Tải bản đầy đủ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN NÂNG CAO

Phương pháp 1: Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
a. Kiến thức sử dụng
(x) = f (x) với mọi x �K thì F (x) = �f (x)dx.
+ Nếu F �

+ Các công thức về đạo hàm cần ghi nhớ.
g u�
v + uv�= (uv)�
.

g-

g


u�
v - uv� ��
u�

�.
=





v�
v2
��

g

u�
2 u

= ( u)�
. g nun- 1u�= (un )�
.


u� ��
1�

=�
.


2


u�
u
��

b.Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.

Cho

hàm

f (x) � 0



số

liên

tục

trên

[1;2]

đoạn



thỏa

mãn

2

1
f (1) = , x2.f �
(x) = (1- 2x2).f 2(x) với mọi x �[1;2]. Tính tích phân I = �f (x)dx.
3
1

Nhận xét: Từ giả thiết ta có:

f�
(x)
2

f (x)

=

1- 2x2
2

x


� 1�

, biểu thức vế trái có dạng u�= �

. Từ đó ta có lời


2



u
� u�

giải.

� 1 �
f�
(x) 1- 2x2
�= 1 - 2

Lời giải: Ta có x2.f �

(x) = (1- 2x2).f 2(x) � 2
=




� x2

f (x)
x2
� f (x)�
�-

�1

1
1
1
1


=�
- 2�
dx � = - - 2x +C . Do f (1) = � C = 0. Nên ta có:


2



f (x)
f (x)
x

x

3

1
2x2 + 1
x
=
� f (x) = 2
.
f (x)
x
2x + 1
2

2

2

x
1 d(1+2x2) 1
2
d
x
=
Khi đó I = �f (x)dx = �
�1+ 2x2 = 4 ln 1+ 2x
2
4
1
+
2
x
1
1
1

Ví dụ 2.

Cho

hàm

f (x)

số

liên

tục,

2
1

1
1
= (2ln3 - ln3) = ln3.
4
4

không

âm

trên





thỏa

mãn

1

f (x).f �
(x) - 2x. f 2(x) + 1 = 0 với mọi x �� và f (0) = 0. Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

Nhận xét: Từ giả thiết ta có:

f (x).f �
(x)
f 2(x) + 1

= 2x, biểu thức vế trái có dạng

uu�
u2 + 1

=

uu�
u2 + 1

. Từ đó ta

có lời giải.
(x) - 2x. f 2(x) + 1 = 0 �
Lời giải: Ta có f (x).f �
� f 2(x) + 1 = �
2x dx �

f (x).f �
(x)
2

f (x)

= 2x �

(


f 2(x) + 1 = 2x.

)

f 2(x) + 1 = x2 +C .

Do f (0) = 0 � C = 1. Nên ta có:
f 2(x) + 1 = x2 + 1 � f 2(x) + 1 = (x2 + 1)2 � f 2(x) = x2(x2 + 2) � f (x) = x x2 + 2 (vì f (x) không âm trên
�).

Khi đó
1

1

1

I =�
f (x)dx = �x x2 + 2dx = �
x x2 + 2dx =
0

0

0

1

1
1
1 1 �2
� 1
2
2
2
x
+
2d(
x
+
2)
=
.
(
x
+
2)
x
+
2

� = (3 3 - 2 2).

2�
2 3�
3
0
0

Trang 1


Ví dụ 3.

f (x) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn [1;4] và thỏa mãn

Cho hàm số

4

3
x + 2x.f (x) = [f �
(x)]2 với mọi x �[1;4]. Biết f (1) = , tính I = �f (x)dx.
2
1
f�
(x)
Lời giải: Do f (x) đồng biến trên đoạn [1;4] �"޳

0, x

[1;4]. Ta có:

(x) �0, " x �[1;4].
x + 2x.f (x) = [f �
(x)]2 � x(1+ 2.f (x)) = [f �
(x)]2, do x �[1;4] và f �
� f (x) > -

f�
(x)
1
(x) = x. 1+ 2f (x) �
= x � ( 1+ 2f (x))�
= x.
và f �
1+ 2f (x)
2

2
� 1+ 2f (x) = � xdx � 1+ 2f (x) = x x +C .
3

Vì f (1) =

3
3 2
4
� 1 + 2. = +C � C = .
2
2 3
3
2

3

2
4
2
4�
2
8
7

�� f (x) = x3 + x 2 + .
� 1+ 2f (x) = x x + � 1+ 2f (x) = �
x
x
+





3
3
3
3�
9
9
18

4

4
4 �
3
5
�1
2 3 8 2
7�
16
7 �

� 1186



Khi đó I = �f (x)dx = �
x + x + �
dx = �
x4 + x 2 + x�
=
.










