Tải bản đầy đủ (.pdf) (82 trang)

ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA (10)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.92 MB, 82 trang )

TểM TT Lí THUYT V GII NHANH TON 12
Nguyn Chin - Nguyn Hng Quõn
PHặN 1. HM S
S NG BIN NGHCH BIN CA HM S
1. nh nghùa

x1, x 2 K , x 1 x 2 ( K l khoõng hoc on hoc na khoõng).



f x f x y f x nghch bin trờn K th i xung t trỏi sang phõi.
Chỳ ý: + N u f x 0, x a;b hm s f x ng bi n tr n khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a; b hm s f x nghch bi n trờn khoõng a;b .
+ N u f x 0, x a;b hm s f x h ng i trờn khoõng a;b .
+ N u f x ng bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
+ Nu f x nghch bi n trờn khoõng a;b f x 0, x a;b .
f x1 f x 2 y f x ng bin trờn K th i lờn t trỏi sang phõi.
1

2

2. Quy tc v cụng thc tớnh ọo hm





Quy tc tớnh o hm: Cho u u x ; v v x ; C : l hỡng s .

u v.



Tớch: u.v u .v v .u C .u C .u .


Tng, hiu: u v

u u .v v .u
C
C .u

,
v

0






v2
u2
v
u
o hm hm hp: Nu y f u , u u x yx yu .ux .



Thng:








Bõng cụng thc tớnh ọo hm:
ọo hm ca hm s cỗp

C 0

(C l hỡng s).

x .x


x .x


1

u . u


1

1
1
2 (x 0)
x

x

1
x
x 0
2 x



ọo hm ca hm hp



1

.u

1
u
2 u 0
u
u

u
u
u0
2 u












sin x cos x

sin u u.cos u

cos x sin x

cos u u.sin u

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 1






tan x cos1 x

tan u cosu

cot x sin1 x


cot u sin

e e
a a .ln a
ln x x1

e u.e
a u.a .ln a
ln u uu

log x x ln1 a

u
log u u.ln
a

2

2

x

u

x

x

a


u
u
2

u

u

u

x

2

u

a

Cụng thc tớnh nhanh o hm hm phõn thc:

a b
ax b
ad bc
. ;


2
cx d
cx d






x2 2

a c

x

d f
ax 2 bx c d e
2

dx ex f
dx 2 ex f





2

b c
e f

.

o hm cp 2 :




+ nh nghùa: f x f x



+ í nghùa c hc: Gia tc tc thi cỷa chuyn ng s f t tọi thi im t 0 l:





a t0 f t0 .
* Mt s chỳ ý:






Nu hm s f x v g x cựng ng bin (nghch bin) tr n K thỡ hm s





f x g x

cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu






f x g x .





K thỡ hm s f x .g x cỹng ng bin (nghch bin) tr n K. Tớnh chỗt ny cũ th
kh ng ỳng khi cỏc hm s f x , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K.
Cho hm s u u x , xỏc nh vi x a;b v u x c;d . Hm s f u x
cỹng xỏc nh vi x a;b .

Nu hm s f x v g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n

Quy tc xột tớnh n iu ca hm s.
Giõ s hm s f cũ ọo hm trờn K




hm s f ng bin trờn K .




Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K thỡ






Nu f ' x 0 vi mi x K v f ' x 0 chợ tọi mt s hu họn im x K
thỡ hm s f nghch bin trờn K .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 2


Chỳ ý:
* i vi hm phõn thc hu tợ y

ax b
d
x thỡ dỗu " " khi xột dỗu ọo
cx d
c

hm y khụng xõy ra.





Giõ s y f x ax 3 bx 2 cx d f x 3ax 2 2bx c.
Hm s ng bin trờn




f x 0; x

Hm s nghch bin trờn

a 0

0
a 0 .

b 0

c 0



f x 0; x



a 0

0
a 0 .

b 0

c 0


Trỵng hp 2 thỡ h s c khỏc 0 vỡ khi a b c 0 thỡ f x d
(ỵng thợng song song hoc trựng vi trýc Ox thỡ kh ng n iu)
* Vi dng toỏn tỡm tham s m hm s c a n iu mt chiu trờn khoõng cũ
di bng l ta giõi nh sau:





Bỵc 1: Tớnh y f x ; m ax 2 bx c.
Bỵc 2: Hm s n iu trờn

0

a 0

x ; x y 0 cú 2 nghim phõn bit
1

2

*

Bỵc 3: Hm s n iu trờn khoõng cũ di bỡng l



x1 x 2 l x1 x 2




2

4x1x 2 l 2 S2 4P l 2

* *





Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * suy ra giỏ tr m cổn tỡm.

CC TR HM S
1. nh nghùa
Giõ s hm s f xỏc nh tr n tờp K v x 0 K .



+ x0 l im cc tiu cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a; b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cc tiu cỷa hm s f .
0

0

0




+ x 0 l im cc ọi cỷa hm s f nu tn tọi mt khoõng a;b cha x 0 sao cho

a; b K v f x f x , x a;b \ x .
0

0



Khi ũ f x 0 ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f .
+ im cc ọi v im cc tiu gi chung l im cc tr.
+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu gi chung l cc tr.
+ im cc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cc tr ca hm s v im
cc tr phõi l mt im trong tờp hp K.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 3


+ Giỏ tr cc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cc tr (hay cc tr)
ca hm s.





+ Nu x0 l im cc tr cỷa hm s thỡ im x 0 ; f (x 0 ) ỵc gi l im cc tr
ca th hm s f .

2. iu kin cổn hm s ọt cc tr

cũ ọo hm



nh lớ 1: Giõ s hm s y f x ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu y f x



tọi im x 0 thỡ f x 0 0.
Chỳ ý:




ọo hm f x cú th bỡng 0 tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng ọt cc tr tọi
im x0 .

