Tải bản đầy đủ

TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
Bài 1.

1

Tìm lim

n

n

.

n!

Hướng dẫn giải
Trước hếtta chứng minh bất đẳng thức : n! > (

n

) n(*) ( n


N*).

3

Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có1 >

1

(đúng).

3

Giả sử(*) đúng vớin = ktức là : k! > (

k

)k. Ta đi chứng minh (*) đúng với.

3

n = k+1.
Ta có(k+1)! = k!(k+1) >(

k

k

) k (k+1) = (

3

1

3

)k+1.

3


1

(1

>(
)

k

1

)k+1.

3

k

k

Bất đẳng thức cuối này đúng vì :.
(1+

1

)k =1+

k

k

+

k (k

k
1

= 1+1+

2!

<1+1+

1

)

+.+

k

2

2

k

1

2

) (1

2 ) ....( k

k

) ...(1

k

1
1

1) ( k

k

1)

.

k!

k

+.< 1+

n 1

k (k

+.+

2

1

(1

k!

1

+.+

1

.

2!
1

(1

1)

1

)

1
k

1

< 1+1+

k

k

=.

+… +

2!

1

<1+1+

n!

2

= 3.

1
2

n

Vậy (*) đúngvới

n

k

1.

Do đó

n!

n

,

từ đây ta suy ra

n

1
n

3

Vì lim

3

<

.

n

n!

= 0.

n

n

1

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim

n

n

Vậy

1

lim ( 2 0 1 4
n

)
n!

Cho dãy số

1; x 2

2

2

xn

5

thoả mãn

xn

xn

1

2

2

;

n

4 xn

Tính

I

lim x n

n!

=2014.
x1

n
3

3

=> 0 <

n!

.

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương.



*

.

= 0.

1

.

1

+.+
2

n 1

<.


Đặt

yn

, ta có dãy

lo g 2 x n

y1

0; y2

2 yn

2

1

5 yn

2 yn ;

1

*



n

.
z1

Lại đặt

yn

zn

z1

, ta có dãy

2

2; z2

2 zn

5 zn

2

Tìm được số hạng tổng quát của dãy là
Từ đó ta có

lim y n

2

lim x n

1

zn

Cho dãy

(an )n

1

:

2

a)Chứng minh dãy

an

1; a n

1

zn

.

.

n

5an

1

5

hội tụ và tính

a2

...

an

5

n

10

,

n

1

.

an

(an )

a1

b)Chứng minh

5zn

2

*

1

.

4

a1



n
1

4.

2

Bài 2.

2zn

zn ;

1

2, z 2

lim a n
5

.
1. .

n

,

2

Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1
Đặt

5

A

5

và xét hàm

2

x

f (x)

5x

2

Suy ra

10

f (x)
5
a1

Dẫn đến

1

2

1;

a5

a4

x

3

.,

10
5

c

2

5c
5

...

a6

b

c

2

5b
5

Vậy

a2k

...

1

a2k

b

5

c

...

A

...

A

li m a 2 k

5

.

b
5

5

.

.

2

b) Nhận xét:

t

1;

5

5

.

thì

,

k

1.

5

5

t

f (t )

2

Dẫn đến
a1

a2

a2k

1

...

a2k

a2k

5

1

5)

a2k

5

2k

Như vậy bất đẳng thức đúng với

.

(1).

2

n

2k

.

.

nghịch biến trên đoạn

f (x)

li m a 2 k

2

10

li m a n

x, (x

1
2

10
c

.

x

như vậy

Kết hợp công thức xác định dãy ta được.
b

n

,

2

2

x

a3

a2

x

0,

10

5

3

an

5

5..

1

b

A
.

c

A

.

;1 . .


Trường hợp

a1

a2

n

...

1,

2k

a2k

chú ý

a2k

1

a2k

5

a2k

, kết hợp với (1) thu được:.

2

(2k

1

5

1

5

1)

5

.

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3.

Cho dãy số thực

un

1

: u1

2

, un

une
1

1

un

e

,

un



n

*

.Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu

hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Chứng minh

1

un
1

Với

Ta có

un

un

0

1

e

.

1

đúng.