9
9
18�
18
45
18 �
45

1
1 �
1

Ví dụ 4.

f (x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0;2] và thỏa mãn

Cho hàm số


2[f (x)]2 - f (x).f �
(x) + [f �
(x)]2 = 0

với

x �[0;2].

mọi

ff(0) = 1, (2) = e6,

Biết

tính

tích

phân

0

I =�
(2x + 1).f (x)dx.
- 2

Nhận xét: Từ giả thiết ta có:


f (x).f �
(x) - [f �
(x)]2
[f (x)]2



f�
(x) �
= 2, biểu thức vế trái có dạng �
�, Từ đó ta có

f (x) �



lời giải.

(x)
Lời giải: Do f (x) đồng biến trên đoạn [0;2] nên ta có ff(0) �޳�
2

(x) + [f �
(x)]2 = 0 �
Ta có 2[f (x)] - f (x).f �



f�
(x)
=�
2dx = 2x +C �
f (x)


f (x).f �
(x) - [f �
(x)]2
2

[f (x)]

ff(2)

1

(x)

e6.


f�
(x) �
=2� � �
= 2.

f (x) �



f�
(x)

�f (x) dx = �(2x +C )dx � ln f (x) = x

2

+Cx +C 1.

2
Mà 1 � f (x) �e6 nên ta có: ln f (x) = x +Cx +C 1.



C1 = 1
C =1
�f (0) = 1 � �

��
.
Do �


6



4
+
2
C
+
C
=
6
C
f
(2)
=
e
1


�1 = 0



2

� ln f (x) = x2 + x � f (x) = ex +x .
0

0

2

0

2

2

(2x + 1)f (x)dx = �
(2x + 1)ex +xdx = �
ex +xd(x2 + x) = ex
Khi đó I = �
- 2

Ví dụ 5.

-2

-2

+x

0
- 2

= 1- e2.
2

(x).ef (x)- x - 1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trên � và thỏa mãn 3f �

2x
f 2(x)

=0

7

x.f (x)dx.
với mọi x ��. Biết f (0) = 1, tính tích phân I = �
0

2

(x).ef (x)- x - 1 Lời giải: Ta có 3f �

2x
2

f (x)

= 0 � 3f �
(x).f 2(x).ef

2

(x)

2
2
2

= 2xe
. x +1 � �
ef (x) �
= 2xe
. x +1.


� �

Trang 2


� ef

2

(x)

2

=�
2xe
.x

2

dx = �
ex

+1

2

+1

d(x2 + 1) = ex

Do f (0) = 1 � e = e +C � C = 0 � ef
7

2

(x)

7

Ví dụ 6.

+C .

2

= ex +1 � f 3(x) = x2 + 1 � f (x) = 3 x2 + 1.
7

7

Khi đó I = �
x.f (x)dx = �
x.3 x2 + 1dx =
0

+1

0

1 3 2
3 �2
45

x + 1d(x2 + 1) = �
(x + 1) 3 x2 + 1� = .



20
8
8
0

f (x)

Cho hàm số

có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0;1] và thỏa mãn
1

7
f (x) + (x + 1).f �
(x) = 1 với mọi x �[0;1]. Biết f (5) = , tính tích phân I = �f (x)dx.
6
0
f (x) + (x + 1).f �
(x) = 1, vế trái là biểu thức có dạng
Nhận xét: Từ giả thiết ta có: (x + 1)�
u�
v + uv�
= (uv)�
. Từ đó ta có lời giải.
(x) = 1 � (x + 1)�
f (x) + (x + 1).f �
(x) = 1 � [(x + 1)f (x)]�
= 1.
Lời giải: Ta có f (x) + (x + 1).f �
� (x + 1)f (x) = �
dx = (x + 1)f (x) = x +C .

Vì f (5) =

7
7
� 6. = 5 +C � C = 2.
6
6

� (x + 1)f (x) = x + 2 � f (x) =

x +2
.
x +1

1
1
1


1
x +2
1 �


dx = �
1+
dx = (x + ln x + 1) = 1+ ln2.

Khi đó I = �f (x)dx = �


0

x +1
� x + 1�

0
0
0

(x).f (x) + u(x).f �
(x). Đặt v(x) = u�
(x)
Nhận xét: Với u(x) là biểu thức cho trước thì ta có [u(x).f (x)]�= u�
(x) (*). Như vậy biểu thức có dạng v(x).f (x) + u(x).f �
(x) ta có
ta được [u(x).f (x)]�= v(x).f (x) + u(x).f �
. Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 6 như sau:
thể biến đổi đưa về dạng [u(x).f (x)]�

Cho A(x), B (x), g(x) là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn
A(x).f (x) + B (x).f �
(x) = g(x) (**).