Hm s cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
Hm s chợ cú th ọt cc tr tọi mt im m tọi ũ ọo hm cỷa hm s bỡng 0
hoc tọi ũ hm s kh ng cũ ọo hm.
3. iu in hm s ọt cc tr
nh lớ 2: Giõ s hm s f ọt cc tr tọi im x 0 . Khi ũ, nu hm s f cũ ọo hm tọi




v f x 0 trờn khoõng
x ; x h thỡ x l m t i m cỵc ai cỷa hm s f x .

N u f x 0 trờn khoõng x h; x v f x 0 trờn khoõng x ; x h thỡ
x l m t i m cỵc ti u cỷa hm s f x .




im x 0 thỡ f ' x0 0 . N u f x 0 tr n khoõng x 0 h; x 0
0

0

0

0

0

0

0

0

Quy tc tỡm cc tr
Quy tc 1:


i 1;2;...




Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc im x i

m tọi ũ o hm ca hm s bng 0 hoc

hm s liờn tc nhng khụng cũ o hm.




i du khi i

Bc 3: Lờp bõng bin thiờn hoc bõng xột dỗu f x . Nu f x
qua x i thỡ hm s ọt cc tr tọi x i .


Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s
Nu f x 0, f x 0 thỡ hm s





nh lớ 3: Giõ s y f x cú ọo hm cồ p 2 trong khoõng x 0 h; x 0 h vi h 0.




0

0

f ọt cc ọi tọi x 0 .

0

0

f ọt cc tiu tọi x 0 .

T nh lớ trờn, ta cũ mt quy tc khỏc tỡm cc tr ca hm s
Quy tc 2:





Bc 1: Tỡm tờp xỏc nh. Tỡm f x .



Bc 2: Tỡm cỏc nghim x i i 1;2;... cỷa phỵng trỡnh f x 0.



Bc 3: Tớnh f x v tớnh f x i .









Nu f x 0 thỡ hm s f
Nu f x 0 thỡ hm s f





i

ọt cc ọi tọi im x i .

i

ọt cc tiu tọi im xi .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 4


MT S DNG TON LIấN QUAN N CC TR HM S
I. CC TR CA HM A THC BC BA:
1. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha món honh cho trc






i to n t ng quat: Cho hm s y f x ; m ax 3 bx 2 cx d. Tỡm tham s m hm
s cú cc ọi, cc tiu tọi x 1, x 2 thúa món iu kin K cho trỵc.
Phng phỏp:

c 1:
Tờp xỏc nh: D .
2
2
ọo hm: y 3ax 2bx c Ax Bx C
c 2:
Hm s cú cc tr (hay cú hai cc tr, hai cc tr phõn bit hay cú cc ọi v cc tiu)
y 0 cú hai nghim phõn bit v y i dỗu qua 2 nghim ũ


phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit



A 3a 0
a 0


m D1.
2
y B 2 4AC 4b 2 12ac 0

b 3ac 0





c 3: Gi x 1, x 2 l hai nghim cỷa phỵng trỡnh y 0.

B
2b

x 1 x 2 A 3a
.
Khi ũ:
C
c
x .x


1 2 A 3a
c 4: Bi n i i u ki n K v da ng t ng S v ti ch P . T ú giõi ra tỡm ỵc
m D2 .
c 5: K t luồn cỏc giỏ tr m thúa món: m D1 D2 .





* Chỳ ý: Hm s bờc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0 .
2

Ta cú: y ' 3ax 2bx c.

iu kin

Kt lun
Hm s kh ng cũ cc tr.
Hm s cũ hai im cc tr.

b 3ac 0
b 2 3ac 0
2

iu kin hm s cú cc tr cựng du, trỏi du.
Hm s cú 2 cc tr trỏi du
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac 0.




Hm s cú hai cc tr cựng du

y 0

phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit cựng dỗu
C
0
P x 1.x 2

A



Hm s cú hai cc tr cựng du dng


y 0

B
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim dỵng phồn bit S x 1 x 2 0
A

C
P x .x
0
1 2

A
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 5




Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm


 y '  0

B
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm âm phân biệt  S  x 1  x 2    0

A

C
P  x .x 
0
1 2

A
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x 2 thỏa mãn:
x1    x 2
x1  x 2  

  x1  x 2


Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1    x 2











 x1   x 2    0  x1.x 2   x1  x 2   2  0





Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn x1  x 2  















2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1

 1
Hai căc trð x 1, x 2 thóa mãn   x1  x 2







2


 x   x2    0
x .x   x1  x 2    0
 1
 1 2
x  x 2  2
x  x 2  2


 1
 1



PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng

khi có 1 nghiệm là x 

b

d
, có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là x   3
.
3a
a

2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng
i tri tương đ i giưa 2 điêm vơi đương th ng:



 
 và đþąng thëng  : ax  by  c  0.
 c ax  by  c   0 thi hai điểm A, B nëm v

Cho 2 đi m A x A; yA , B x B ; yB



N u ax A  byA

B

B

hai phía so vĄi đþĄng thëng .








N u ax A  byA  c ax B  byB  c  0 thi hai điểm A, B nëm cu ng
phía so vĆi đþĄng thîng .

