
và ngược lại.
Dạng cua chùm G auss cđ bản, theo (1.6-14), sẽ được xác định đơn aliất
một kiu kích thước vết cực tiểu (Oo của nó và vị trí của vết đó - tức m ặt phăng
z = 0. được định rõ. Khi đó kích thước vết co và bán kíiih cong tại inặt phăng z
bất kỳ sẽ được tính nhò (1.6-11) và (1.6-12). Một số các đặc tính này đưck:
minh hoạ trên Hmh 1.5. Các đường hyperbol trê n hìixh tưdng ứng vói hưóng

^
phẳng z = 0, còn thì các mặt đầu
có dạng p^aboUc, vì chúng được định nghĩa bỏi kíz + r"/2R)Ị = const. Đối V Ớ I
« z . sự khác biệt giữa các mặt parabolic và cầu 14 không đáng kê

Sống


23

tru y ế n của tia và là giao tu y ế n c ủ a các n iặ t p h ăng chứa trục z và các m ặt
hyperboloit

(1.6-16)

+ y" = const. (í)'(z)

Chúng cũng tưdng ứng với hướug truyền năng lượng. Các m ặt cầu được vẽ
tr^ n
có bán kính cong đildc cho bởi (1.6-12), Đôi vối z lốn, hyperboloit X'
+ y- = (£)■là tiệm cận

VỐI

hình nón
(1.6-17)
7C(ửon

với nửa góc ở đỉiih - mà ta xem là độ đo sự loe ra của chùm- là
(1.6-18)
TĨOoH

7ĨC0(,n

í**'-


H ình 1.5 Tniyến chùm Gauss
Kết quả trê u là một. thể hiện rõ n ét sự nhiễu xạ sóng, tỉieo đó sóiig dược giới
lian theo phương ngang tro n g m ột k h ẩ u độ có b á n kính C0(, sẽ bị loe ra ( Iihieu
xạ) ỏ núển xa (z » 7C(Dỏn/>.) theo (1.6-18).
1.7. ( HỪM GAƯSS CXK BẢN

tr o n g m ôi trư ờng

TỰA THẤU

k ín h

CịUY TẮC ABCD
Bây giò chúng ta quay trỏ lại trvíòng hỢp tổng quát của môi trường tự a thấu
kính, tức là k, ^ 0. Theo (1.5-11), cac hàm p và Q của (1.5-9) tu ân theo cac
phươug trm h


24

Q, + kQ' + kk, = 0
(1.7-1)
P' = - iQ/k
Dùng phép đổi biến
ks'
1. 7-2)

Q =


từ (1.7-1), ta nhận được

s" + s ^ = 0
k

sao cho
s(z) = a sin

+ bcos
(1.7-3)
k, .

Ihi.

k.

với a và b là hai hằng sô tùy ý.
Thay (1.7-3) vào (1.7-2) và biểu diễn kết quả qua giá trị đầu vào qo =
k/Q(0) ta được biểu thức bán kính phức q(z) của chùm như sau.

cos

qo +

sin

q(z) =

Ọ(z)


-sin

y

[k,

qo +COS

/

f 1^2
y ^ ỉ

(1.7-4;

Y nghĩa v ật lý của q(z) troug trư òng hỢp này có th ể được r ú t ra từ (1.5-9)
Đê làm điêu đó, ta hãy khai triển phần của Vị/(r, z) có liên quan tới r. Kết quả là
V|y oc e

_ g-iiư^ ' 2q(í)

Nểu ta biểu diễn q(z) theo các phần thực và ảo của nó bỏi
1 ^ 1
q(z) R(z)

-

À
jmco^(z)


(1.7-5)


25
thì ta được
Vị/ X

~

exp

.

co' (z)

kr^
2R(z)

sao cho (0(z) chính là kích thưốc vết và R là bán kính cong điing như trong
trường hợp môi tníòng đồng tính được mô tả bởi (1.6-14). Đối vói trưòng hợp
đặc biệt của môi trưòng đồng túih (k2 = 0), (1.7-4) được quy về (1.6-5).