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) [u(x).f (x)]�= g(x).

u�
(x) = A(x)
u�
(x) A(x)
u�
(x)
A(x)


=
��
dx = �
dx.
Trong đó u(x) được chọn sao cho: �

u
(
x
)
=
B
(
x
)
u(x)
B (x)
u(x)
B(x)



Suy ra ln u(x) = G (x) +C với G (x) là một nguyên hàm của

A(x)
, từ đây ta sẽ chọn được biểu
B(x)

thức u(x).
Ví dụ 7.

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm trên đoạn [0;1] thỏa mãn

f (1) =

1

2018

1

2018f (x) + x.f �
(x) = 2x2018 với mọi x �[0;1]. Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: u(x). Ta có:
2018
� ln u(x) = �
dx � ln u(x) = 2018ln x +C � ln u(x) = ln x2018 +C nên ta chọn u(x) = x2018, khi đó
x

ta có lời giải như sau:
=2018x2017 f (x) + x2018f �
(x) = x2017[2018f (x) + xf �
(x)] = x2017.[2x2018 ] = 2x4035.
Lời giải: Ta có [x2018.f (x)]�

Khi đó x2018 f (x) = �
2x4035dx = x2018f (x) =

x4036
+C .
2018

Trang 3


Do f (1) =

1
1
1
x4036
x2018

=
+ C � C = 0 � x2018f (x) =
� f (x) =
.
2018
2018 2018
2018
2018
1

� x2019 �

x2018
1


dx = �
=
.
Khi đó I = �f (x)dx = �




2018
2019.2018�
2018.2019

0
0
0
1

Ví dụ 8.

1

Cho hàm số

f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2] và thỏa mãn (x + 1)f (x) + xf �
(x) = 2ex
2

x.f (x)dx.
với mọi x �[1;2]. Biết f (1) = e, tính tích phân I = �
1

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: u(x). Ta có:
x +1
ln u(x) = �
dx � ln u(x) = x + ln x +C � ln u(x) = lnex + ln x +C � ln u(x) = ln xex +C nên ta
x

chọn u(x) = xex , từ đó ta có lời giải như sau:
=(xex )�
f (x) + xex f �
(x) = (ex + xex )f (x) + xex f �
(x) = ex [(x + 1)f (x) + xf �
(x)]
Lời giải: Ta có [xex .f (x)]�
� [xex f (x)]�
= ex (2ex ) � xex f (x) = �
2e2x dx � xex f (x) = e2x +C .

Do f (1) = e � ee
. = e2 + C � C = 0 � xex f (x) = e2x � f (x) =
2

2

ex
.
x

2

xf (x)dx = �
ex dx = ex = e2 - e.
Khi đó I = �
1

Ví dụ 9.

1

1

Cho hàm số

f (x)

liên tục và có đạo hàm trên

�\ {- 1;0}

thỏa mãn
2

x.f (x)dx.
x(x + 1)f �
(x) + f (x) = x2 + x với mọi x ��\ {- 1;0} và f (1) = - 2ln2. Tính tích phân I = �
1

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: u(x). Ta có:

1
1
1 �
x
x



ln u(x) = �
dx � ln u(x) = �
+
dx � ln u(x) =
+C nên ta chọn u(x) =

, từ




x(x + 1)
x x + 1�
x +1

x +1

đó ta có lời giải như sau:



1
x
1
Lời giải: Ta có �x .f (x)�=
f (x) +
f�
(x) =
.[f (x) + x(x + 1)f �
(x)]
2


x +1
x +1
(x + 1)2

� (x + 1)

�x

1
��
.f (x)�=
.(x2 + x) �
2


x
+
1
(
x
+
1
)





�x

x
x
x

.f (x)�=

.f (x) = �
dx
2


x +1
x +1
x +1

� (x + 1)



x
1 �
x


.f (x) = �
1dx �
.f (x) = x - ln x + 1 +C .



� x + 1�
x +1
x +1



1
Do f (1) = - 2ln2 � (- 2ln2) = 1- ln2 + C � C = - 1.
2
2



x3


xf (x)dx = �
[(x - 1- (x + 1)ln(x + 1)]dx = �
- x�
Khi đó I = �
��

�3


1
1
1
2

2

2

2

4

�(x + 1)ln(x + 1)dx = 3 -

I 1.

1

2

(x + 1)ln(x + 1)dx.
Với I 1 = �
1


1

du =


u
=
ln(
x
+
1
)


x +1
��
.
Đặt �


dv = (x + 1)dx �
x2
1 1



v=
+ x + = (x + 1)2


2
2 2


Trang 4


2

2

� 9

� 12
1
9
1�
x2
5


� I 1 = �(x + 1)2 ln(x + 1)�- �
(x + 1)dx � I 1 = ln3 - 2ln2 - �
- x�
= ln3 - 2ln2 - .