Một số trương hơp đ c biêt:
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 căc trð trái dçu
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm trái dçu
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phþĄng trình y   0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 6


c bit:
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa trờn i vi trc Ox

y .y 0
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
Cỏc im cc tr cỷa th nỡm cựng v phớa di i vi trc Ox

y .y 0

.
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v C CT
yC yCT 0
+ Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
phỵng trỡnh y 0 cú hai nghim phõn bit v yC .yCT 0
(ỏp dung khi khụng nh m c nghiờm v vit c phng trỡnh ng thng i qua hai
im cc tr ca th hm s)
Hoc: Cỏc im cc tr cỷa th nỡm v 2 phớa i vi trc Ox
th cớt trýc Ox tọi 3 im phõn bit



phỵng tri nh honh giao i m f x 0 co 3 nghi m phõn bi t (ỏp dung khi
nh m c nghiờm)
3. Phng trỡnh ng thng qua c c im cc tr

2c 2b 2
y.y
y .y
bc
hoc g x 9ay
hoc g x y
g x
x d
2
3y
9a
9a
3






Khoõng cỏch gia hai im cc tr ca th hm s c 3 l

AB

b 2 3ac
4e 16e 3
vi e
a
9a

II. CC TR CA HM BC 4 TRNG PHNG y ax bx c
4

2

a 0

MT S KT QU CặN NH
Hm s cú mt cc tr ab 0.
Hm s cú ba cc tr ab 0.

a 0
.
b 0
a 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc ọi

.
b 0
a 0
Hm s cú hai cc tiu v mt cc ọi
.
b 0
a 0
Hm s cú mt cc tiu v hai cc ọi
.
b 0
Hm s cũ ỳng mt cc tr v cc tr l cc tiu



4
2
Giõ s hm s y ax bx c cú 3 cc tr: A(0;c), B




tọo thnh tam giỏc ABC thúa món d kin: ab 0 .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 7

b

b


; ,C ;
2a 4a
2a 4a


MT S CễNG THC GII NHANH
y

Tng quỏt:



b 3
cot

2
8a
2

A
O

x

B

C

Cụng thc tha món ab 0


D kin
Tam gi{c ABC vuụng c}n ti A

b 3 8a
b 3 24a
32a 3 (S 0 )2 b 5 0

Tam gi{c ABC u
Tam gi{c ABC cú din tớch S ABC S 0
Tam gi{c ABC cú din tớch max (S 0 )

S0

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ni tip

rABC r0

Tam gi{c ABC cú b{n kớnh ng trũn ngoi tip

r

b5
32a 3

b2

b3

4 a 1 1


8a


b 3 8a

RABC R

R

Tam gi{c ABC cú d|i cnh BC m0

am02 2b 0

Tam gi{c ABC cú d|i AB AC n0

16a 2n02 b 4 8ab 0

Tam gi{c ABC cú cc tr B,C Ox
Tam gi{c ABC cú 3 gúc nhn

b 2 4ac
b(8a b 3 ) 0

Tam gi{c ABC cú trng t}m O
Tam gi{c ABC cú trc t}m O

b 2 6ac
b 3 8a 4ac 0
b 2 2ac

b 3 8a 4abc 0
b 3 8a 8abc 0
b 3 .k 2 8a(k 2 4) 0

Tam gi{c ABC cựng im O to th|nh hỡnh thoi
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ni tip
Tam gi{c ABC cú O l| t}m ng trũn ngoi tip
Tam gi{c ABC cú cnh BC kAB kAC
Trc ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh
hai phn cú din tớch bng nhau

b 2 4 2 ac

Tam giỏc ABC cũ im cc tr cỏch u trýc honh

b 2 8ac



th hm s C : y ax 4 bx 2 c cớt trýc Ox tọi
4 im phồn bit lờp thnh cỗp s cng
nh tham s hỡnh phợng gii họn bi th

C : y ax

4

8ab

bx 2 c v trýc honh cũ din tớch


phổn tr n v phổn dỵi bỡng nhau.

b2

100
ac
9

b2

36
ac
5

2

2

c y c
0
b 4a

b 4a

2
2
Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674


Page | 8


GI TR LN NHầT - GI TR NH NHầT
I. nh nghùa.



Cho hm s y f x xỏc nh trờn tờp D.

f (x ) M , x D
x 0 D, f (x 0 ) M



S M gi l giỏ tr ln nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
Kớ hiu: M max f ( x) .
xD


f (x ) m, x D
x D, f (x 0 ) m

0



S m gi l giỏ tr nh nht cỷa hm s y f x trờn D nu:
Kớ hiu: m min f (x ) .

x D

2. Phng phỏp tỡm GTLN,GTNN
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s bng cỏch khõo sỏt trc tip






Bc 1: Tớnh f x v tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n D m tọi ũ f x 0 hoc hm s

kh ng cũ ọo hm.
+ Bc 2: Lờp bõng bin thi n v ri suy ra giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hm s.
* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt oọn
Bc 1:



Hm s ó cho y f x xỏc nh v liờn týc tr n oọn a;b .







Tỡm cỏc im x1, x 2,..., x n trờn khoõng a;b , tọi ũ f x 0 hoc f x
kh ng xỏc nh.








Bc 2: Tớnh f a , f x1 , f x 2 ,..., f x n , f b .



Bc 3: Khi ũ:



min f x min f x , f x ,..., f x , f a , f b .

max f x max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b .
a ,b

1

a ,b

n

2

* Tỡm GTLN, GTNN ca hm s tr n mt hoõng
Bc 1: Tớnh ọo hm f (x ) .
Bc 2:


Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh

f (x ) 0 v tỗt cõ cỏc im i (a;b) lm cho f (x ) kh ng xỏc nh.
Bc 3. Tớnh A lim f (x ) , B lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) .
x a

Bc 4.

x b

So sỏnh cỏc giỏ tr tớnh ỵc v kt luờn M max f (x ) , m min f (x ) .
(a ;b )

(a ;b )

Nu giỏ tr ln nht (nhú nht) l A hoc B thỡ kt lun khụng cũ giỏ tr ln nht (nhú nht).






min f x f a
a ;b
+ N u y f x ng bi n trờn a;b thỡ
.
f x f b
max
a ;b

min f (x ) f b
a ;b
.
+ N u y f x nghich bi n trờn a;b thỡ
f (x ) f a
max
a ;b





Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 9


NG TIM CN CA TH HM S
1. ng tim cn ngang
Cho hm s y f (x ) xỏc nh trờn mt khoõng vụ họn (l khoõng dọng

a; , ;b





hoc ; ). ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tim

cờn ngang) cỷa th hm s y f (x ) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau thúa món:


lim f (x ) y0, lim f (x ) y0

x

x

2. ng tim cn ng
ỵng thợng x x 0 ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cờn ng) cỷa
th hm s y f ( x) nu ớt nhỗt mt trong cỏc iu kin sau ỵc thúa món:

lim f (x ) , lim f (x ) , lim f ( x) , lim f ( x)

x x 0

x x0

x x 0

Lu ý: Vi th hm phồn thc dọng y
ngang l y

ax b
cx d

x x0

c 0; ad bc 0

lu n cũ tim cờn


a
d
v tim cờn ng x .
c
c

KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
1. S hõo sỏt hm s



Cho hm s y f x .