1; 0
e

đúng với

1

2

e

1

Giả sử

n

2

2, u 2

n

0,

e

un

n

k

2

1

1

e

, ta chứng minh
un

une

0

1
1

un

une

;

1

e

đúng với

1

n

k

1

e

une

e

un

.

un

.

0

un

un
un

1

e

un

e

1

un

un

1 (luôn

1

đúng).

Vậy (1) được chứng minh.
Xét hàm

f

x
1

Hàm

g

Suy ra

x

g

hay hàm

1

x

x

xe

x

e

e

g 0

f

x

x

trên

x



0

.Ta có

;0

g ' x

, suy ra

1

e

x

e

với mọi

x

1

x

1

e

e

f ' x

nghịch biến trên

1

x

1

e

e

f ' x

0
e

x

x

x

x

2

;0

x

.
nên hàm này đồng biến trên

x

0

2

.

.

;0

e

e
1

Ta có

e

u2
1

e

e

, u3

2 1

f

u4

f

u2

u5

2 1

Quy nạp ta được dãy

u2n

Hơn nữa

n

Giả sử

1

lim u 2 n

un

0,

a , lim u 2 n

1

2

1

u3

, u4

e

e

1

Suy ra

e

e

2 1

e

2

2 1

0

u2

.

e

e

u1 .

giảm và dãy

u2n

tăng.

nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.
b

a,b

1; 0

, lấy giới hạn hai vế ta được.

;0

.


1

1

e

ae

b

e

1

a

ae

b

Đặt

b

be

a

e

a

e

a

2

a

e e

a
a

1 e

.

a

t

t

1

t

, ta được phương trình

;1

2

1

t .t 1

t

t

2 1

t ln 1

t

1

t ln t

t ln t

0

.

e

Hàm h
thấy

t

2 1
1

t

t ln 1

t

1

t ln t

nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận

t ln t

là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất.

2

Suy ra

a

1

ln

, thay vào được

b

1

ln

2

Vậy

lim u n

Bài 4.

.

2

1

ln

.

2

Cho dãy số

1 thỏa

an , n

mãn a 1

2n

1, a n

3

2n

an

1

,n

2

và dãy

bn , n

1

thỏa mãn

n

bn

1.

ai, n

Chứng minh dãy

có giới hạn và tìm giới hạn đó.

bn

i 1

Hướng dẫn giải
Ta có

2nan

Do đó

bn

2n

3 an

an

1

2

1

n

1 an

nan

1

1.

,n

n

2 ia i

i

1 ai

2 1

1

n

1 an

.

1

i 1

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng

1

nan

,n

1

.

n

Thật vậy:.
- Với n = 1, ta có

a1

1

nên khẳng định đúng.

- Giả sử khẳng định đúng với n
2n

1

2n

2

minh

4n

2

4n

1
n

1

1

1
n

n

n

n

1

4n

1
3

. Ta có

2n
n

1

1

3n

1

2 n
an

1

n

1

2n

1.

n

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh.
Ta có

2 1

1
n

2 1

n

1 an

bn

có giới hạn và

1

bn

2

.

1

Theo nguyên lí kẹp thì dãy

li m b n

3

2 n

.

Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với

1

2

.

n

1

.

an

2n

1

2n

2

1
n

, ta cần chứng
n


1

u1

Bài 5.

Cho dãy số

2

được xác định bởi:

bn

.
1

un

Chứng minh dãy số hội tụ và tìm

1

un

2

un

1

2

4

n

.

li m u n
x

Hướng dẫn giải
1

Ta chứng minh u n
Thật vậy:

n

:

1

(*) đúng với

cot

n

2

1

u1

2

n

1

Giả sử (*) đúng tới

2

(* ) .



n

1

cot

1

;

n 1

2

1 1

.

2

.

n

,k

k

, nghĩa là có :

*



u

1
k

2

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy

1

1

2

k

2

1
2

k

1

cot
2

1

k

1

4

cot

k

2

2

cos

2

k

1

2

.

k

1

k

2

k

1

un

2

n

cot
2

n

x

2

li m

k

cot

1

2

thì

k

1

2 s in

k

;

n 1

.

n

1
2

k

1

2

n

k

2

2

cos
2

k

1

uk

1

uk

2

cot

1

2

2

0;

1

uk

k

1

1

s in

0

1

2

4

k

.