2
2
2
2
2
2
4




1
1
1

Khi đó I =

4
4 �
9
5� 31 9

- I1 = - �
ln3- 2ln2 - �
=
- ln3 + 2ln2.



� 12 2
3
3 �
2
4�


Phương pháp 2:

Biến đổi đổi biến số
a. Kiến thức sử dụng
u(b)

b

+ Công thức:

(x)dx =
�f [u(x)]u�
a

�f (u)du.

u(a)

+ Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x.
b

b

b

Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là �f (x)dx = �f (u)du = �f (t)dt = ...
a

a

a

b.Ví dụ áp dụng
Cho hàm số f (x) liên tục trên � và thỏa mãn 2018f (x) + f (- x) = ex với mọi x ��.

Ví dụ 1.

1

Tính tích phân I = �f (x)dx.
- 1

Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) và f (- x) nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt x = - t, từ
đó ta có lời giải.

x = - 1� t = 1
.
Lời giải: Đặt x = - t � dx = - dt, đổi cận: �


x = 1� t = - 1


- 1

Khi đó: I = -

1

1

�f (- t)dt = �f (- t)dt � I = �f (- x)dx.
1

- 1

1

- 1

1

Vì 2018I + I = 2018�f (x)dx + �f (- x)dx.
- 1

- 1

1

1

[2018f (x) + f (- x)]dx � 2019I = �
ex dx = ex
Nên 2019I = �
- 1

Ví dụ 2.

- 1

1
- 1

= e-

1
e2 - 1
�I =
.
e
2019e


�2 �
2 �


;1� và thỏa mãn 2f (x) + 3f �
= 5x với mọi

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn �






3
3
x


� �
1

f (x)

2 �
x ��;1�
. Tính tích phân I = � x dx.

2
3 �


3
�2 �
2



Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) và f �
nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt x = ,




3x �

3t

từ đó ta có lời giải.
� 2

x = �t =1


2
2
.
Lời giải: Đặt x = � dx = - 2 dt, đổi cận: � 3

2
3t
3t

x = 1� t =


3


Khi đó: I = -

2
3

�2 �
�1

ff�
.




3t �t2


2
3�
1

2
3t

�2 �
�2 �


� �




1 f�





3t �
3x �


dt = �
dt = �
dx.
t
x
2
2
1

3

3

Trang 5


�2 �
�2 �




ff�
(x) + f �


1
1
1





3x �
3x �



5x
5
1
Ta có: 2I + 3I = 2 f (x) dx + 3
d
x

5
I
=
2
d
x
=
d
x
=
�x
�x
� x
�x
�5dx = 3 � I = 3.
2
2
2
2
2

Ví dụ 3.

1

1

3

3

Cho

hàm

3

f (x)

số

liên

3

tục

trên

3

[0;2]

đoạn



thỏa

mãn

2

3f (x) - 4f (2 - x) = - x2 - 12x + 16 với mọi x �[0;2]. Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) và f (2 - x) nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt
x = 2 - t, từ đó ta có lời giải.

x = 0� t = 2
.
Lời giải: Đặt x = 2 - t � dx = - dt, đổi cận: �


x = 2� t = 0


0

2

2

�f (2- t)dt = �f (2- t)dt � I = �f (2- x)dx.

Khi đó: I = -

2

0

2

0

2

2

2

[3f (x) - 4f (2 - x)]dx � - I = �
(- x2 - 12x + 16)dx
Ta có: 3I - 4I = 3�f (x)dx - 4�f (2 - x)dx = �
0

0

0

0

2

� x3
� 16
16


� - I =�
- 6x2 + 16x�
=
� I =.




3
3
3

�0

Cho hàm số f (x) liên tục trên � và thỏa mãn f (x) = 4xf (x2) + 2x + 1 với mọi x ��.

Ví dụ 4.

1

Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) và f (x2) nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt x = t 2, từ
đó ta có lời giải.

x = 0� t = 0

.
Lời giải: Đặt x = t2 � dx = 2tdt, đổi cận: �

x = 1� t = 1


1

1

xf (x2)dx
Khi đó: I = �f (t2)2tdt � I = 2�
0

0

Ta có:
1

1

1

1

1

I - 2I = �f (x)dx - 4�
xf (x2)dx = �
[f (x) - 4xf (x2)]dx = �
(2x + 1)dx = (x2 + x) = 2 � - I = 2 � I = - 2.
0

Ví dụ 5.

0

0

0

0

Cho hàm số f (x) liên tục trên � và thỏa mãn f (x3 + 2x - 2) = 3x - 1 với mọi x ��.
10

Tính tích phân I = �f (x)dx.
1


x = 1 � t 3 + 2t = 3 � t = 1
.
Lời giải: Đặt x = t 3 + 2t - 2 � dx = (3t2 +2)dt, đổi cận: �


x = 2 � t 3 + 2t = 12 � t = 2



Ta có:
2

2
2
2

� 135
9t 4


I = �f (t 3 + 2t - 2)(3t 3 +2)dt = �
(3t - 1)(3t2+2)dt = �
(9t 3 - 3t2 + 6t - 2)dt = �
- t 3 + 3t2 - 2t �
=
.