Tỡm tp xỏc nh ca hm s.
S bin thiờn
Chiu bin thi n.
i. Tớnh y ' .
ii. Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trỡnh y ' 0 v cỏc im tọi ũ y ' khụng
xỏc nh.
iii. Xột dỗu y ' v suy ra cỏc khoõng bin thi n cỷa hm s.





Tỡm cc tr (nu cũ).
Tỡm cỏc gii v cc; cỏc gii họn tọi , v tọi cỏc im m hm s


kh ng xỏc nh.
Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm s (nu cũ).
Lờp bõng bin thi n.
th.
Lit k cỏc im c bit ( im cc ọi, im cc tiu, tồm i xng,)
Xỏc nh giao im cỷa (C) vi Ox, Oy (nu cũ).
V th.

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 10


2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC:

a  0

a) HÀM SỐ BẬC BA y  ax 3  bx 2  cx  d
TRƯỜNG HỢP

a0

a 0

Phương trình y  0 có
/

y


y

2 nghiệm ph n iệt

1
1

O

x

1
1

O
/
Phương trình y  0 có

x

y

y

nghiệm kép

1
1

1


O

x

1

O

Phương trình y /  0 vô

x

y

y

nghiệm
1

O

1
x

1
1

O


x

b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax 4  bx 2  c
TRƯỜNG HỢP
Phương trình y  0 có
/

a  0
a0

a 0
y

y

3 nghiệm ph n iệt
1
1

1

O

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 11

x

O


1
x


Phng trỡnh y / 0 cú

y

y

1 nghim.
1
1
1

O

x

1

O

c) HM S NHầT BIN y

ax b
cx d

x


c 0, ad bc 0

D ad bc 0

D ad bc 0

MT S PHẫP BIN I TH

Dọng 1:
Ta cú



f x
y f x
f x









T th C : y f x suy ra th C : y f x .

khi x 0
khi x 0


l hm chn n n th C nhờn Oy lm trýc i xng.

v y f x





* Cỏch v C t C :





+ Gi nguyờn phổn th b n phõi Oy cỷa th C : y f x .



+ Bú phổn th bờn trỏi Oy cỷa C , lỗy i xng phổn th c gi qua Oy.



suy ra th C : y x 3 x .
Bin i C :
+ Bú phổn th cỷa C bờn trỏi
Oy, gi nguyờn C bờn phõi Oy.

Vớ d: T th C : y f x x 3 3x


y

C : y x

2

3

3x

1

O

-1

x

-2

C : y x

y

+ Lỗy i xng phổn th ỵc
gi qua Oy .

-1

1


O

x

-2

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

3

Page | 12

3

3x


 



 
f x   0
f x   0

 

Däng 2:


Tÿ đồ thð C : y  f x suy ra đồ thð C  : y  f x .

Nội dung:

Ta có:

 

 

 

 
 


f x
y f x 
f x



khi
khi

* Cách vẽ C  từ C :

 

+ Giữ nguyên phæn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y  f x .

+ Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.

 

 

Ví dụ: Tÿ đồ thð C : y  f x  x3  3x

y

C  : y  x

2

suy ra đồ thð y  x  3x .
3

3

 3x

1

 

Biến đổi C :

-1

  dþĆi


+ Bó phæn đồ thð cûa C

 

O

x

-2

Ox , giĂ nguyên C phía trên Ox.
y

+ Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó
qua Ox .

C  : y  x

2

-1

O

1

3

 3x


x

  ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y  f  x  và y  f x 

Chú ý vĆi däng: y  f x
Ví dụ: Tÿ đồ thð

C  : y  f x   x

y
3

C  : y 

 3x suy ra đồ thð
2

 

3

3

x 3x

y  x  3 x . Biến đổi C để đþợc đồ

 
C  : y  x

C  : y  x

thð C  : y  x
3

3

 3 x . Biến đổi

 3 x ta đþợc đồ thð
3

-1

O

1

x

3x .

 
  
 
 

khi u x   0
u x  .v x   f x 
Ta có: y  u  x  .v x   

u x .v x  f x  khi u x   0

    
* Cách vẽ C   từ  C  :
+ Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa đồ thð C  : y  f x  .
+ Bó phæn đồ thð tr n miền u  x   0 cûa C  , lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox.
Däng 3:

Tÿ đồ thð C : y  u x .v x suy ra đồ thð C  : y  u x .v x .

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 13


Vớ d



suy ra th C : y x 1 2x

a) T th C : y f x 2x 3 3x 2 1
2





f x
y x 1 2x 2 x 1

f x









x 1

khi x 1
khi x 1

th (C):
+ Gi nguy n (C) vi x 1 .
+ Bú (C) vi x 1 . Lỗy i xng phn
th ú qua Ox.
(C')





b) T th C : y f x



ra th C : y


x
suy
x 1

x
x 1

x


y
x 1
x 1 x

x 1


khi x ;1

khi x 1;

x

th (C):

.

vi x 1 ,


+ Bú phổn th cỷa C

vi

gi nguy n C

x 1.