.

).

k

1

cot
2

k

2

.

2

1.


.

li m

2

cos
2

x

2
2

li m u n

n 1

2

2

0

với n N,

n 1

n 1

Vậy dãy hội tụ và có

k

k

2

.

1

2

1

n

x

2

2

2

k

2

cos
li m u n

2 cos

1

(*) cũng đúng với
Vậy

4

1

k

k

1

1
2

s in

1

2

s in

1

k

( vì khi

2

1

1

2

1

cot

1

k

cot

k

.

n 1

.

x

Bài 6.

Cho phương trình:

x

n

x

2

x

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
2)Xét dãy số sau đây:

U

n

n xn

1

,

n
n

1

2

n

2

.

, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất

2 , 3, 4 , ...

Tìm

lim U

n

?

.

xn

.


Hướng dẫn giải
Xét phương trình:

f

+) Ta có:

f’ x

nx

trên

1;

.

Lại có:

f 1

Ta có:

f 1

x

2
f

2

n

x

n 1

2

x

x

1

– 2 x – 1 .Do n

0

;

0



x

1

2

f

2

n

– 7

, với n nguyên,

0

2

, nên khi

0

( vì

x

thì

1

nguyên và

n

n

n

2

(1).

f’ x

0

x

thì

x

f

f

x

có nghiệm duy nhất trên

0

.

1;

+) Mặt khác với

0

n

x

2

( do

n

) suy ra

2

f

x

với mọi

0

0

1.

x

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên,
Gọi

là hàm số đồng biến

x

n 3).

2

liên tục, đồng biến nên phương trình

f

. Vậy

xn

là nghiệm dương duy nhất của phương trình

Bây giờ xét dãy
Ta có:

n

U

2

xn

xn

với

n

xn

1

U

n xn

n

hay

0

1

xn

n

– x

2

– x –1

0

.

2

.

3, 4 , 5, .

n

2

n

xn

,

x

n

xn

1

.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:.
2

xn
xn

2

n

xn

xn

2

1

xn

n

xn

1 .1. 1....
1
n

(Chú ý rằng ở đây 1
+) Mặt khác do

xn

2

2

nên

xn

xn

xn

1 
1 ....
 1
n so 1

<

xn

1

6

1

, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng).

, nên từ (2) có:

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và

(2).

n

1 sô 1

xn

2

, nên

xn

6

lim

0

1

xn

6

1

(3).

n

nên từ (3) ta có: lim

n
2

+) Ta có:
Từ đó:
Đặt

yn

n

2

xn

xn

n xn

1

xn

1

lim U

Bài 7.

n

1

xn

1

2

lim y n

ln 3

lim U

0

ln x n

xn

1

xn

1

ln x n

n

xn

1

.

ln x n

(5).

.
lim n x n

n

1

ln 3

.

.

Cho số thực

a,

xét dãy số
3

bởi x 1

2

n ln x n

ln x n

ln x n

Ta có:suy ra từ (5)
Vậy:

xn

1.

xn

a,

xn

xn
1

6 xn
2

3 xn

9 xn

hữu hạn, tìm giới hạn đó?.

xn
6
7

,n

n 1

được li m

ln x n
xn

1, 2 , .... .Tìm

1

ln
li m

yn

1

yn

tất cả các giá trị của

ln t
li m
t

0

a

1
1

xác định

t

để dãy số có giới hạn


Với

1 thì x n

a

1,

Hướng dẫn giải
1.

1 nên lim x n

n

n

3

Với

a

thì x n

1

xn

1

2

3 xn

9 xn

1

3

1

1

3

Do đó

xn

2

xn

xn

1

xn

1

2

1

1

3

...

Kết luận+

1

a

2

a

2

a

1

+

3

a

a

1

a
3

xn

2

Bài 8.

3

,

n 1

n

1

,.

1

2

li m x n

2

2

.

1.

li m x n

,

n

1

3

li m x n

2

Cho dãy số

..