4
�4

1
1
1
1

Trang 6


Ví dụ 6.

Cho hàm số

f (x) liên tục trên đoạn [ - 1;5] và thỏa mãn [f (x)]2019 + f (x) + 2 = x với
4

mọi x �[ - 1;5]. Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

Lời giải: Đặt t = f (x) � t

2019

+t + 2 = x � dx = (2019t 2018 +1)dt, đổi cận:


x = 0 � t 2019 + t + 2 = 0 � t = - 1

.


x = 4 � t 2019 + t + 2 = 4 � t = 1


1

1
1


2019 2020 1 2 �
t(2019t2018 + 1)dt = �
(2019t2018 + t)dt = �
t + t �
= 0.
Khi đó: I = �




2020
2 �


- 1
- 1
- 1

Biết mỗi số thực t �0 phương trình 4x3 + tx - 4 = 0 có nghiệm dương duy nhất

Ví dụ 7.

7

x = x(t), với x(t) là hàm số liên tục theo t trên [0; +�). Tính tích phân I = �
[x(t)]2dt.
0


t = 0 � 4x3 - 4 = 0 � x = 1

4 - 4x3
8x3 + 4

Lời giải: Đặt t =
� dt = dx, đổi cận: �
1.

t = 7 � 4x3 + 7x - 4 = 0 � x =
x
x2


2

1
2

2
�x .

Ta có: I = -

8x3 + 4

1

2

x

1

1

dx = �
(8x3 + 4)dx = (2x4 + 4x) 1 =
2

1
2

31
.
8

Phương pháp 3: Phương pháp tính tích phân từng phần

a. Kiến thức sử dụng
b

+ Công thức:

b

(x)dx = (u(x).v(x)) �u(x)v�
a

a

b

(x)dx,
�v(x).u�

(trong đó u, v có đạo hàm liên

a

tục trên K và a, b là hai số thuộc K ).

b.Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1.
3

f (x)dx

� 1+ x
0

f (x) liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn f ( 3) = 3 và

Cho hàm số

2

3

= 1. Tính tích phân I = �f �
(x)ln(x + 1+ x2 )dx.
0


1

du =
dx

u = ln(x + 1+ x2 ) �



2
��
.
Lời giải: Đặt �
1
+
x


dv = f �
(x)dx


v = f (x)




Khi đó: I = (f (x)ln(x + 1+ x2 ))
Ví dụ 2.

Cho hàm số

3

(x) + 1) x + 1dx =
�(f �
0

3
0

3

-

f (x)

� 1+ x
0

2

dx = 3ln(2 + 3) - 1.

f (x) liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn 2ff(3) -

(0) = 18 và

3

f (x)
302
. Tính tích phân I = �
dx.
15
x +1
0


1


du =
dx
u
=
x
+
1)




��
.
Lời giải: Đặt �
2
2
x
+
1

dv = ( f �
(x) + 1)dx �


v = f (x) + x + 1




Trang 7


Khi đó:

3
302
= [( f (x) + x + 1)) x + 1)) 0
15

� f (x)
x + 1�


+
dx


��2x + 1
2

0 �

3

3

= 2ff(3) -

(0) + 7 -

Ví dụ 3.

I
1
302
I 14
76
- � x + 1dx �
= 25 - �I = .
2 20
15
2 6
15

Cho hàm số

f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn [1;3] thỏa mãn ff(3) = (1) = 3 và

3

3

xf �
(x)
f (x) + ln(x)
�x + 1 dx = 0. Tính tích phân I = � (x + 1)2 dx.
1
0


1�


u = f (x) + ln x

du = �
f�
(x) + �
dx








f (x) + ln(x)

x�




.
I
=
d
x
,
1
Lời giải: Xét
đặt �

� (x + 1)2

dv =
dx �
1
x


2
0


v=+ 1=
(x + 1)


x +1
x +1

3

Khi đó:
3

�x

I =�
.( f (x) + ln x)��

x +1


1

Ví dụ 4.

3


xf �
(x)

1 �

3

1
(1) 2


+
dx = [ff(3) + ln3]��

x + 1 x + 1�
4
1



Cho hàm số



3� 3

3
0 + ln x + 1 �
= + ln3 - ln2.