+ Lỗy i xng phổn th b bú qua

y

Ox.
y

1

O

1

1

x

O
1

x


(C)

Nhờn xột: Trong quỏ trỡnh thc hin phộp
suy th n n ly i xng cỏc im c
it cỷa (C): giao im vi Ox, Oy, C, CT

Nhờn xột: i vi hm phồn thc thỡ n n
ly i xng cỏc ng tim cn thc
hin phộp suy th mt cỏch tỵng i
chớnh xỏc.

TIP TUYN

1. Tip tuyn : Cho hm s y f x , cũ th (C). Tip tuyn cỷa





x x y .
Trong ũ: im M x ; y (C ) ỵc gi l tip im. ( vi y f x ).
k f ' x l h s gúc cỷa tip tuyn.
2. iu in tip xỳc: Cho hai hm s C : y f x v C ' : y g x
f x g x
th C v C tip xỳc nhau khi chợ khi h phỵng trỡnh:
cũ nghim.
f x g x
th (C) tọi im M 0 x 0 ; y0 (C ) cũ dọng: y y x 0
0


0

0

0

0

0

0

0

/

/

y

TNG GIAO TH
Cho hm s y f (x ) cũ th (C 1 ) v y g(x ) cũ th (C2 ) .
Phỵng trỡnh honh giao im cỷa (C 1 ) v (C2 )



l f (x ) g(x ) 1 . Khi ũ:
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 14


y0
x0 O

x


S giao im cỷa (C1 ) v (C 2 ) bỡng vi s nghim

cỷa phỵng trỡnh 1 .



Nghim x 0 cỷa phỵng trỡnh 1 chớnh l
honh x 0 cỷa giao im.
tớnh tung y 0 cỷa giao im, ta thay honh x 0 vo





y f x hoc y g x .
im M x0 ; y0 l giao im cỷa (C 1 ) v (C 2 ) .

IM C BIT CA H NG CONG
1.

Bi toỏn tỡm im c nh ca h ng cong
Xột h ỵng cong (C m ) cũ phỵng trỡnh y f (x, m) , trong ũ f l hm a thc theo


bin x vi m l tham s sao cho bờc cỷa m khụng quỏ 2. Tỡm nhng im c nh thuc h
ỵng cong khi m thay i?
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: ỵa phỵng trỡnh y f ( x, m) v dọng phỵng trỡnh
theo ốn m cũ dọng sau: Am B 0 hoc Am2 Bm C 0 .
+ Bc 2: Cho cỏc h s bỡng 0 , ta thu ỵc h phỵng trỡnh v giõi h phỵng trỡnh:

A 0
A 0

hoc B 0 .

B 0
C 0

+ Bc 3: Kt luờn:
- Nu h v nghim thỡ h ỵng cong (C m ) kh ng cũ im c nh.
- Nu h cũ nghim thỡ nghim ũ l im c nh cỷa (C m ) .
2.

Bi toỏn tỡm im cũ ta nguy n:
Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) (hm phồn thc). Hóy tỡm nhng im

cũ ta nguy n cỷa ỵng cong?
Nhng im cũ ta nguyờn l nhng im sao cho cõ honh v tung ca
im ũ u l s nguyờn.
Phng phỏp giõi:
+ Bc 1: Thc hin phộp chia a thc chia t s cho mộu s.
+ Bc 2: Lờp luờn giõi bi toỏn.
3. Bi toỏn tỡm im cũ tớnh chỗt i xng:

Cho ỵng cong (C ) cũ phỵng trỡnh y f (x ) . Tỡm nhng im i xng nhau qua mt
im, qua ỵng thợng.





Bi toỏn 1: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

tỡm nhng cp im

i xng nhau qua im I (x I , yI ) .


Phng phỏp giõi:





+ Gi M a; Aa 3 Ba 2 Ca D , N b; Ab 3 Bb 2 Cb D
xng nhau qua im I .

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 15

l hai im tr n C i




a b 2x I
.
A(a 3 b 3 ) B a 2 b 2 C a b 2D 2yI


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M, N.
+ Ta cú













tỡm

l hai im tr n

C

Trng hp c bit : Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D . Trờn th C
nhng cp im i xng nhau qua gc ta .
Phng phỏp giõi:






Gi M a, Aa 3 Ba 2 Ca D , N b, Ab 3 Bb 2 Cb D





i xng nhau qua gc ta .


a b 0
.
3
3
2
2
A
(
a

b
)

B
a


b

C
a

b

2
D

0


Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc a, b t ũ tỡm ỵc toọ M , N .
Ta cú

















Bi toỏn 3: Cho th C : y Ax 3 Bx 2 Cx D trờn th C

tỡm nhng cp im

i xng nhau qua ng thng d : y A1x B1 .
Phng phỏp giõi:







Gi M a; Aa3 Ba2 Ca D , N b; Ab3 Bb2 Cb D



l hai im tr n

C

i

xng nhau qua ỵng thợng d .

I d
(1)
(vi I l trung im cỷa MN v u d l vect chợ phỵng
MN .u d 0 (2)

cỷa ỵng thợng d ). Giõi h phỵng trỡnh tỡm ỵc M, N.
Ta cú:



4.

Bi toỏn tỡm im c bit, hoõng cỏch
Lý thuyt:





+ Cho hai im A x1; y1 ; B x 2 ; y2



Cho im M x 0 ; y0





h M ;d



A B


2

2

x1

y
2

2

y1



2

ax b
tip tuyn tọi M cớt TC, TCN A v B thỡ M l trung
cx d

Din tớch tam giỏc IAB kh ng i: SIAB


x

.

+ Cho hm phồn thc: y
im cỷa AB.