2

n

xác định như sau:

(u n )

u1
2

un

2012

. Tìm

2013

2

un

2

2un

Xét hàm số :

1

1

0

x

f (x)

un

2

1

f '( x )

x

1

2

2

1

2

x

2

un

2

1

1

2

2

2un

1

1

0 ,

.

.

.
x

.

0

1

1

2

Ta có :.

f

x

f

x

0
0

3
8

1
2

1
2

Vậy :

u1

1

1

2

n

2

thì

2un

1

0

u2

1

1

0

2

un

.

0
2

un

2

1

un

u3

un
1

1
2

.

3
8

0

.

lim u n

n

Hướng dẫn giải
Ta có :

.

n

3

a

2

n

2

+

n

7

1

n 1

2

n 1

2

,
9 xn

1

1.

n

3

a

2

3 xn

,

a

1

2

2

1

n 1

a
3

3

a

2 a

a

n 1

3

Từ đó, tính được x n

, xn

7

1

xn

n

1, 2 , 3 , ...

.


x

Gọi a là nghiệm của :

2

1

x ( x

1

(

2

Ta có : u n

a

1

f (u n )

Theo định lí La-grăng :
Do

1

f '( a )

2

a

f (u n )

f (a )
1

f (a )

2

f '( a ) . u n

un

un

a

1

un

2

.

a

.

n

1

a

2

.

a

2

1

1

.

f (a )

f (u n )

; 0 ))

2

un

2

a

1

1

...

u1

2

.

a

n



1

li m

0

li m ( u n

2

n

Vậy :

lim u n

1

a)

1

n

0

li m u n

n

a

1

1

2

.

.

2

n

1

u0

Bài 9.

Cho dãy số

2

xác địnhnhư sau:

un

un

un

1

2

2 un

5

.Chứng minh rằng dãy số
,



n

2

có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
* Vì

nên

1,

n



* Áp dụng BĐT Cauchy ta có

un

2

0

un

*

*

u0

1

9

2

un

1

un

1

5

1

2

2

2 un

1
2

Xét hàm số

n



un

2

f

un

* Vì

un

un

1

x

. Dấu bằng xảy ra

un

1.

x

nghịch biến trên

.
9

.

x

2

f

1

1;

.

2

un

f 1

giảm và bị chặn dưới
lim u n

n

.

1,

2

1

0,



2
2

2 x

2

2 x

f

9

2 un

9

1

* Giả sử

6
2

.

9

1

x

1
2

9
un

un

2

f ' x

.

2

2

un

un

6 ,

un

un

0

a 1

a

0

un
un

. Từ

un,

1

*



n

.

có giới hạn hữu hạn.
un

un
1

2

2 un

5
2

chuyển qua giới hạn ta có.

un


a

a

2

5

a

2

a

2 a

* Vậy

lim u n

Bài 10.

1

.
5 (lo a i )

.

1

Cho dãy số

được xác định bởi:

(u n )

u1



4

2

un

un

1

2

, với

n



*

.Tìm

li m

un

.

1

u 1 .u 2 ...u n

n

Hướng dẫn giải
Với mọi
2

un

n

un
2

...

; ta có.

2

2

4

1

1, 2 , ...

2

2

2

4

4
2

2

un

2

4u n

2

un un

2

2

u n u n 1 ...u 2 u 1 ( u 1

4)

2

4

2

u n .u n

2

1

(u n

4)

1

.

(1).

1 2 u n .u n 1 ...u 1

2

un

Từ (1) ta có:

1

4

12

Mặt khác, vì
n

u1

4

;

2

u 1 .u 2 ...u n

1, 2 , ... (2).

n

u 1 .u 2 ...u n

2

nên từ

2

un

un

1

2

và chứng minh bằng quy nạp ta thu được u n

2

với mọi

0.

Chứng

1, 2 , ... .

Do đó

n

u 1 .u 2 ...u n

2 ;

*



n

.Khi đó,

4

0

4
2

nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có:

4

li m

0

2

n

2n

2

u 1 .u 2 ...u n

;

n

1, 2 , ... .

.

u 1 .u 2 ...u n

2

Vậy, từ (2) suy ra:

un

li m

12

.

u 1 .u 2 ...u n

n

Mặt khác, hàm số

1

f (x)

x

liên tục trên nửa khoảng
2

li m
n

un

1

li m

u 1 u 2 ...u n

Kết luận:

1

12

un

li m

1

.