1� 4

4



f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) =

1

1

2

1

xf (x)
(x) + x]ln(1+ x2)dx = 2ln2 - 1. Tính tích phân I = �
dx.
�[f �
1+ x2
0
0

2x

2
du =
dx


u
=
ln(1
+
x
)
2


2

1
+
x


.
[
f
(
x
)
+
x
]ln(1
+
x
)d
x
=
2ln2
1
,
Lời giải: �
đặt �

2

dv = [f �
(x) + x]dx �
x
1


0

v = f (x) + +


2 2

1

1




x2 + 1�

2 �


Khi đó: 2ln2 - 1 = �

f
(
x
)
+
ln(1
+
x
)


��


2 �



0
� 2ln2 - 1 =

1


xf (x)
2xf (x)


[
f
(1
)
+
1
)ln2
2
dx �
+
x
d
x
=



��
2


1+ x2
1+ x


0
0
1

1

�xdx
0

3
1
1 1
ln2 - 2I � I = - ln2.
2
2
4 4

Phương pháp 4: Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân.
a. Kiến thức sử dụng
b

+ Nếu f (x) �0 với mọi x �[a;b] thì

�f (x)dx �0,

dấu bằng xảy ra � f (x) = 0, " x �[a;b].

a

b

Hệ quả:

�f (x)dx = 0 � f (x) = 0 với mọi
2

x �[a;b] .

a

b.Ví dụ áp dụng

Trang 8


1

Ví dụ 1.

Cho hàm số

f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục trên [0;1]. Biết

�xf (x)dx = 1



0

1

1

2
2018
�[f (x)] dx = 3. Tính tích phân I = �[f (x)] dx.
0

0

Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)]2 và xf (x) nên tạo bình phương dạng [f (x) - ax]2. Ta chọn a sao cho
1

1

2
�[f (x) - ax] dx = 0 �
0

� 3 - 2a +

1

2
2 2
�([f (x)] - 2axf (x) + a x )dx = 0 �
0

1

1

2
2
2
�[f (x)] dx - 2a�xf (x)dx + a �x dx = 0
0

0

0

a3
= 0 � a = 3. Từ đó ta có lời giải.
3
1

Lời giải: Ta có:

1

2
�[f (x) - 3x] dx = 0 �
0

1

1

1

2
2
2
2
�([f (x)] - 6xf (x) + 9x )dx = �[f (x)] dx - 6�xf (x)dx + 9�x dx.
0

0

0

0

� 3 - 6 + 3 = 0 � f (x) = 3x.
1

1

[f (x)]2018dx = 32018 �
x2018dx =
Khi đó: Nên I = �
0

Ví dụ 2.

0

Cho hàm số

p
2

32018
.
2019

� p�

p�


f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn �
0; �
.
f�
�= 0,

� 2� Biết �


2


� �

p
2

p
2

p
(x)]2dx = p và �
cosx.f (x)dx = . Tính tích phân I = �f (x)dx.
�[f �
2
0
0
0
(x)]2 và f (x) nên tạo bình phương dạng, do đó trước hết ta biến đổi
Nhận xét: Giả thiết chứa [f �
p
2

�cosx.f (x)dx

(x) bằng cách đặt:
để tạo biểu thức f �

0



u = f (x)
du = f �
(x)dx
p

��
, khi đó p = (f (x)sin x) 2 �


dv = cosxdx �
v = sin x
0


2



p
2

(x)sin x dx.
�f �
0

p
2

� �f �
(x)sin x dx = 0

p
.
2

(x).sin x nên ta tạo bình phương dạng [f �
(x)]2 và f �
(x) - a sin x]2.
Đến đây ta được hai biểu thức [f �

Ta chọn a sao cho

p
2

(x) �[f �

p
2

a sin x]2dx = 0 �

0

p
2

(x)] �[f �
2

2a sin x.f �
(x) + a2 sin2 x]dx = 0

0

p
2

p
2

2

��
[f �
(x)] dx - 2a�
sin xf �
(x)dx + a �
sin xdx = 0 � x + ap +
2

2

0

0

2

0



pa2
a

= 0 � p�
+ 1�
= 0 � a = - 2. Từ đó ta





4
2



có lời giải.
Lời giải: Xét

p
2

p
�cosx.f (x)dx = 2 , đặt
0

p
Khi đó p = (f (x)sin x) 2 0
2

Ta có:

p
2



u = f (x)
du = f �
(x)dx

��
,



dv = cosxdx �
v = sin x





p
2

p
2

(x)sin x dx.
�f �

� �f �
(x)sin x dx = -

0

0

p
2

(x) + 2sin x] dx = 0 � �
[f �
(x)] + 4sin x.f �
(x) + 4sin
�[f �
2

0

p
.
2

2

2

x]dx = p - 2p +

0

4p
(x) = - 2sin x.
=0� f�
4



p�

� f (x) = 2cosx +C mà f �
= 0 � C = 0 nên ta có: f (x) = 2cosx.