AB

v ỵng thợng d : Ax By C 0 , thỡ khoõng cỏch t M n d l

Ax 0 By0 C
2



2
ad bc .
c2

Cỏc bi toỏn thng gp:

Bi toỏn 1: Cho hm s y

ax b
cx d

c 0, ad bc 0 cũ th C . Hóy tỡm trờn (C )

hai im A v B thuc hai nhỏnh th hm s sao cho khoõng cỏch AB ngn nht.
Phng phỏp giõi:
+

C cũ tim cờn ng x dc

do tớnh chỗt cỷa hm phồn thc, th nỡm v hai phớa


cỷa tim cờn ng. N n gi hai s , l hai s dỵng.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 16


d
d
d
x A ; yA f (x A ) .
c
c
c
d
d
d
Nu B thuc nhỏnh phõi: x B x B ; yB f (x B ) .
c
c
c
Nu A thuc nhỏnh trỏi: x A






y
2




2



Sau ũ tớnh: AB 2 x B x A



p dýng bỗt ợng thc Cauchy s tỡm ra kt quõ.

B



Bi toỏn 2: Cho th hm s C

yA





2






2

a a yB yA .





cũ phng trỡnh y f (x ) . Tỡm ta im M

thuc (C ) tng khoõng cỏch t M n hai trc ta nhú nht.


Phng phỏp giõi:




Gi M x ; y v tng khoõng cỏch t M n hai trýc ta l d thỡ d x y .

Xột cỏc khoõng cỏch t M n hai trýc ta khi M nỡm cỏc v trớ c bit:
Tr n trýc honh, tr n trýc tung.
Sau ũ xột tng quỏt, nhng im M cũ honh , hoc tung ln hn honh
hoc tung cỷa M khi nỡm tr n hai trýc thỡ loọi i kh ng xột n.
Nhng im củn lọi ta ỵa v tỡm giỏ tr nhú nhỗt cỷa thi hm s da vo ọo
hm ri tỡm ỵc giỏ tr nhú nhỗt cỷa d .
Bi toỏn 3: Cho th (C ) cũ phng trỡnh y f ( x) . Tỡm im M trờn (C ) sao cho



khoõng cỏch t M n Ox ng k ln khoõng cỏch t M n trcOy .


Phng phỏp giõi:




f x kx
.

f x kx
y kx
(C )

th
hm
s
y kx

Theo ổu bi ta cũ y k x
Bi

y f ( x)

toỏn

4:

Cho




phng

trỡnh

ax b
c 0, ad bc 0 . Tỡm ta im M trờn (C ) sao cho di MI ngn
cx d

nht (vi I l giao im hai tim cn).
Phng phỏp giõi:



d
a
; tim cờn ngang y .
c
c
d a
; cỷa hai tim cờn.
Ta tỡm ỵc ta giao im I
c c
Tim cờn ng x

2





2


d
a
Gi M x M ; yM l im cổn tỡm. Khi ũ: IM x M yM g x M
c
c

S dýng phỵng phỏp tỡm GTLN - GTNN cho hm s g thu ỵc kt quõ.
2

Bi toỏn 5: Cho th hm s (C ) cũ phng trỡnh y f (x ) v ng thng

d : Ax By C 0 . Tỡm im I trờn (C ) sao cho khoõng cỏch t I n d l ngn nht.


Phng phỏp giõi:





Gi I thuc (C ) I x 0 ; y0 ; y0 f (x 0 ) .



Khoõng cỏch t I n d l g(x 0 ) h I ; d


Ax 0 By 0 C
A2 B 2

Khõo sỏt hm s y g(x ) tỡm ra im I thúa món y u cổu.
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 17


PHặN II. M V LOGARIT
LY THA V HM S LY THA.
1. KHI NIM LY THA.
Ly tha vi s m nguyờn.
Cho n l mt s nguy n dỵng.
Vi a l s thc tựy ý, lỹy tha bờc n cỷa a l tớch cỷa n tha s a .
a n a.a......a ( n tha s).
n

Vi a 0.

a n

a0 1

1
an

Ta gi a l c s, m l mỹ s. V chỳ ý 00 v 0 n kh ng cũ nghùa.


+ Mt s tớnh cht ca ly tha
Giõ thuyt rỡng mi biu thc ỵc xột u cũ nghùa:

a a a ;

a
a ; (a ) a . ; (ab) a b ;
a






a
b
a a

;






b
b
b



a


Nu a 1 thỡ a a ;


Nu 0 a 1 thỡ a a .

Vi mi 0 a b , ta cú: a m bm m 0 ; a m bm m 0
Chỳ ý:
+ Cỏc tớnh chỗt tr n ỳng trong trỵng hp s mỹ nguy n hoc kh ng nguy n.
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ 0 v s mỹ nguy n ồm thỡ c s a phõi khỏc 0 .
+ Khi xột lỹy tha vi s mỹ kh ng nguy n thỡ c s a phõi dỵng.
Phng trỡnh x n b.
Ta cú kt quõ bin luờn s nghim cỷa phỵng trỡnh xn b nhỵ sau:
Trỵng hp n l:
Vi mi s thc b , phỵng trỡnh cũ nghim duy nhỗt.
Trỵng hp n chùn:
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh v nghim.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ mt nghim x 0.
+ Vi b 0 , phỵng trỡnh cũ hai nghim trỏi dỗu, kớ hiu giỏ tr dỵng l
giỏ tr õm l b .
n

Mt s tớnh chỗt ca cn bc n
Vi a,b ;n
+

+


2n

2n

+ 2n

*

, ta cú:

a 2n
a a ;

ab 2n
a 2n
b , ab 0 ;
a

b


a
, ab 0,b 0 ;
2n

b

+

+


2n 1

a 2n 1 a a .

2n 1

ab 2n 1 a 2 n 1 b a ,b .

2n

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

+ 2n 1

a

b

Page | 18

2n 1

a

2n 1

b

a, b 0 .


n

b , cũn


+
+
+

n

a m   n a  , a  0 , n nguy n dþĄng, m nguyên.
m

n m

a  nm a , a  0 , n , m nguy n dþĄng.