12

u 1 u 2 ...u n

n

.

u 1 .u 2 ...u n

Bài 11.
1, 0

un

nên.

)

2

1

u 1 u 2 ...u n

n

li m
n

x0

un

[0;

a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực
xn

b) Với dãy

1 n

( xn )

minh rằng dãy

1

và (1

xn )

2

(1

xn

1

)

xn

2

0

1

n

0

thỏa mãn.

1. .

2

xác định như trên, xét dãy

( yn )n

xn

( xn )n

có giới hạn hữu hạn khi

( yn )n

n

0

xác định bởi

yn

x0

. Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

x1

...

xn

n


a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng

xn

xác định duy nhất với mỗi

n

Để làm được điều này ta cần dùng

0.

kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực
(1

t)

2

(1

m)

t

2

m

có đúng một nghiệm trên

m

[ 0 ; 1]

, phương trình

.

[ 0 ;1]

2

b) Để ý rằng

1

yn

2

1

x0

( x0

2

3

Ta có giới hạn cần tìm bằng

1

x1 )

( x1

2

1



x2 )

2

( xn

1

xn )

1

xn

2

1..

n

..

2

Bài 12.

Giả sử

Fn

rằng

n

nếu

là dãy Fibonacci ( F1

1, 2 , ...
Fn

a

với

1

mọi

F2

1; F n

1, 2 , 3, ... thì

n

Fn

1

Fn

dãy

1

với

số

xn

Fn
x1

1

a , xn

1

1

n

). Chứng minh
,

trong

đó

là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn.

1, 2 , 3 ... ,

xn

Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Giả sử

x 1 , x 2 , ..., x m

* Nếu

xm

Giả sử



xm

thì do

1

Từ giả thiết

xm

đã được xác định. Khi đó

F1

F2

i

Fi

2

Fi

1

1
i

Khi đó

1

xm

1

Đặt

zn

xn

u

xn

v

nên

xm

xm

Fn

0

1
i 1

2

1

x

xm

2

x

v

ta viết

1

i

m

2

Fi

1

Fi

i

F2

xm

1

0

,

F3

xm

F1

1

x1

v

xn

, ta có.

x1 ,

1

. Chú ý
1

.

.

F2

.

1

1

2

Fm

1

Fi

3

Fi

2

.

. Như vậy

Fm

có hai nghiệm

u

5

1

( xn )

là dãy số xác định.
5

,v

2

. Khi đó

1

.

x

x1

xm

1

Fn

1

xm

được xác định khi

1

. Mâu thuẫn với giả thiết x 1

1

Trường hợp 2:

1

, với i nào đó,

1

x

Trường hợp 1:

1

i 1

Fm

Phương trình

1; F n

nên

Fm

x1

xm

xm

n

Do đó

xn

1

v
v

xn

. Có hai trường hợp xảy ra:.

2
5

li m x n

1

.

2

n

v
xn

1.

1

v

. Do đó

xn

v,

n

1.


1
zn

xn
1

u

1

xn

xn

(1

1

v

1

u

1

1

u)

(1

v

uxn

v)

2

u

vxn

2

v

uxn

u

vxn

v

.

xn

u

u

xn

v

v

.z n

.

xn

n

Từ đó có
Từ

zn

u

zn

v

xn

u

xn

v

nên

. z1

suy ra

zn

xn

vzn

1

zn

dần tới u khi
5

li m x n

Cho dãy số
yn

1 ).

1

thỏa mãn

yn

(do

n

zn

).

0

.

2

n

Bài 13.

u

(vì

n

v

u

Tức là trong trường hợp này

khi

0

3

y1

có giới hạn bằng 0 khi

0, yn

y1

1

y2

...

yn ,

1.

n

Chứng minh rằng dãy số

.

n

n

Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có
vậy

3

yn

3

yn

1

2

yn

1

,

1

2

yn

2

y2

1

n

1

3

yn

1

yn ,

2

yn

2

yn

3

yn

yn ( yn

n

1)

. Mà

2

1)

0

li m

( yn

1)

1

...

yn

1

2

1

(n

2

1

2

yn

y2

li m

, do đó dãy số

2

yn

2

2

n

n

n

(n

n

2

là dãy tăng, vì.