2�



Trang 9


p
2

p
2

0

0

Ta có: I = f (x)dx = 2 cosx dx = 2.


Ví dụ 3.

Cho hàm số
2


f�
(x) �
�dx = 169 và
��
�x �
105

- 1�
0

f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]. Biết f (- 1) = -

0

7
,
10

1

�(x - 1).f (x)dx =
- 1

103
. Tính tích phân I = �f (x)dx.
420
0

2

f�
(x) �
Nhận xét: Giả thiết chứa � � và f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta
�x �
� �
0

biến đổi

�(x -

1).f (x)dx để đưa về f �
(x) bằng cách đặt:

- 1


0
du = f �
(x)dx

2


u = f (x)

� � 10 2
103
x




� � x2
, khi đó


=�
- x�
f (x)�
(x - 2x)f �
(x)dx.

� - 2�


dv = (x - 1)dx �


v=
- x
420 �
2






1

- 1
2

0

��
(x2 - 2x)f �
(x)dx =
- 1

169
.
105

2

f�
(x) �
(x) nên ta tạo bình phương dạng
Đến đây ta được hai biểu thức � �và (x2 - 2x)f �
�x �
� �
2



f�
(x)

- a(x3 - 2x2)�.
�x



2


f�
(x)
3
2 �

a
(
x
2
x
)
��x
�dx = 0 �

0 �
1

Ta chọn a sao cho

2





f�
(x)�
f�
(x)
3
2
2
3
2 2�




2
a
(
x
2
x
).
+
a
(
x
x
)
dx = 0

��

�x �

x



0 �


1

2

1
1

169
169 169 2
f�
(x) �
f�
(x)
- 2a.
+
a = 0 � a = 1. Từ đó ta
� �� �dx - 2a�
(x3 - 2x2).
dx + a2 �
(x3 - 2x2)2dx �
�x �
105
105
105
x


0
0
0
1

có lời giải.
0

103
(x - 1).f (x)dx =
, đặt
Lời giải: Xét �
420
- 1


du = f �
(x)dx


u = f (x)


� � x2
,


dv = (x - 1)dx �
v=
- x



2


0

0

� � 10 2
169
103 �
x2


��

(x2 - 2x)f �
(x)dx =
.

Khi đó

=�
x
f
(
x
)
(
x
2
x
)
f
(
x
)d
x







105

420 �
2- 1
�2
� �
- 1
- 1
2



f�
(x)
3
2 �
��
�x - (x - 2x )�dx = 0 �

0 �
1

Ta có:

2






f�
(x) �


�- 2(x3 - 2x2). f (x) + (x3 - x2)2 �

dx = 0


��



x


�x �
0 �

1

2

1
1

f�
(x) �
169
169 169
2



��
dx - 2�
(x - 2x).f (x)dx + �
(x3 - 2x2)2dx =
- 2.
+
=0
�x �
105
105 105

0 �
0
0
1



f�
(x)
1
1
= x3 - 2x2 � f �
(x) = x4 - 2x3 � f (x) = x5 - x4 +C .
x
5
2

Mà f (- 1) = -

7
1
1
� C = 0 nên ta có: f (x) = x5 - x4.
10
5
2
1


�1 6 1 5 �
1 5 1 4�
1





x
x
d
x
=
x x �
=.
Khi đó: I = �f (x)dx = �










5
2 �
30
10 �0
15


0
0
1

1

Trang 10


Ví dụ 4.

f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2]. Biết f (2) = 7 và

Cho hàm số

2

[f �
(x)]2 = 21x4 - 12x - 12xf (x) với mọi x �[0;2]. Tính tích phân I = �f (x)dx.
0

2

Lời giải: Từ giả thiết ta có:

2

(x)]2dx = �
[21x4 - 12x - 12xf (x)]dx
�[f �
0

2

0

2

2

2

2

��
[f �
(x)]2dx = �
(21x4 - 12x)dx - 12�
xf (x)dx � �
[f �
(x)]2dx =
0

0

0

0

552
- 12�
xf (x)dx
5
0

(*)

(x)]2 và f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta
Đến đây ta có hai biểu thức [f �

du = f �
(x)dx


u = f (x)


2
�� x
,
xf (x)dx để tạo ra f �
(x) bằng cách đặt �
biến đổi �

dv = xdx �
v=


0


2

2

2

2

� 12 2
x2
1
2
��
xf (x)dx = �
f
(
x
)
x
f
(
x
)d
x
=
14
(x)dx, thế vào (*) ta được:
Khi đó �
�x f �

� 2�
2
2


0
0
0
0
2

� 12

2
2


�dx = 552 - 12 �


f
(
x
)
14
x
f
(
x
)d
x

� 2�

�� �
5


0
0


2

2



4
�9x dx =
0

288
nên ta có: (**) �
5

2

2

288
f�
(x)�
x2f �
(x)dx +
=0
��

�dx - 6�
5
2

0

(**).