P h ép bien đ ô i c ủ a ch ù m G auss
(Quy tắ c ABCD)
Trong Mục 1.7, ta đã rú t ra quy tắc biến đổi (1.7-4) của chùm Gauss tm yền
qua một môi trưòng tvta th ấ u kính tổng quát được đặc trưng bởi k,- Trước hết,
so sanh (1.7-4) và (1.4-5, 6) ta thấy rằng phép biến đổi này có thể được mô tả
bởi
Aq, f B


ở đây K. B, c, và D là các phần tử của ma trận tia đặc trưng cho chính môi
tníòng đó. Ta 3uy ngay ra rằng sự truyền qua, hay phản xạ ỏ, bất cứ phần tử
n à n r h o t r n n g R n n g 1 1 r ù n g đ ô u p h ả i t u â i i t h e o ( 1 . 7 (5) v ì n h O xig p k ầ a t ứ đ ó

đêu có th e điíỢc xeni Iihii các trưòng hdp đặc biệt cùa môi trường tự a th ấ u

kinh. Để tham khảo sau này, ta lưu ý rằng khi ap dụng (1.7-6) cho một thấu
kinh niỏiig có tiêu cự / , ta được
1

1

^2

1

q, /

(1.7-7)

sao cho nếu dùng (1.7-5). ta được
© 2 = co,

( 1 . 7 -8 )

1

R,

1


/

Những kêt quả này cũng được áp dụug cho sự phản xạ từ gương với bán kính
cong R nếu thay / bằng R/2.


26

Tiếp theo, xét sự truyền của chùm Gause qua hai môi trường tựa thấu kíiứi
đ ật sát nhau. Ma trậ n tia mô tả môi tníòng thứ n h ất là (Aị, B|, Cj, Dị) và môi
tníồng thứ hai là (A 2, 83 , Cị, D2). Lấy tham số đầu vào của chùm là q, và tham
số đầu ra là q j , từ (1.7-6), ta nhận được
Aiqi +B.
c ,q , +D,

=

đ^i vói tham số của chùm ỏ đầu ra của môi tniòng

'

1



C ,q ,+ D ,

Sau khi kết hỢp hai phương trình trên, ta được
A^q, + B ,


( 1 . 7 -9 )

qj = C^q, +Dj

ỏ dây (Aị^, Bj, C j, Dy) là các phần tử của ma trậ n tia liên hệ inặt phẳng đầu ra
(3) và m ặt phẳng đầu vào (1). tức là
A.
Cr

D,

c,

D,

B,

( 1 . 7 -1 0 )

D,

Bằng quy nạp, ta suy ra rằng (1.7-9) có thể áp dụng cho sự truyển của chùm
Gauss qua một số tùy ý ( ví dụ n) các môi tnlòng và các phần tử tựa thấu
kúih. Ma trận (A,> Br, C|, Dx) là tích của n ma trậ u đặc tn in g cho từng thànli
phần của chuỗi các môi trường đó.
Sức mạnh to lón của quy tắc ABCD là ỏ chỗ uó cho phép ta theo dõi đưỢc
tham số q(z) của chùm Gaiiss qua một chuỗi phức tạp các phần tử tựa th ấu
kính. Bán kính R(z) của chùm và kích thưóc vết oj(z) của nó tại một m ặt
phẳng bất kỷ có th ể tìm được bằng cách dùng (1.7-5). ứ n g dụng của phương

pháp này sẻ được làm rõ trong ví dụ sau.


37

Ví d ụ : S ự tụ tiê u c ủ a m ộ t c h ù m G au ss
Dể làm ví dụ về sự ứng dụng của quy tắc ABCD, ta hãy xét trưồng hdp một
chùm Gauss tói với eo của nó ở đúng trên một thấu kínli mỏng có tiêu cự /
như được minh hoạ trên Hình 1.6, Ta sẽ tìm vị trí eo của chùm đi ra cùng vâi
báu kính của chùm tại điểm đố.
Tại m ặt phẳng vào (1) (1) = (Oo,, R| = 00 nên
1

q,

X

-i
R,

- = -i

7 i(o ;,n

Ttco^.n

Dung (1.7-8), ta được
1

/


1

7ro)ổ,n

VỚI



Hinh 1.6 Sự tụ tiêu của một chùm Gauss
Tại mặt phẳiig (3), bằng cách dùng (1.6-Õ), ta được


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×