.
2

y2

1

1)

yn

1

.

nên theo định lý kẹp ta có.

0

2

n

2

yn

li m

n

1

1

Bài 14.

yn

1

n

Cho
un

yn

li m

1

0

.

n

là một dãy số dương. Đặt

un
Sn

1

0

1 un

un

1
1

Sn

với

n

2 , 3 , ....

Sn

Tìm

3

u1

lim u n

3

u2

3

...

un

với

n

Giả sử

1, 2 , ...

.

1

Hướng dẫn giải
Ta có

Sn

1

Nếu dãy số

3

Sn

un

Sn

0, n

1

bị chặn trên thì

Xét trường hợp dãy số

Sn

Từ giả thiết ta có

1

S n 1u n

Từ đây ta thu được
Do đó

un

un
Sn

1

1, 2 , ...

S 2u 2

un
u1

S nu n
S 2u 2

1

0

Sn

Theo nguyên lí kẹp ta có

Sn

là một dãy hội tụ và

không bị chặn trên thì
un

S nu n

là dãy số tăng.

Sn

lim u n

un

0

.

un

1

,n

lim S n

2 , 3, ... .

u1 , n

2 , 3, ... .

S 2u 2

u1

Sn

,n

3

lim u n

2 , 3 , ... .

.

lim S n

1

Sn

0

lim u n

0

.


Vậy trong mọi trường hợp ta đều có

lim u n

.

0

u1

Bài 15.

Cho dãy số
rằng dãy

xác địnhbởi công thức truy hồi:

(u n )

un

1
un

1

1

2,



n

*

.

Chứng minh

un

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

(u n )

Hướng dẫn giải
Đặt

f (x)

1

x

2; g (x)

f ( f ( x ))

1

x

x

1

x

2

1

x

2

. Khi đó.

2

x

2

2

x

2

x

1

2
g '( x )

0

2
4

x

1

x

g (x)

1

g(

)

0

f ( f ( x ))

x,

x

1

(

2

; 1) ( * ) .

.

2

2

x

Mặt khác

f '( x )

0,

x

1

(

nên.

; 1)

2

f (x)

1

f (

1

)

2

f ( f ( x ))

f (

1

2

1

)

2
1

Từ (*) và (**) suy ra:

f ( f ( x ))

,

1

u1

1

u3

x,

x

(

1

li m u 2 n

1

n



1

; 1) ( * * ) . .

2
1

; 1) . .

2

1

u1

u3

1

u5

2

tại

(

2

2

Vậy:

x

, ...

Do đó

(u 2 n

1

)

là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn

2

..

2

f (x)

1

liên tục trên

nên.

;1

2

u2n

f (u 2 n

Vậy dãy
1

bằng

1

)

(u n )

li m u 2 n

f

li m u 2 n

n

n

1

..

1

2

được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy

..

2

Bài 16.
1.

f

2.

f (x)

x

Tìm tất cả các hàm số
y
e

f (x)
x

1 với

f ( y)

mỗi

f :

với mọi


x

x, y




thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.

.

.
Hướng dẫn giải

f

x

f (x

0
(

f (x)
x ))

f (x)

f (0 )
f (

f (0 )
x)

0

và bởi vì

f (x)

f (

x)

f (0 )
0 (1)

e

.

0

1

0

nên

f (0 )

0

.

(u n )

có giới hạn


f (x)

x

f

x

x

f

2

2

2

e

x

f (x)

e2

2

.

1

2

1

f (x)

x

f

x

x

f

2

e4

4

.

1

2
x

Dùng quy nạp theo

n

ta CM được

1, 2 ,

f (x)

2

e

2

n

1

.

x0

.

x0

Cố định

ta có



x0

f ( x0 )

2

n

e

2

n

.

1

x0
x0

Xét dãy

an

2

n

e

2

n

ta có :

1

li m a n

e

li m

2

n

1
2

Vậy

f (x0 )

Vậy

f (x)

x0 ,
f (



x0
x)

x

x)

Kết hợp ( 1) và (3) ta được
Từ (2)
Thử lại

f (

x)

f (x)

x

x

n

.