0

2

2

2

(x)]2dx - 6�
x2f �
(x)dx + �
9x4dx = 0
�[f �
0

0

0

2



(x) �[f �

3x2 ]2dx = 0 � f �
(x) = 3x2 � f (x) = x3 +C mà f (2) = 7 � C = - 1 � f (x) = x3 - 1.

0

2

1

(x3 - 1)dx = 2.
Khi đó: I = �f (x)dx = �
0

0

1

1

Ví dụ 5.

f (x) liên tục trên đoạn [0;1]. Biết

Cho hàm số

�f (x)dx = 2. Biết
0

1

7

�x.f (x)dx = 6



0

1

2
�[f (x)] dx =
0

13
. Tính tích phân I = �
[f (x)]3dx.
3
0

2
Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)] , xf (x) và f (x) nên ta tạo bình phương dạng [f (x) + ax + b]2. Ta chọn

a, b sao cho

1

�[f (x) + ax + b] dx = 0
2

0

1



�( [f (x)] + 2axf (x) + 2bf (x) + 2abx + a x
2

)

2 2

+ b2 dx = 0

0

1



1

0



1

1

1

2
2 2
2
�[f (x)] dx + 2a�xf (x)dx + 2b�f (x)dx + 2ab�xdx + �(a x +b )dx = 0
0

0

0

0

13
7
a2
+ 2a. + 4b + ab + + b2 = 0 � a2 + (3b + 7)a + 3b2 + 12b + 13 = 0
3
6
3

Để có a thì D = (3b + 7)2 - 4(3b2 + 12b + 13) �0 � - 3(b + 1)2 �0 � b = - 1 � a = - 2, từ đó ta có lời giải.
1

Lời giải: Ta có:

1

2
�[f (x) - 2x - 1] dx = 0 �
0

1



1

1

�( [f (x)] -

1

2

)

4xf (x) - 2f (x) + 4x + 4x2 + 1 dx = 0

0

1

2
2
�[f (x)] dx - 4�xf (x)dx - 2�f (x)dx + 4�xdx + �(4x + 1)dx = 0
0

0

0

0

0

Trang 11


=

13
7
4
- 4. - 4 + 2 + + 1 = 0 � f (x) = 2x + 1.
3
6
3
1

1

[f (x)]3dx = �
(2x + 1)3 dx = 10.
Khi đó: I = �
0

Ví dụ 6.

0

Cho

p
2

hàm

f (x)

số

p
2

p

liên

tục

liên

p
2

p

�f (x)dx = 2 + 1, �sin x.f (x)dx = 4 + 1 và �[f (x)] dx =
0

2

0

0

tục

trên

đoạn

� p�

0; �
� 2� thỏa
� �

mãn

p
2

3p
+ 2. Tính tích phân I = �f (x)cosxdx.
4
0

2
Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)] , sin x.f (x) và f (x) nên ta tạo bình phương dạng [f (x) + a sin x + b]2,

ta chọn a, b sao cho

p
2

�[f (x) + a sin x + b] dx = 0
2

0

p
2



�( [f (x)] + 2a sin xf (x) + 2bf (x) + 2absin x + a
2

2

)

sin2 x + b2 dx = 0

0

p
2



p
2

p
2

p
2

�[f (x)] dx + 2a�sin xf (x)dx + 2b�f (x)dx + 2ab�sin xdx + �(a
2

2

0



p
2

0

0

0

sin2 x + b2)dx = 0

0





3p
p
p
pa2 pb2





+ 2 + 2a �
+
1
+
2
b
+
1
+
2
ab
+
+
= 0 � p(a + 1)2 + 8(a + 1)(b + 1) + 2p(b + 1)2 = 0.






� �



4
4
2
4
4




Để có a thì D �= 16(b + 1)2 - 2p2(b + 1)2 �0 � (16 - 2p2)(b + 1)2 �0 � b = - 1 � a = - 1. Từ đó ta có lời
giải.
Lời giải: Ta có:

p
2

�[f (x) -

p
2

sin x - 1]2dx

0

p
2



p
2

2

)

2sin xf (x) - 2f (x) + 2sin x + sin2 x + 1 dx = 0

0

p
2

p
2

p
2

�[f (x)] dx - 2�sin xf (x)dx - 2�f (x)dx + 2�sin xdx + �(sin
2

2

0

=

�( [f (x)] -

0



3p
p

+ 2 - 2.�
+ 1�





4
4



0

0

x + 1)dx = 0

0



p
3p

2�
+ 1�
= 0 � f (x) = sin x + 1.

�+ 2 +



2
4



p
2

Khi đó: I = (sin x + 1)cosx dx = 3.

2
0

Trang 12



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×