Nếu

p q
thì

n m

Đðc biệt:

n


n

a p  m a q , a  0, m, n nguy n dþĄng p, q nguyên.

a  mn a m .

2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
 Khái niệm.

Xét hàm số y  x , vĆi  là số thăc cho trþĆc.


Hàm số y  x , vĆi  

, đþợc gọi là hàm số lüy thÿa.

Chú ý.

Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x tùy thuộc vào giá trð cûa  . Cý thể.

 VĆi  nguy n dþĄng, têp xác đðnh là

.

 VĆi  nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là



\0 .




 VĆi  không nguyên, têp xác đðnh 0;  .
 Khảo sát hàm số lũy thừa.




 Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y  x luôn chĀa khoâng 0; 


. Trong trþąng hợp tổng quát, ta khâo sát hàm số y  x trên khoâng này.

vĆi mọi  

y  x  ,   0.



y  x  ,   0.







1. Têp xác đðnh: 0;  .

1. Têp xác đðnh: 0;  .


2. Să biến thiên

2. Să biến thiên

y '   .x

 1

0

y '   .x  1  0

x  0.

GiĆi hän đðc biệt:


lim x  0,

x 0

lim x   , lim x  0.

lim x  .

x 

y’
y


x 

x 0



0

x  0.

GiĆi hän đðc biệt:


Tiệm cên: không có.
3. Bâng biến thiên.

x





Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
Oy là tiệm cên đĀng.
3. Bâng biến thiên.

x




y’
y



0




0
0

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 19


Đồ thð của hàm số.

 

Đồ thð cûa hàm số lüy thÿa y  x lu n đi qua điểm I 1;1 .

 a  0, a  1 .

 Khâo sát hàm số mü y  ax ,






y  ax ,  a  1

y  ax , a  1
1. Têp xác đðnh: .
2. Să biến thiên.

1. Têp xác đðnh:
2. Să biến thiên.

y '  ax ln a  0, x.

y '  a x ln a  0, x
GiĆi hän đðc biệt:

GiĆi hän đðc biệt:

lim a  0,
x

x 

lim a  .

x 

Tiệm cên:

Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0

x



lim a x  ,

x 

1

x







1

0

Đồ thð nhþ hình sau.

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674


1



y'




a
y

lim a x  0.

x 

Tiệm cên:
Ox là tiệm cên ngang.
3. Bâng biến thiên.

0



y'

.

y






1

a
0

Đồ thð nhþ hình sau.

Page | 20


LOGARIT V HM S LOGARIT
1. KHI NIM TNH CHầT V QUY TT TNH LOGARIT.
Khỏi nim Logarit.
Cho hai s dỵng a, b vi a 1 . S thúa món ợng thc a b ỵc gi l logarit c s

a cỷa b v ỵc kớ hiu l loga b .

log a b a b.
Khụng cũ logarit ca s m v s 0.
Bõng túm tt cụng thc M-loarrit thng gp:






a 0 1, a 0 .


a



a



a
a



a .b a



a . b



a

b

1




a



1

a



















loga b






a.b













, 0 a 1

1

.log b





loga b loga c loga bc


a ,
a a
a b log b
a

1

a


log a b .log a b


a
,b 0
b






a



log a b .log a b, a, b 0, a 1




a

a

log a a






log a 1, 0 a 1
log a , 0 a 1

loga 1 0, 0 a 1

*



b
c

loga b loga c loga
loga b

1
.
logb a




a

2. BầT PHNG TRèNH M V LOGARIT.
Bt phng trỡnh m c bn.
x
x
x
Bỗt phỵng trỡnh mỹ c bõn cú dọng a x b (hoc a b, a b, a b ) vi a 0, a 1.

Ta xột bỗt phỵng trỡnh cũ dọng a x b.
Nu b 0 , tờp nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l

x
, vỡ a b, x . .

Nu b 0 thỡ bỗt phỵng trỡnh tỵng ỵng vi a x a
Vi a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.
Vi 0 a 1 , nghim cỷa bỗt phỵng trỡnh l x loga b.

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 21

loga b

.



Ta minh họa bìng đồ thð sau:
 VĆi a  1 , ta cò đồ thð

 VĆi 0  a  1 , ta cò đồ thð

 Bất phương trình logarit cơ bản.
Bçt phþĄng trình logarit cĄ bân có däng log a x  b (hoðc log a x  b,log a x  b,log a x  b )
vĆi a  0, a  1.
Xét bçt phþĄng trình loga x  b.
 Trþąng hợp a  1 , ta có: loga x  b  x  a b .
 Trþąng hợp 0  a  1 , ta có: log a x  b  0  x  ab .
Ta minh họa bìng đồ thð nhþ sau.
 VĆi a  1 , ta cò đồ thð sau.
 VĆi 0  a  1 , ta cò đồ thð sau.
Quan sát đồ thð, ta thçy rìng:
 Trþąng hợp a  1 : log a x  b
khi và chî khi x  ab .
 Trþąng hợp 0  a  1 :
loga x  b khi và chî khi 0  x  ab .

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674

Page | 22


BI TON LI SUầT NGN HNG
1. Lói n: l s tin lói chợ tớnh trờn s tin gc m khụng tớnh trờn s tin lói do s tin
gc sinh ra, tc l tin lói cỷa kỡ họn trỵc kh ng ỵc tớnh vo vn tớnh lói cho kỡ họn
k tip, cho dự n kỡ họn ngỵi gi kh ng n gi tin ra.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói n r% /kỡ họn thỡ s

tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:



Sn A nAr A 1 nr



2. Lói kộp: tin lói cỷa kỡ họn trỵc nu ngỵi gi kh ng rỳt ra thỡ ỵc tớnh vo vn
tớnh lói cho kỡ họn sau.
a) C ng thc tớnh: Khỏch hng gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /kỡ họn thỡ s
tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n kỡ họn ( n * ) l:



Sn A 1 r





n

S
n log1r n
A

r%

A


n

Sn
A





1

Sn

1 r

n

3. Tin gi hng thỏng: Mi thỏng gi ỳng cựng mt s tin vo 1 thi gian c nh.
a) C ng thc tớnh: ổu mi thỏng khỏch hng gi vo ngồn hng s tin A ng vi lói
kộp r% /thỏng thỡ s tin khỏch hng nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau n thỏng ( n * ) (
nhờn tin cui thỏng, khi ngồn hng ó tớnh lói) l S n .