(2)
(

x0

x0

0 (3)

f (x)

f (x)

.

f (
x (4)

x)

0

.

. Kết hợp ( 2) và (4) ta được

x,

x



.

ta thấy đúng.
x1

Bài 17.

f (x)

Cho dãy số

1,

được xác định như sau

xn

3

xn

giới hạn hữu hạn khi

n

xn

1

.Chứng minh rằng

xn
n

n

2

1

dần đến vô cùng.
Hướng dẫn giải

Dễ thấy

xn

0

, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên.
Ta chứng minh

xn

8,



n

Thật vậy, với

n

1

x1

Giả sử ta có:

xn

8

, với

1

n

*

8

.
nên điều cần chứng minh đúng.

nguyên dương. Ta cần chứng minh
n

Theo công thức xác định dãy số có:

xn

1

k

Do đó

xn

8

3

x1
1

xk
k

2

xn

n

1

1

2
k

1

1

k

2

8

1

.
2 .2

với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.

8

.

xn




1

a1

Bài 18.

Cho dãy số thực

4

xác định bởi

an

an

3

; a2

10

.Chứng minh rằng dãy

2

1

an

an

2

6

3

1

,

 ,n

n

2

có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.

an

Hướng dẫn giải


a1 , a 2

1

0

0 ;1

0

ak

2

, giả sử

1

a 1 , a 2 , ..., a k
2

1

ak

ak

2

6

3

1

 ,k

0 ;1 , k

1

1

1

2

6

3



1,

0

ak

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
x1

Xét hai dãy số mới

xn



0

xk

x1

x2

1

2

1

xk

2

6

xk

1

1,

x3

2

2

3

an



2

1

xn

xn

2

6

3

giả sử ta có

0

yn

0 ;1 ,

1

x2

...

xk

xk

xk

2

6

3

1

xk

0 ;1

nên suy ra

1

Cuối cùng ta chứng minh

xn

Ta có

x1

a1

y1



x2

tức là

xi

ai

yi ,

i

1

xk

xk

Từ

1

2

xn

Bài 19.

6

an

a2

2

3

yn , n

an

y2

1, 2 , ..., k

ak

10
yn

yn

2

6

3

 ,k

1, k

với

2

1

3

n

 ;n

2

.

1

, khi đó.

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có

xn

1

 ,n

1

2
6

3

lim y n

1.

1



n

*

(1) bằng phương pháp quy nạp:.
k

 ,k

2

,

. Khi đó.
2

1

ak

ak

2

6

3

1

2

1

yk

yk

2

6

3

1

yk

1

.

và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được

2, 3,….Tìm

2

n

.

, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới

a n ; bn

li m

, ta cũng có

yn

yn ,

Cho hai dãy số
n

3

2

1

.

Chứng minh tương tự đối với dãy số

xk

3

.

lim x n

1

.

.

1

2

xn

*

2

1

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

Do

1

.

0 ;1

1



n

y2

yn

x1

ak

1

:

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
giới hạn hữu hạn

, ak

y1

4

:
1

1

1

x2

xn

. Từ công thức truy hồi ta có:.

2

bn



xác định bởi a 1
lim
n

2

n

a 1 a 2 ... a n

3, b1

.

Hướng dẫn giải

2

,

1.

lim a n

an

2

1

an

2

2 bn



bn

1

2 a n bn

với n = 1,


Với mọi n = 1,2,3,… ta có.
2

an

bn

1

2

2

1

2

an

2 bn

2

2 a nbn

an

bn

1

2

an

2

bn

2

bn

2

2

1

.

2

Do đó:.
2

an

bn

2

an

bn

1

2

Tương tự ta có:

an

1

Từ đó: a n

2

2

2

2

n

2

n

1

2

n

Mặt khác:

1

; bn

1

2

2

bn

n

n

bn

an

2

2

2

1

2

an

2

1



li m

2

n

2

1

n

n

a 1 a 2 ... a n

=

2

li m

n

bn

n

hay

bn

an

1

(

n

2

2

2

1

4

2

1

3

2

2

(vì

li m

2

1

n

2
1

1

, nên theo nguyên lí kẹp ta có:

b2

.

b3

...

2 b1 2 b 2

bn

1

2 bn

10

1

0

0

ak

2

1

, giả sử

1

ak

ak

2

6

3

a 1 , a 2 , ..., a k

an

an

2

6

3

2
1

 ,k

0 ;1 , k

1

1

1

2

6

3

1,



0

ak

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
x1

+ Xét hai dãy số mới

xn

1

,

 ,n

n

2

y1



yn

- Có

0

x1

1

x2

. Từ công thức truy hồi ta có:.

, ak

an

ak

1

0 ;1 ,

n

0 ;1

1



*

.

.

4

.

2

1

xn

xn

2

6

3

1

,

n

 ,n

2

3

y2

10

:
yn

1

2

1

x2

:
xn

1

yn

yn

2

6

3

1
2

x3

.

2

1

1,

1

,

n

 ,n

giả sử ta có

2

0

x1

x2

...

. Do đó

.Chứng minh rằng dãy

2

1

Hướng dẫn giải
0 ;1

2

1
n

3

có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.

a1 , a 2

bn

1 ).

n

; a2

4

xác định bởi

an

an

+ Ta Có

.

.

1

a 1 a 2 ... a n

2 bn

n

Cho dãy số thực

an

n

1

n

. Suy ra:

1)

a1

Bài 20.

n 1

2

n

2

n

2

2

lim

2

1.

2 a n bn

1

2

3

n

2
n

n 1

2

2

2

n

b1

.

1

2

lim

a1

n

2

bn

n

2

2

...

2

4

lim

n

2

2

n

2
2

Chú ý:

2

xk

1, k

 ,k

3

, khi đó.


xk

2

1

xk

2

6

xk

1

2

3

2

1

xk

xk

2

6

3

1

xk

.

1

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
giới

hạn

hữu

hạn

. Do

2
2

6

Chuyển

3

xn

Ta có

x1

a1

y1



tức là

xi

ai

yi ,

i

1

xk

xk

2

6

3

xn

an

yn , n

+ Từ

Bài 21.

truy

hồi

qua

1

a2

xn

an

x2

2
1

ak

1

2

ak

ak

2

6

3

1

*



n

1

2

1

yk

yk

2

6

3

1

yk

1

.

và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được
1

li m ( 2 0 1 4
n

1.

lim a n

.

)

n!

n

n!

(*)

n

N

*

).

3

Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy: với

n

1

1

, ta có 1

(đúng).

3
k

Giả sử (*) đúng với

n

tức là:

k

k

k!

. Ta đi chứng minh (*) đúng với.

3

1.
k

k

1 !

k! k

k

1

k

k

1

1

(

)

k

1

3

.

3

3

k
1

(1

)

k

k

1

k

1

k

1

1

1

(1

2!
1

1

1

...

1
1

1
2

)

.

1
k

1

...
1

1

1

...

2

k (k

2

) (1

k
1
2

1) ( k

2 ) ....( k

k

1)

.

k!

1

(1

k!

n!
3

1)

2!

k

2!
1

k (k

) ...(1

k

k
1

...
2

n 1

1

1
k

)

k
1

1

1
2

1

...
2

n 1

)

3

k

Bất đẳng thức cuối này đúng vì:.
1

1

(

k

1

được

(1) bằng phương pháp quy nạp:.

. Khi đó.

1

 ,n

Tìm giới hạn:

yn ,

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

Ta có

tìm

1.

lim y n

, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới

y2

1, 2 , ..., k

, ta cũng có

yn

n

k

hạn

.

Hướng dẫn giải

n

giới

1

- Cuối cùng ta chứng minh

1

thức

nên suy ra

0 ;1

- Chứng minh tương tự đối với dãy số

xk

công

3

2

1

.

lim x n

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có

xn

..

.

2

k

1

.

k

 ,k

2

,


n

Vậy (*) đúng với

n

k

1.

Do đó

n!

n

, từ đây ta suy ra

n

n

1

3

n!

n

. Vì

3
lim
n

0

.

n

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra:
1

li m ( 2 0 1 4
n

n!

)

=2014.

1

lim
n

Vậy

n
3

3

=> 0

n!>

n

n!

= 0.

.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×