A
Sn 1 r
r






n



1 1 r




S .r

n
n log1r
1
A 1r








A



Sn .r


1 r 1 r

n

1


4. Gi ngồn hng v rỳt tin gi hng thỏng:
a) C ng thc tớnh: Gi ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Mi thỏng vo
ngy ngồn hng tớnh lói, rỳt ra s tin l X ng. Tớnh s tin củn lọi sau n thỏng l bao
nhiờu?

1 r
X

n



Sn A 1 r



n

r

1






X A 1 r




n

r
Sn
n

1r 1





5. Vay vn trõ gũp: Vay ngồn hng s tin l A ng vi lói suỗt r% /thỏng. Sau ỳng mt
thỏng k t ngy vay, bớt ổu hon n; hai lổn hon n cỏch nhau ỳng mt thỏng, mi
hon n s tin l X ng v trõ ht tin n sau ỳng n thỏng.
a) C ng thc tớnh: Cỏch tớnh s tin củn lọi sau n thỏng ging hon ton c ng thc tớnh
gi ngồn hng v rỳt tin hng thỏng n n ta cũ
Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 23



1 r
X

n



Sn A 1 r



n

1

r

sau ỳng n thỏng trõ ht n thỡ Sn 0 nờn

1 r
X

n



A 1r




n

1

r

X



A 1r

1 r

n



n

0

.r

1

6. Bi toỏn tng lng: Mt ngỵi ỵc lónh lỵng khi im l A ng/thỏng. C sau n
thỏng thỡ lỵng ngỵi ũ ỵc tởng th m r% /thỏng. Húi sau kn thỏng ngỵi ũ lùnh ỵc
tỗt cõ l bao nhiờu tin?


1 r
Ak

k

C ng thc tớnh: Tng s tin nhờn ỵc sau kn thỏng l Skn

1

r

7. Bi toỏn tng trng dồn s:
C ng thc tớnh tởng trỵng dồn s



Xm Xn 1 r



m n



, m, n



,m n




Trong ũ:

r % l tợ l tởng dồn s t nởm n n nởm m
X m dồn s nởm m
X n dồn s nởm n
T ũ ta cũ c ng thc tớnh tợ l tởng dồn s l r %
8.

m n

Xm
Xn

1

Lói ộp li n tc:
Gi vo ngồn hng A ng vi lói kộp r% /nởm thỡ s tin nhờn ỵc cõ vn lộn lói sau

n nởm

n l: S
*

n



A 1r


lói v lói suỗt mi kỡ họn l



n

. Giõ s ta chia mi nởm thnh m kỡ họn tớnh

r
% thỡ s tin thu ỵc sau n nởm l:
m
m .n


r
Sn A 1
m

Khi tởng s kỡ họn cỷa mi nởm l n v cc, tc l m , gi l hỡnh thc lói kộp ti n
týc thỡ ngỵi ta chng minh ỵc s tin nhờn ỵc cõ gc lộn lói l:

S Ae n .r ( c ng thc tởng trỵng mỹ)

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 24


PHặN III.

NGUYấN HM - TCH PHN - NG DNG TCH PHN
I. NGUYấN HM
1. Nguyờn hm



nh nghùa: Cho hm s f x

xỏc nh tr n K ( K l khoõng, oọn hay na khoõng).

ỵc gi l nguy n hm cỷa hm s f x trờn K
x K . Kớ hiu: f x dx F x C .

Hm s F x

nh lớ:



vi mi

nu F ' x f x

trờn K thỡ vi mi hỡng s C , hm s
G x F x C cỹng l mt nguy n hm cỷa f x trờn K .
2) Nu F x l mt nguy n hm cỷa hm s f x trờn K thỡ mi nguy n hm cỷa
f x trờn K u cũ dọng F x C , vi C l mt hỡng s.
Do ũ F x C ,C l h tỗt cõ cỏc nguy n hm cỷa f x trờn K .



1) Nu F x

l mt nguy n hm cỷa f x

2. Tớnh chỗt ca nguy n hm


f x dx f x v f ' x dx f x C ; d f x dx f x dx

Nu F(x) cũ ọo hm thỡ:

d F(x ) F(x ) C

kf x dx k f x dx vi k l hỡng s khỏc 0 .
f x g x dx f x dx g x dx








Cụng thc i bin s: Cho y f u v u g x .
Nu

f (x )dx F(x ) C

thỡ


f g(x ) g '(x )dx f (u)du

F (u) C

3. S tn tọi ca nguy n hm



nh lớ: Mi hm s f x li n týc tr n K u cũ nguy n hm trờn K .

Bõng nguy n hm cỏc hm s thng gp
2. dx x C

1. 0dx C
3. x dx
1

1
x 1 C 1
1



1
C
x

4.

x


5.

x dx ln x

2

dx

1

C

6. e xdx e x C
7. a xdx

ax
C
ln a



1

1 ax b
16. ax b dx

a 1



3x 2 x 3 x
dx

x
dx
1
ln ax b c
18.
ax b a
1
19. eax bdx eax b C
a
1 a kx b
C
20. a kx bdx
k ln a

17.

Nguyn Chin - Hng Quõn: 0973.514.674

Page | 25

c , 1


×